圆锥曲线中的类比推理

类比推理既是一种思维形式,也是一种推理方法．它在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义．它能帮助我们触类旁通,启发思考．类比推理就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．它的基本公式为：     

双曲线与椭圆有趣类比一例

<正>众所周知,类比推理可以由已知对象A所具有的已知性质寻求发现与A可类比的对象B的某个与A相同或相似的性质.类比在数学的学习与研究中有广泛的应用,它为我们探究发现新的结论打开了一条通道、开启了一扇窗户.本文仅举出双曲线与椭圆相类比(椭圆与双曲线是可类比的两个对象)的一个实例,以飨读者.     

平面向量 复数

5.1　向量的概念及运算内容概述1.向量是区别于数量的一种量 ,它由大小和方向两个因素确定 .向量有三种表示法 :一是用有向线段 ,二是用字母 a或 AB,三是用坐标 a =(x,y) .注意共线向量 (也称平行向量 ,方向相同或相反的向量 )与相等向量 (方向相同且模相等 )的联系与区别 .2 .向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种 .注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示 .3.向理的基本定理及相关性质(1)两个非零向量平行的充要条件 :a∥ b　 　 a =λb.设 a =(x1,y1) ,b =(x2 ,y2 ) ,则a∥ b　 　 x1y2 - x2 y1=0 .(2 )两…     

从内切圆类比到内切球

<正>数学家波利亚曾说过,"类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题".类比,是根据两个对象或两类事物间存在着的一些相同或相似的属性、特征、关系等,推断它们之间也可能具有的其它一些相同或相似的一种推理形式,比如,圆与球类比,三角形与三棱锥类比,椭圆与双曲线类比,等差数列与等比数列类比,在函数与导数、排列组合中也存在类比现象,它们通常以类比思维为轴心,与数学思想方法、数学基础知识整合,考查探究能力、创造能力和合情推理能力.我们知道,在△ABC中,由正弦定理可求     

黄金比、银比和铜比及其推广

文 [1 ]给出了黄金比和银比的有趣性质 ,类似地还有另一种比———铜比 :设矩形两边长为a ,b(a >3b) ,切去三个边长为b的正方形 ,若剩余的矩形与原矩形相似 ,则称a∶b为铜比 .它与黄金比和银比一样 ,有相同的有趣性质 ,并且可以将其推广为“第k”比 .1　定义设矩形两边长为a ,b(a >kb) (k∈N+ ) ,切去k个边长为b的正方形 ,若剩余的矩形与原矩形相似 ,则称a∶b为“第k”比 ,记作 φk.为求 φk,可由等式a∶b =b∶(a -kb)解得 φk=k +k2 + 42 .2　性质性质 1　“第k”比的倒数 ,等于它的小数部分 .证　取 φk =k +k2 + 42 ,则 1φk =k2 + 4-k2…     

双曲线与椭圆有趣类比一例

众所周知,类比推理可以由已知对象A所具有的已知性质寻求发现与A可类比的对象B的某个与A相同或相似的性质．类比在数学的学习与研究中有广泛的应用,它为我们探究发现新的结论打开了一条通道、开启了一扇窗户．本文仅举出双曲线与椭团相类比（椭圆与双曲线是可类比的两个对象）的一个实例,以飨读者．     

类比题的类型及解题方法

波利亚曾经讲过:类比是一个伟大的引路人.所谓类比,就是根据两个对象的某些属性的相同或相似,推导它们的其它属性也可能相同或相似的推理方法.类比是创造性的逻辑思维方式,有利于开阔学生的视野,培养学生的发现问题的能力和创造性地解决问题的能力,是高考中的热点题型.……     

相似椭圆的性质再探

由文[1]的定义,我们把椭圆E1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和E2:x2/a2+y2/b2=λ(λ>0,λ≠1)称为相似椭圆(可以证明:两相似椭圆有相同的离心率),文[2],[3],[4]给出了相似椭圆的一些性质,本文再给出相似椭圆的若干性质.     

有限集相等的性质及其应用

已知元素中含有参数的两个有限集合相等 ,要确定参数或求出集合 .解决这类问题的常用方法是运用分类讨论思想列方程组求解 .其思维过程具有一定的发散性 .因而学生不时出错 .可否回避分类讨论呢 ?笔者发现 ,对两个相等的有限集合 ,由相等的定义可知 ,两个集合中的元素全部相同 .据此可得如下性质 :1 )　两个集合中所有元素之和相等 .2 )　两个集合中所有元素之积相等 .利用这两个性质就可以回避分类讨论而解决上述有限集相等的问题 .例 1　已知M ={2 ,a ,b},N ={2a ,2 ,b2 },且M =N ,求a ,b的值 .解　∵M =N ,∴ 2 +a +b =2a + 2 +b2 ,2a…     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式:(1)Sn=an bn=(a b)Sn-1-abSn-2;(2)Sn=an bn cn=(a b c)Sn-1-(ab bc ca)Sn-2 abcSn-3.将(1)变形为Sn-(a b)Sn-1 abSn-2=0,则发现其系数与方程x2-(a b)x ab=0的系数相同,而方程的两根就是a,b.(2)也有同样的情形,是巧合还是必然结果呢?再经过归纳发现这么一个事实,即定理若数列{an}的通项公式an=c11λn c2λ2n … ckλkn,且1λ,λ2,…,kλ是方程xk B1xk-1 B2xk-2 … Bk=0(Bk≠0)不相等的根,则数列{an}有递推式an B1an-1 B2an-2 … Bkan-k=0(n>k),其中B1,B2,…,Bk由初始条件或韦达定理确定.证因为λ1,2λ,…,kλ是方…     

从分式学习中学习类比和转化

数学思想方法是数学知识的精髓 ,是应用的指导与手段 .因此 ,数学学习不能只关注基础知识与基本技能 ,还要重视数学思想方法 .在分式学习中我们就可以学习类比和转化的数学思想方法 .1、类比的思想方法类比法是根据两个或两类对象的某种属性相同或相似而作出的推论 .类比的基础是比较 :对两个或两类对象进行比较时 ,发现它们的相同或相似点 .由于类比的目的在于用一个或一类对象的特点得出另一个或另一类对象的特点 ,所以类比法是一种创造性思想方法 ,是重要的数学思想方法 .但应用中应注意到 :进行类比的两个或两类对象之间的相似有其同一性和特定性的一面 ,一般也总存在差异性的一面 .因此从两个或两类对象的相似出发 ,并不必然地能得出它们的其他属性也一定相同或相似的结论 .由类比得出的结论我们必须证明其合理性 .在本文不论是概念的引入还是基本性质、运算法则的得出 ,都通过与分数的类比进行类似地 ,请同学们类比分数的乘除法、加减法的法则 ,自己写出分式乘除法法则、加减法法则 .2、转化的思想方法所谓解题———就是把未知的问题转化为已知的问题 .同一个数学问题 ,由于观察的角度不同 ,对问题的分析、理解的层次不同 ,可以导致转化...     

类比法求解抽象函数问题

类比是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的思维方法．类比思想是中学数学学习的逻辑思维方式。它既是一种推理方法，同时也是一种学习方法．抽象函数是一类没有给出具体解析式的函数。在探讨抽象函数的有关性质时。由于函数的不具体性。往往显得很盲目，无从下手。因而思维受阻，经常会出现盲点，     

黄金比和银比

黄金比是由于计算正五边形边长和优选法为大家熟知 ,它的应用极广 ,并且和菲波那契数列有紧密联系 .类似地还有另一种比 :银比 ,它与黄金比一样有许多有趣的性质 .笔者为帮助学生进行研究性学习的需要 ,提高他们学习数学的兴趣 ,介绍如下一些有趣性质 .1　定义 (黄金比 )定义 1　设矩形两边长为 a、b( a >b) ,切去一个边长为 b的正方形 ,若剩余部分与原矩形相似 ,则 a∶ b称为黄金比 ,记作φ.为求φ,可由等式 a∶ b =b∶ ( a - b) ,解得　φ =1 52 =1 .6 1 8…定义 2　 (银比 )设矩形两边长为 a、b( a >2 b) ,切去二个边长为 b的正方形 ,…     

从三角形到四面体

在《直线、平面和简单几何体》学习中,老师经常通过例子教给我们如何由平面几何中的命题类比到空间去.学完本章后,老师给同学们安排了一项课题:类比——从平面到空间.所谓类比,是把具有形式或结构相似的一些事物联系起来,由已知的其中一个事物具有某种特性,进而推断另一个事物的性质.下面是我们的一点尝试.     

类比推理在高考数学中的应用

类比是一种推理方法,又称为类比推理.所谓类比,就是根据两种事物在某些特征上的相似作出它们在其他特征上也可能相似的结论.类比推理是一种或然性的推理,其结论是否正确有待于进一步检验.     

活跃在高考题中的立体几何类比题评析

类比是根据两类不同事物之间具有类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的思维方法.它的思维过程大致如图所示:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.类比思想是中学数学学习的逻辑思维方式,它既是一种推理方法(类比推理是一种合情推理),同时也是一种学习方法,尽管由类比推理得出的结论不一定正确,但由于类比在寻找解决数学问题的方法和途径上以及发现科学奥秘方面更优于逻辑推理,特别是它在培养学生的发散思维和创新思维能力方面有其独特的作用,因而近几年来高考数学命题的类比问题已从幕后走到前台,更要注意的是,类比推理作为专门的一节已出现在新课标选修教材中,因而类比问题将是今后广大中学师生及数学爱好者的一个研究方向.……     

运用类比方法培养创新意识

类比方法,是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相同或相似而推出它们在其他方面也可能相同或相似的一种逻辑思维方法.一、类比方法是培养学生创新意识的重要途径运用数学类比思维可以把陌生的对象和熟悉的对象进行对比,把未知的东西和已知的东西相对比,特别是在资料少,还不足以进行归纳推理和演绎思维的情况下,类比可以启发思路,提供线索.类比法具有两个特征.一是适用范围广,可以跨越各个种类进行不同类事物的类比,既可以比较本质的属性,又可以比较非本质的特征.二是具有较强的探索性和预测性,由此可见,在数学教学中,根据教材的特点,运…     

一类类比试题的求解策略

新大纲提出加强对学生能力的考查 ,而核心能力是思维能力 .类比思想是解决高中数学试题的一种最基本的思维策略 ,而直接考查学生类比能力又是近几年高考中经常出现的一类试题 ,现结合例题浅淡一个解类比试题的基本策略 .1　参照物特征分析法例 1　 (2 0 0 0年上海市高考题 )已知等差数列 {an}中 ,a10 =0 ,则有等式a1+a2 +… +an=a1+a2 … +a19-n(n <19,n∈N )成立 .那么等比数列 {bn}中 ,若b9=1,则有等式成立 .分析　这是一个由等差数列类比等比数列的试题 ,解答这一题目时 ,首先应对参照物 (等差数列 )进行分析 ,再结合等比数列的相关知识…     

“正“”误”例说类比思想的运用

类比是根据两个(或两类)对象之间具有(不具有)某些相同或相似的性质,而且其中一个(或一类)还具有(或不具有)另一性质,由此推出另一个(或另一类)对象也具有(或不具有)这一性质,类比法是研究数学问题的重要方法,也是掌握知识的好方法,正如玻利亚所言:"类比是     

"向量"问题辨析

在学习向量这一部分内容时,受实数和平 面几何知识的影响,容易产生思维定势,如果 进行简单的类比,则会发生知识上的负迁移. 下面剖析一些错误的命题,以期达到纠错防错 之目的. 错命题1 若|a|=|b|,则a=b,或a=-b. 辨析 这是类比实数性质引起的负迁移, 由|a|=|b|,只能确定出向量a,b的长度相等,