关于多面角和多面体概念的几个问题

(一) 一个有问题的例子 在现行中学课本[1]中139页给出了简单多面体的定义:“表面连续变形,可变形为球面的多面体,叫做简单多面体。”接着说:“除简单多面体外,还有不是简     

欧拉凸多面形定理和欧拉示性数

Ⅰ.凸多面形的欧拉定理 1.定理的敍述和来源象中学立体几何教科书中所說的,由若干个平面多边形所围成的封閉的立体叫作多面体。这些多边形的每一个叫作多面体的面,这些多边形的边和頂点分別叫作多面体的棱和頂点。当多面体在它的每一个面的平面的同一側,它就叫作凸多面体。凸多面体的表面叫作凸多面形,它的面、棱和頂点也就是凸多面形的面、棱和頂点。例如图1中的(一)到(四)都是凸多面形,图1中的(五)不是凸多面形。     

棱柱伪定义经典反例的向量表示

<正>众所周知,“有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱”,这是教材中给出的棱柱定义.而在数学史上棱柱定义有一个逐步完善的过程,其中反例起到了重要作用.对于颇具迷惑性的棱柱伪定义“有两个面为平行平面上的全等多边形、其余面均为平行四边形的凸多面体叫棱柱”,数学家波利亚曾给出经典反例^[1];本文从向量表示动点轨迹的视角阐明该经典反例的形成过程.     

77 棱柱定义的发现学习

［课前准备工作上课的一周前，发给每一个学生如图1、图2所示的展开图（比例尺为5：1），让学生折成两个封闭的几何体．折成后的几何体如图3、图4，这既是让学生动动手；也是为打开他们的思路与想象，预备了两个可能用得上的反倒模型．］1这就是棱柱上课了，教师随即演示如图5的各个棱柱的正例（至少演示三个）；并明确地说“这就是棱柱！”让学生仔细观察后，教师设问：T：我们所演示的几何模型的共同的本质属性是什么？即应怎样定义棱柱？S1：（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．（这…     

为什么正多面体只有五种

我们知道,平面上的正多边形,可以有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等.对于任意一个正整数n,都有正n边形存在.平面上的多边形,类比到空间,就是多面体——由若干个平面多边形围成的封闭的空间图形.围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点.把多面体的任一面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样     

对一个反例的订正

对一个反例的订正２７４７００山东郓城实验中学于加月多年来常见如图１的一个长方体和一个斜四棱柱组成的多面体作反例，说明棱柱Ｕ概念不能简化为“有两个面互相平行，其余ｇ面都是平行四边形的几何体叫做棱柱”，其９这个反例有些失当，因为它是四多面体．因为棱柱的概...     

欧拉公式及其应用

对于简单多面体来说,若顶点数为V,面数为F,棱数为E,则V F-E=2.这就是著名的欧拉定理,其关系式叫做欧拉公式.其中的常数f(p)=V F-E=2叫做简单多面体的欧拉示性数.欧拉公式揭示了简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间特有的规律.欧拉公式只适用于简单多面体,是计算和推理简单多面体问题的理论依据.例1将正方体的各棱三等分,经过三分之一分点,从正方体的8个角截去8个相同的小四面体,试验证截后的凸多面体符合欧拉公式.图1分析先弄清楚截去8个角后得到什么样的几何体,然后分类计算面数、顶点数与棱数.证明截去8个角后,原正方体的每…     

棱锥是凸多面体吗?

《立体几何》P75言:“所有的棱柱、棱锥、棱台指的都是凸多面体,图中的多面体不是凸多面体”。在教学中,学生提出疑问:图中的多面体符合棱锥的定义:“有一个面是多边形,其余各面是有一     

多面体的体积

一、引言本文是前两篇文章“綫段的长度”、“多边形的面积”(分别发表于本刊今年九月和十月号)的續篇。多面体是以簡单多边形为面的封閉空間图形,和面积的概念相似,多面体的体积定义是:多面体A的正实值函数V(A),它滿足下面两条件:ⅰ)两合同的多面体的体积相等,即A≡B时,V(A)=V(B);ⅱ)如果把多面体A剖分成两个多面体B和C,則V(A)=V(B)++V(C)。完全和多边形面积理論相似,从这个定义出发,我們能够証明多面体的体积是存在的,如果我們进一步把边为单位长的立方体的体积定义为1的話,則任意多面体的体积还是唯一的。然后,沿着中学立体几何教科书中的途径,我們能証明許多常見的多面体的体积公式。     

一个需要完善的经典反例

一、棱柱定义与经典反例文1中提到了棱柱概念的进化并提供了一个典型反例,笔者觉得这个反例值得商榷,有必要做进一步完善.先看一下人教版教材《必修2》1.1.1节中对棱柱下的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.而作为一线教师,一定会同时给出     

欧拉公式的证明与应用

欧拉研究多面体时，得到了一个著名的欧拉公式：V＋F-E=2，其中V表示简单多面体的“顶点数”，F表示“面数”，E表示“棱数”，若将简单多面体去掉一个面，并将其余各面拉开压缩到该面所在平面，便得到平面内多边形的“点数、面数与线数”的三者关系：V＋F-E=1．这里的V表示“点数”，F表示“面数”，E表示“棱（线段）数”．     

关于位似概念的注记北大核心

在中学,图形的相似和位似是两个教学内容． 定义1 如果两个多边形满足对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形相似． 定义2 两个多边形相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边平行或共线,这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心．     

利用割补巧求几何体的体积

我们熟知的体积计算公式只有柱、锥、台、球这四种几何体 .而对于这四种几何体以外的几何体我们暂且称为不规则几何体 .图 1本文以一例介绍如何使用割补法 ,将不规则几何体转化为规则几何体 .题目　如图 1,已知多面体ＡＢＣ ＤＥＦＧ中 ,ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ两两互相垂直 ,平面ＡＢＣ∥平面ＤＥＦＧ ,平面ＢＥＦ∥平面ＡＤＧＣ ,ＡＢ =ＡＤ =ＤＧ =2 ,ＡＣ =ＥＦ =1,则该多面体的体积为 (　　 ) .(Ａ) 2　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 6　 (Ｄ) 8一、利用切割转化成规则几何体图 2解法一　作ＡＫ∥ＣＧ交ＤＧ于Ｋ ,(如图2 )连结ＦＫ .易证几何体ＡＤＫ ＢＥ…     

简单几何体题卡

简单几何体题卡笑文题正方体ＡＣ１的棱长为ａ，Ｅ，Ｆ为棱ＡＢ的两个三等分点Ｇ，Ｈ为棱ＣＤ的两个三等分点（如图），则多面体的体积为分析考虑多面体Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１－ＥＦＧＨ的几何特征，优先考虑简单体：柱，锥，台的几何特征．“从前向后”的角度，该多面体为直四...     

正多面体只有五种

边长和角分别都相 等的多边形叫正多边 形,正多边形有许多许 多种．形状大小完全一 样的正多边形围成的多 面体叫做正多面体．而 正多面体只有五种:如 图1,正四面体;如图 2,正六面体(正方体); 如图3,正八面体;如 图4,正十二面体;如 图5,正二十面体． 正多面体只有五 种!对此,许多同学感 到不可思议． 正多面体为什么只 有这五种呢? 弄清这个问题,需 要用到的数学知识有以 下三点:     

分割法解题举例

<正>作出或选择适当的截面,对图形进行有效的分割,将不规则的几何体分解成若干个易于计算的几何体,解题的方法,叫做分割法.这种方法应用十分广泛,现举例说明.例1如图1所示,在多面体EF—ABCD中,已知ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=3/2,EF与平面ABCD的距离为2,     

怎样探求异面直线所成角

异面直线所成角的问题,是空间“三大角”问题之一,历来是考试的重点内容.异面直线所成角是用过空间一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的.由定义可知,探求异面直线所成角的关键是在不同的几何体上找出那个空间的点,然后可通过平移直线作出异面直线所成的角.     

几何体的割与补

在平面几何中,为了求任意多边形的面积,讲过割补法,在立体几何中,为了研究某些几何体的性质或计算它的体积,也常常把几何体割补成我们熟悉的几何体。例1 (课本128页第17题) 斜三梭柱的一个侧面的面积等于S,这个侧面与它所对的侧梭的距离等于a,求证这     

凸多边形和凸多面体(续完)

(二)凸多边形和凸多面体 4.凸图形的交.设F_1,F_2,…,F_k是一些凸图形,同时属于每个F_1,F_2,…,F_k的所有点组成的图形叫做它们的交.图19中表示了三个图形F_1,F_2,F_3的交.图形(或几何体)F_1,F_2,…,F_k的交表示为F_1∩F_2∩…∩F_k.可以研究无限多个图形的交.     

积分及其力量

<正> 1 面积概念多边形可截补成矩形.此矩形的面积被认为是多边形的面积.曲线围成的平面图形,不能截补成矩形,谁能把圆截补成矩形呢!仍以截补思想为指导,同极限概念的形成一起,而得到它的面积概念.例如,由曲线y=x~2,直线x=1,x轴围成的图形,它的面积被定义为积分∫_0~1x~2dx如的值,即(1/3)面积单位.平行于直线x=1,把图形截成等宽度的n个长条形.在各个条形内挖出一个最犬的矩形,这些矩形面积之和为