一个角平分线不等式的简证与加强

文[1]利用如下3个引理: 引理1 若a,b,c是△ABC的三边长,wa,wb,wc是△ABC的角平分线,则 1/wa+1/wa+1/wc≧(1/a+1/b+1/c).     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

Shc 93的证明

设 P是△ ABC内任意一点 ,△ BPC、△ CPA、△ APB的外接圆半径分别为 Ra、Rb、Rc、∠ A、∠ B、∠ C的内角平分线分别为 wa、wb、wc,相应边上的中线分别为 ma、mb、mc.∑ 表示对 a、b、c循环求和 .刘健在文 [1 ]中提出了如下猜想 :Shc93　∑ Rama wa≥ 1 ( 1 )本文证明猜想不等式 Shc93成立 .先给出下面两个引理 :引理 1 [1] 　设 P是△ABC内任意一点 ,记∠ BPC=α,∠ CPA=β,∠ APB=γ,则有tan A2sinα tan B2sinβ tan C2sinγ≥ 2 ( 2 )引理 2　 ma wa≤acot A2 ,a2 ,当 A≤π- arccos13时 ;当 A≥π- arccos13时 .(…     

Shc22和Shc60的统一加强

设△ABC的三边BC、CA、AB分别为a、b、c，ha、hb、hc分别是相应边上的高，wa、wb、wc分别是/A、／B、／C的内角平分线，ra、rb、rc分别是相对于∠A、∠B、∠C的旁切圆半径，R、r、S、△分别是否△ABC的外接回半径、内团圆半径、半周长和面积，∑表示对a、b、c轮遍求和．刘健在艾［1」中提出如下两个清想问题：She22）：wiMMRr，（亚）She60＞：r。（w！十hZ）＜～～abc．（2）本文证明，不管式（1）和（2）可统一加强为如下不着五链：定理兰Rr‘＜r。wg＜S凸．（3）美中c是否ABC的汪意一边．于是，（3）的左半不等式成五．＿、…     

直角三角形的一个有趣性质

在直角三角形中,我偶然发现竟有这样一有趣的性质,即下面的一个等量关系式: p ·(p-c)=(P-a)·(p-b)=S_△ABC 式中a、b、c表示Rt△ABC三边的长,其中c为斜边,p=(1/2)(a+b+c),S_△ABC表示Rt△ABC的面积证明很简单:     

不等式∑(a/b+c)＜1+(23/3)的初等证明

文[1]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了: 在△ABC中,若a,b,c为其边长,则有 (a)/(b+c)+(b)/(c+a)+(c)/(a+b) <1+(23/3).(1)     

关于∑√a/b+c的上界

设△ABC的三边长为a、b、c,则有 　　∑√a/b+c》2, 　　其中2是最佳的.本文将讨论∑√a/b+c的最佳上界.……     

关于Milosevic不等式的再研究

<正>1引言本文约定:a,b,c,R,r,s分别为△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,半周长;∑表示循环求和,∏表示循环求积.文[1]介绍了由D.M.Milosevic提出的如下不等式:在△ABC中,有∑a/b+csin~2A/2=a/b+csin~2A/2+b/c+asin~2B/2+c/a+bsin2C~2≥1/2(1-r/2R).(1)文[2]给出了不等式⑴的如下加强:     

用代数解平面几何题

如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°.延长CA至D使AD=BC,在CD上取ED=CD-AB,在CB上取CF=ED,连接FD交AB边于G,求证:S△CDF>S△ABC.图1证明如图1,记BC=a,CA=b,AB=c,于是有S△ABC=12ab,依题意有S△CDF=12(a+b)(a+b-c).比较S△ABC与S△CDF.S△CDF-S△ABC=12(a+b)(a+b-c)-12ab=12[(a+b)2-(a+b)c-ab]=12[a2+b2+2ab-(a+b)c-ab]     

拓广的Wietzenboeck不等式

在三角形ABC中,三边为a,b,c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.这就是Weitzenboeck不等式. 对于两个三角形ABC和A′B′C′,其边分别为a,b,c,和a′,b′,c′,面积分别为S和S′,则有     

问题220 是题目的问题,还是解法的问题?

题目:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,它的外接圆半径为6,∠B,∠C和△ABC的面积S满足条件:S=a2-(b-c)2且sinB+sinC=43,(1)求sinA;(2)求△ABC的面积S的最大值.解(1)因为S=1/2bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,所以由题得:12bcsinA=-2bccosA+2bc,     

绝妙之证

题目已知p为△ABC内一点,BC=a,CA=b,AB=c,点p到△ABC的三边BC、CA和AB的距离分别为d_1、d_2、d_3。求证:a/d_1 b/d_2 c/d_3≥(a b c)~2/2S△ABC。(第22届IMO试题) 本题如用纯几何法论证,颇为繁琐!注意     

一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.     

说说三角形的周长和面积平分线

<正>三角形的周积平分线(一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,这条直线本文称为周积平分线),一定经过此三角形的内心.证明如图1,设GH为△ABC的一条周积平分线,P为△ABC的内心,令△ABC的内切圆半径为r.不失一般性,设△ABC的三边长为a,b,c,三边两两互不相等,记1/2(a+b+c)=p,令G、H两点分别在边AB、AC上.     

三角形中线和问题的推广

设△ABC的三边长分别为a,b,c,与之对应的三条中线长分别为m_a,m_b,m_c,则有3/4(a+b+c)相似文献   

单形中的一类不等式

§1.引言 在△ABC中,设BC=a,CA=6,AB=c,h_a,h_b,h_c分别为a,b,c边上的高,△为AABC的面积,则可证得如下不等式:∑a(-h_a+h_b+h_c)≥6△.(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立。     

课外练习

1.解方程5{x}-2[x]=11.(其中[x]表示不超过x的最大整数,{x)表示x的正小数部分).(广西南丹车河中学(547204)莫克伦)2.若△ABC的三边长是a,b,c且满足a4=b4+c4-b2c2,b4=a4+c4-a2c2,c4=a4+b4-a2b2,试判定△ABC的形状.     

一个三角形面积不等式的推广

文献 [1]给出一个三角形面积不等式 :设面积为△的△ ABC的三边长为 a、b、c,令a1=(b c) ,b1=(c a) ,c1=(a b) ,则以 a1、b1、c1为边可作成△ A1B1C1,并设其面积为△ 1,则有　　　　　△≤△ 1. (1)本文将围绕上述定理进行推广 .1　预备知识引理 1[2 ] 　设△ ABC的三边长及     

一题多解，多解同道——以2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题为例

<正>1 预赛试题2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题如下：若△ABC的三边a,b,c满足a²+b²+3c²=7,则△ABC面积的最大值为______.这是只有一个条件的求三角形面积的最值问题,属于中档题.注意到已知等式中a,b,c均带平方,且a与b是对称的,所以在选择面积的表示方法时,要充分考虑到这些因素,为下一步求最大值做好铺垫.2 解法探究设△ABC面积为S.解法1:因为当且仅当时,上式等号成立.     

新题征展(50)

A题组新编 1.(1)在△ABC中,设BC(→)=a,CA(→)=b,AB(→)=c,则△ABC为正三角形的充要条件是a·b=b·c=c·a.