略談产生“忽視特例”的原因及防止的方法

(一) 解方程a~2x=0(a是实数)。解∵任何实数的平方为正数,∴x=0。 (二) 什么有理数与无理数的积是有理数? 答:因为一切有理数与无理数的积都是无理数。沒有一个有理数与无理数的积是有理数。中学生在邏輯思維方面有一个具有一定普遍性的缺陷:在研究多个对象組成的整体的性质时,常常把“很大部分是”和“常见的部分是”錯誤地当成了“都是”;或者把“很小部分是”和“常見部分不是”錯誤的断言为“不是”。上面两題的解答,正是这类錯誤的实例。这类錯誤,可名之曰:“忽視特例”。此处“特例”一詞,有双重意义,就数量言,它指个別对象的性貭;就接触情况言,它指很少接触的对象的性貭。分析一下学生“忽视特例”的原因,研究一下防止学生“忽视特例”的办法,在提高教学貭量,培养学生邏     

师生共话无理数

学生　有理数和无理数有什么区别 ?老师　主要区别有两点 :1.把有理数和无理数都写成小数形式时 ,有理数能写成有限小数或循环小数 ,比如 4 =4 .0 ;45=0 .8;110 =0 .1;13=0 .333…而无理数只能写成无限不循环小数 ,比如 2 =1.4 14 2… ,根据这一点 ,人们把无理数定义为无限不循环小数 .2 .所有的有理数都可以写成两个整数之比 ,而无理数却不能写成两个整数之比 .根据这一点 ,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子 ,把有理数改叫“比数” ,把无理数改叫“非比数” .本来嘛 ,无理数并不是不讲道理 ,只是人们最初对它太不理解罢了 .学生　无限小…     

从聚点解开难点:极限与连续

<正> 全体实数体现了“有序无漏”。有序指二个实数必有一大一小。无漏指实数之间再无漏缺,不象有理数那样“漏洞百出”。每个实数能由十进位小数表示。有理数中有循环小数,循环部分有长有短,无理数绝非循环。实用计算中当然只能写到有限位。要无穷无尽在这一辈子那是不可能的。只能做到要准到小数点几位就能几位而又无限     

代数数与超越数

从古至今,“数”的概念是逐漸扩充,逐漸认識的。例如,最早的人們由于生产力的低下而只有“一”、“二”及“多”三个概念。后来便由生产力进一步发展的需要而产生了“一”、“二”、“三”、“四”、……等正整数概念,并且有了文字符号的表达,其中比較流行的是經欧化了的阿拉伯字母所記載的写法“1”,“2”,“3”,“4”……等等。之后,由于負整数的引进而将0,±1,±2,±3,±4,……等所成的系統称为整数系統,每一个“数”叫‘整数”(負的、正的或零)。再进一步便由除法运算(除数不为零)产生了分数m/n(n(?)0),便有了所謂“有理数”的概念。进一步研究方程的根,例如象x~2-2=0的解,記成x=2~(1/2),便是一个非有理数的“数”,称为“无理数”。人們还从方程x~2+1=0的求解过程中引进了“虛数”i=-1~(1/2)(i~2=-1),并以实数a与b出发所作的一个新数a+bi称为“复数”。复数包括了实数(无理的及有理的),而实数包含了有理数,它又包含了整数(正的、負的及零)。这一个过程便是“数”的概念的扩张过程的具体情形。     

学习实数要注意些什么?

实数是有理数和无理数的统称 .从有理数到实数实际是数的范围的扩充 ,学习有理数到无理数的过程 ,实质上是学习实数的过程 ,是从有限小数和无限循环小数扩充到无限不循环小数 (即无理数 )的过程 .因此在学习实数时要充分认识实数的真正含义及实数的一些非概念的因素 :1 .实数a的相反数是 -a,符号相反的两数的绝对值相等 ;注意不要忽略 0的相反数也在其中 .0虽然没有正负符号之分 ,但它仍然存在相反数 .因此 ,求实数的倒数时应除 0外 .2 .数轴上每一个点都表示一个实数 ;相反 ,任何一个实数都可以在数轴上找到一个点表示 (可以是有理数或无理…     

对“从算术到代数”(增訂本)的几点意見

“在变数变化的过程中,任意給出一个正数δ来,这变数的值从某值以后与一常数之差的絕对值永远小於δ时,此常数就叫做这变数的亟限”,由这个極限的定义,可知極限本身实是一个常数,本書說“∞代表某一量的極限”(第87頁)一話是有問題的。第95頁上有一个“代数数”的表,这里面有几处有問題: 一.“由10的乘方做分母的分数,叫做小数,这是小数的定义。由这个定义,可知小数是分数的一种,即分数是包括小数的。表中說:正数包括 1.整数;2.分数;8.小数。这是欠妥的。二.零也是有理数,而表中未列入,欠周到。三.表中把循环小数列为無理数,是不对的,我們知道,循环小数可以用分数表示,即循环小数是分数的一种,因而分数是包括循环小数的,故循环小数实是有理数,决不是無理数。四.無理数中除不尽根数外,街有超然数(如π),表中也未列入。五.虚数也分正負,我在这个表中才第一     

“实数（1）”教学设计

一、总体设计意图 “实数（1）”是义务教育课程标准实验教科书（苏科版）数学八年级上册第二章的第五节,是在数的开方的基础上引入了无理数的概念,将数从有理数范围扩充到实数范围,说明实数与数轴上的点具有一一对应关系．从有理数到实数,这是数的范围的又一次重要扩充,对今后学习数学有着重要意义．     

“有理数无理数问题”证明方法谈

在数学上,判断和证明一个实数是否为有理数,有时是很重要的。长期来,人们对两个重要无理数“π”和“e”的研究就是突出的例子,正由于此,国内外数學竞赛的命题者不时编拟出此方面的问题。本文,试就一些典型问题谈谈此类赛题的证明方法。一、根据定义判断和证明无限不循环小数叫做无理数:有限小数或无限循环小数是有理数。有理数总可以表示成既约分数P/q的形式,而无理数则不能。这些定义是判断和证明“有理数、无理数”问题的基础。     

数的开方单元目标测试

数的开方单元目标测试（４０分钟完成，满分１００分）一、简答：（每空３分，共１８分）有没有最小的：（１）自然数？答；（２）整数？答；（３）有理数？答；（４）无理数？答；（５）实数？答；（６）正数？答。二、判断：（每小题２分，共２２分）（１）－７是４９的...     

利用实数的性质解竞赛题

本刊89年第二期“利用有理数≠无理数解题”,可以看作是“利用奇数≠偶数解题”的拓广.除此而外,还可利用实数的其它性质(比如整数≠既约分数;a~2<0与a相似文献   

证明一类无理数的一般方法

众所周知,实数分为有理数和无理数,无理数又分为代数数和超越数。这是实数的一种划分法。实数集还可以分成代数数集和超越数集。如果一个实数是整系数的某个代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a(n-1)x+a~m=0的根,那么这个数叫做代数数。反之,不是任何整系数代数方程的根的实数称为超越数。因为全体有理数n/m是一次代数方程mx-n=0的根,所以有理数集是代数数集一个子数,因此超越数都是无理数。证明一个数a是无理数,统编高中《代数》课本用了反证法,但用反证法需要一定的技巧,学生往往不会使用。本文打算介绍证明代数数中无理数的一种一般方法、供教师们参考。这种方法要用到下列定理。这个定理在一般代数课本中都有、我们就不作证明了。定理:整系数代数方程a_0x~n+a_1~(n-1)+…+a(n-1)x+a_n=0有有理数根m/n(m、n互质)的必要条件是m是a_n的约数、r是a_0的约数。我们先举例说明如何用这个定理证明代数数中的无理数、然后总结这种方法的一般步骤。     

有理数系不存在确界原理

本文举例论证了有理数集不存在确界原理.先给出了正有理数系无限集确界不存在的严格证明,进而论述了有理数无限集和无理数无限集确界的不存在性.由此可得有理数系是离散的,无理数系也是离散的,而连续性(即完备性)是实数系特有的性质,有理数系和无理数系均不具有.     

可爱的0与1

大家知道,最简单的数字莫过于0与1,然而却有着极其丰富的内涵.这里仅就初中数学教学的范畴来解读中学生眼中的0与1.——愿人人都能分享其中的美与妙,不同的人获得不同的感悟:“1”不小心爱上“0”! 一、0与1的特性 0是第一个自然数,逐次“加1”就有了后续无穷无尽的自然数,进而就产生了分数,小数,有理数,实数乃至复数(i2=-1 )等.0是自然数,当然也是整数,是有理数,是实数,但它既不是正数,也不是负数,是唯一的中性数,还是绝对值最小的数;1是最小的正整数,在自然数集合中,只有1既不是质数也不是合数.在现实世界的时间和空间里,一切都得从0和1开始.正因为0与1的特殊地位,注定了它与众不同的运算特性.     

利用有理数≠无理数解题

众所周知,任何一个实数要么是有理数,要么是无理数,两者必居其一而且只居其一,我们将实数集合的这一性质简称为有理数≠无理数。许多和实数有关的证明题,乍一看似乎感到难于下手,但若利用上述性质来证,常可使问题迎刃而解。现举例说明如下。     

最小数原理

1.引进实数系统的方法很多,最自然的一种方法是从自然数1,2,3,……开始,逐步扩充自然数集,经整数、有理数到无理数,从而构造性地给出实数系统。而自然数系本身却由公理给出。1889年意大利数学家皮亚诺(G.Peano,1858—1932)创立了五条自然数系的公理,称为皮亚诺公里。从皮亚诺公理     

趣数一箩筐

我们学过的数，你能说出哪些名称？我先来说，素数、合数、奇数、偶数、整数、分数、有理数、无理数等等。这些都是我们熟悉的数，然而下面这些有趣的数你听说过吗？     

谈有关无理数等问题的教学——中学数学笔谈之十三

在现行初中代数的教学大纲中,在“有理数”之后,引进无理数之前,包括了许多内容：整式和分式及其运算、一元一次方程和二元一次方程组、一元一次不等式、因式分解等．然后从数的开方问题引起,说明了无理数和实数的概念．在１９９３年的教材中,无理数的引进是这样开始...     

破译无理数

一、无理数不无理无理数,并不“无理”,它和有理数一样,都是现实世界的量的反映,“无理数”只是人们习惯采用的名称而已,它丝毫也不表示没有道理的意思．无理数和有理数一样,有无数多个．二、无理数的特征无理数是无限不循环小数．这说明无理     

为什么根号5是无理数：七年级学生的证明

1 引言 实数的概念是沪教版初中数学七上第12章第1节的内容,在这一节,学生第一次遇到无理数这一全新的概念.以往的教学实践表明,许多学生初学无理数概念之后,对有理数与无理数的本质区别依然不甚了解,甚至有学生将22/7看作无理数,√3/2看作有理数.要让学生真正接受无理数,深刻理解无理数与有理数的区别,就需要让学生看到一个无理数不是有理数的理由,而有关实证研究表明,“无限不循环小数”这一定义无助于学生对无理数的理解.对于“为什么√2不是有理数”,教科书在阅读材料中给出了证明,而教师在课堂上却很少运用这则材料.原因有三:一是因为与考试关系不大,教师和学生并不重视阅读材料;二是很多教师认为课堂上没有足够的时间;三是教师担心学生在证明的理解上存在困难. 上海延安初级中学七年级数学组在实施“培养学生数感”的教学活动中,专门设计了“√2的认识”一节课,教师在引入√2之后,用反证法对√2的无理性给予了证明:假设√2=詈,其中a、b为正整数,a≠0,且a与b互素,则有2=a2/b2,即a2=2b2.故a为2的倍数.设a=2m,且m为正整数,则有(2m)2=2b2,即b2=2m2.故b也是2的倍数.于是,a和b有公因数2,与a、b互素矛盾.因此,√2不能表示成詈的形式,即√2不是有理数.从历史上看,这个证明很可能是无理数的发现者西帕索斯本人给出的,也是数学史上反证法的第一个应用之例.     

实数错例 点点滴滴

在学习有理数时,许多同学在有理数运算上会出错.在引入无理数的概念以后,将数的范围从有理数范围扩充到实数范围,实现了数的第二次扩展.在数的两次扩展中,对于不少初学者来说,无论是实数的概念,还是实数的计算,都容易出错.下面对实数的几种错误作分析,以期对大家在平时的学习中有所帮助.