同余数问题与椭圆曲线

1 同余数是什么。边为整数X，Y，Z的直角三角形，其中(X，Y，Z)称为一组“毕达哥拉斯三元组”．在古希腊就已经由毕达哥拉斯、欧几里得与丢番图等人研究过．我国古代周髀算经之商高定理。     

齐性空间自映射的同伦分类 献给杨乐教授80华诞

齐性空间是几何学中一类重要流形,而连续映射的同伦分类是代数拓扑学中一个基本问题.本文是一篇关于齐性空间自映射的同伦分类的综述文章.本文回顾这个课题的前期工作,介绍最新的进展,以及林贤祖的一些新结果.     

Iwasawa理论和BSD猜想 献给杨乐教授80华诞

本综述介绍七大千禧年问题之一的BSD (Birch and Swinnerton-Dyer)猜想,以及它的重要研究工具之一Iwasawa理论的相关背景.之后分情形讨论人们对这个问题的研究方法和结果,着重介绍最近取得的进展.     

关于Thurston障碍的判定 献给杨乐教授80华诞

本文利用不变图给出临界有限分歧覆盖没有Thurston障碍的一个判定条件.     

多复变简介:与单复变的联系 献给杨乐教授80华诞

本文围绕解析延拓,阐述多复变的一些基本内容、思想、方法及进展,并简述与单复变的联系.     

涉及微分多项式的正规定则 献给杨乐教授80华诞

本文研究一类微分多项式的正规定则,得到下面的结果.设F为区域D内的一族亚纯函数,k≥4为正整数, a(z)(■0)、a1(z)和b(z)为区域D内的全纯函数.若a(z)=0时, f (z)≠∞且对于F中的每一个函数f,有f′(z)+a_1(z)f(z)-a(z)f~k(z)≠b(z),则F在D内正规.     

有理齐性空间切面的一些几何性质 献给杨乐教授80华诞

有理齐性空间是最简单的射影代数簇,而对它的研究与刻画一直是代数几何的热点问题与灵感来源.有理齐性空间的切面则提供了大量有趣的代数簇的例子,而对它的系统研究才刚刚起步.本文拟从以下几个方面概述最近在此方向上的进展:自同构群与拟齐性、向量群的等变紧化和形变刚性.     

整函数与其二次迭代周期性之间关系的Gross问题 献给杨乐教授80华诞

1972年, Gross提出了下述有趣的问题:如果f(z)是非常数整函数,而且f(f(z))是周期函数,那么f(z)一定也是周期函数吗?关于这一问题,本文证明了如下结果:如果f(z)是非常数整函数,f(f(z))是以τ为周期的周期函数,且f′(z+nτ)(n=0, 1, 2,...)在复平面C上不局部一致收敛于0,则f(z)也是周期函数.     

可数无限群作用子集的单纯Bowen拓扑熵 献给杨乐教授80华诞

本文研究紧度量空间上可数无限群作用给出的动力系统G■X.特别地,对于X的任何一个子集Z,定义这个群作用相对于子集Z的单纯(naive) Bowen拓扑熵h_(top)~(nv)(G, Z).进一步,本文研究这种熵的基本性质,并且对于非顺从的可数无限群,计算这种熵的取值范围.事实证明,这种单纯熵的取值真的很单纯,反映了动力系统复杂度的一种二分现象.     

Ahlfors第二基本定理中等号成立的不可能性 献给杨乐教授80华诞

Ahlfors第二基本定理断言,对于扩充复平面■上任意q(q≥3)个互异点构成的集合E_q,都存在一个最小正常数H_0(E_q),使得任意单连通曲面Σ=(f, ■)都满足(q-2)A(Σ)-4π#(f~(-1)(E_q)∩U)≤H_0(E_q)L(?Σ),其中A(Σ)是Σ的面积, L(?Σ)是Σ的周长,#表示元素的个数.之前的论文已经证明,上述定理中的等号不可能成立.作为Ahlfors第二基本定理的特殊情形,存在一个最小的正常数h_0(E_q),使得每个内部不取E_q的单连通曲面Σ=(f, ■)(即要求f(U)?■\E_q),都满足(q-2)A(Σ)≤h_0(E_q)L(?Σ).本文证明这个不等式中的等号还是不可能成立(Zhang(2013)已经针对一个特殊情形发现此现象),证明过程又给出了一些其他的结果,回答了我们早先论文未解决的两个问题.     

Darwin模型外问题 献给林群教授80华诞

本文综述有关Darwin模型的分析结果和数值方法,其中包括模型的引进以及它的近似程度、适定性和数值方法,着重讨论有关外问题的工作.     

面积-容量-模不等式与填充Julia集的面积 献给杨乐教授80华诞

本文证明一般的面积-模不等式area(K)≤area(D)e~(-4π mod(A)),其中K是平面上满的正规紧集,D是包含K的有界单连通区域,区域A=D\K.上式等号成立当且仅当A是同心圆环区域.进一步,本文建立平面上满的正规紧集K的面积-容量-模不等式area(K)≤π cap(K)~2e~(2L-4π mod(Λ)),其中L是关于K的Green函数的最大临界值,Λ是K诱导的树(集合论中的树).上式等号成立当且仅当K是闭圆盘或mod(Λ)=∞.利用此不等式,本文得到d次首一复多项式f填充Julia集K(f)面积的最佳上界估计area(K(f))≤πe~(-(2qL)/(d-q-1)),其中L=max{G_f(c)|f′(c)=0},q为f在集合G_f~(-1)(L)\K(f)上的临界指数.     

捕获分支是拟圆:具有临界不动点的三次多项式 献给杨乐教授80华诞

按Milnor分类,具有有限临界不动点的三次多项式的参数平面中,有界双曲分支可以分为三类:主双曲分支、捕获分支、非捕获分支. Roesch证明了主双曲分支边界具有稠密尖点,本文证明捕获分支的边界是拟圆周,从而没有尖点.同时,非捕获分支的边界是一条解析曲线(至多有一个例外的尖点).     

黎曼ζ-函数之二:算子及其指标 献给杨乐先生80华诞

作为?={s:Re(s)≥1/2}上的有界函数,(s-1)/s~2ζ(s)在哈代空间H~2(?)上乘积作用诱导的有界线性算子的指标为零的充分必要条件是黎曼假设成立;通过KS-(逆)变换,这一结果对应到希尔伯特空间L~2([1,∞))上的某乘法卷积算子的一个等价命题,该命题的一种离散表述是:算子A_ζ=(1/(mn){m/(n+1)})m,n≥1作用在l~2(N)上的指标为零当且仅当黎曼假设成立。对Dirichlet L-函数也有类似结果。应用KS-变换等手段,文章中将给出这些结果的证明细节。     

纳米材料力学性质定量分析中的反问题 献给林群教授80华诞

本文对纳米材料力学性质定量分析中出现的反问题理论、计算和应用进行了探讨.这类问题在纳米材料科学以及功能器件开发等方面中有着重要的应用,对纳米尺度下的测量、优化设计、研发及应用有着重大的指导意义.根据工程测量方法的不同,纳米材料力学性质的定量分析方法一般可以分为两类,静态法和动态法.本文针对两种方法,率先研究Euler-Bernoull方程的反演随机源项、反演系数和反谱问题,得到了对于一般非均匀纳米材料性质测定的方法,其中对于反演随机源项,本文得到在依概率意义下的收敛性;对于反谱问题,本文将其转化为优化问题求解,并给出数值算例验证.最后提出这些反问题新的应用和数学上新的研究方向.     

电子结构模型与计算的若干数学问题 献给林群教授80华诞

又快又好地计算大规模的电子结构是极具挑战性的课题,而电子结构模型及其数学基础与数学性质在理解、分析与设计第一原理电子结构计算方法中发挥着重要作用.本文介绍作者所在小组在电子结构模型的数学基础和电子结构计算的方法与理论的研究中关注的若干数学问题.     

超材料电磁波有限元模拟中的相关问题 献给林群教授80华诞

超材料是指一种人工合成的纳米电磁材料,它的介电常数和磁导率对某些波频段会同时为负,从而导致其折射率为负.超材料硏究的兴起始于2000年,在过去的十多年一直是多个学科的研究热点.本文侧重介绍电磁波在超材料中传播所涉及的模型方程以及如何用有限元方法求解.本文是对过去十年来计算数学在此领域工作的一个总结.最后提出一些值得继续探讨的问题.     

最优控制问题的有限元高精度分析及其应用 献给林群教授80华诞

本文简要回顾偏微分方程最优控制问题的有限元高精度分析和基于高精度分析的高效有限元算法的若干研究工作,包括椭圆型方程、抛物型方程最优控制问题的有限元超收敛,椭圆型方程、Stokes方程最优控制问题的混合有限元超收敛,以及基于高精度分析的后验误差估计和自适应有限元方法及有限元外推和校正.本文对近年来上述研究进展进行综述,并展望拟开展的研究工作.     

交界面椭圆、抛物和Maxwell方程的有限元分析和进展 献给林群教授80华诞

本文综述交界面问题的有限元离散数值方法近十几年来的最新进展,重点讨论椭圆型、抛物型和Maxwell型交界面问题的有限元方法,总结已有的相关研究结果,如正则性、变分形式、有限元离散策略、数值积分策略、交界面逼近及其对离散解的影响和离散解的收敛性分析等.伴随历史发展,本文还梳理了交界面问题的发展脉络.最后列举一个交界面模型的实际应用,即不可测热交换界面上热通量重构问题,着重分析自适应有限元方法的后验误差估计.     

分解法在声波反散射问题中的最新进展 献给林群教授80华诞

本文旨在总结分解法在声波反散射问题中的最新进展,其中包括经典的分解法如何应用于可穿透散射体和具有广义阻尼边界条件的复杂散射体情形,以及分解法在处理混合型散射体、近场数据反演和避免内部特征值等情形的修正方法.