一道范例的教法所得

例:已知:如图l,O以约半径为,、(’‘唾直一J几直径A丑弄疏是仪撇中点,弦Bl心几么点.求B加勺长. 解:‘.’〔丫)土AB一丁七以点材是(丫冶勺中点,则〔’O=BO=r’ OM二C对二会,BM二了厂十(会)“ 再=万一r. (图l)-ADB与△M〔)刀为,,△, 方法一:(利用比例线 段求值)连结几I>.易有△且△ADBo。△MOB于是有器一儡,…BD一竿,几(图2) 万法二:(利用相交弦定理求值)如图2,延长〔丫玫③口f及 …伽一音,.’.材E二普。由相交弦定理得: I)叼·几fB一〔几I.M乙、导D、一奈I.…BD一BM+MD一零;一十典拿 ‘1气少 4裤I一二.不一’几r.D (图3)=…     

等角对等边的联想

J~。一_,,、卜叫,_一石c滩刀二X=刀刀=万,田上还引理翔x二一.a,一石2 a所以I7c=。’一价 aa 即得减:四a欠 我们知道,在△ABC中,若匕过二乙B,则a=杏,即a一石二O,不妨记 f,(a,石,c)二a一乙.①则f,(a,石,c)是△ABC,匕A二匕B的边长恒等式。自然,我们容易想到 若艺A二2乙B,则边长恒等式厂:(a,乙,c)二? 若乙A=3乙B,则f。(a,丢,c)=? fZ(a,乙,c)=a’一石’一石c. (2)若乙且=3匕B,如图3,作匕B滋D=2a,设BD=万,‘一/由引理易知//B .阮一a 一一 X若艺月二:匕B,则f.(a,石,c)本文将对此作些探索,为此,二?我们先证(,李2,a,一石1 a 引理在△月BC…     

公式(a+b/2)~2≤a~2+b~2/2的一个证法及其应用

公式〔蝉、“簇丝兰早兰兰(:)弓}自统编数学课 一’一’、2/一2’一’、·~?一”~,一本第三册尸66.5(3),一般是利用基本不等式a“+吞,》Za西(a、乙〔尺,当且仅当。=乙时取“=,,号)证明的。在此我们为了推广这一不等式而采用另一种证法。 证明:令f(x)=(x一a忿)+(x一的“(a拍〔R),则f(x)对任何实数x恒有厂(x)》0。故方程(x一a)“+(x一b)“二0当a沪b时只能有虚恨当‘=b时则二根相等。因而其判别式△(0. 方程的判别式 △=4(a+b)2一4 02·(aZ一卜西“)(0。即(e+舌)“(2(a:+乙“).(色华、么、21《趁土兰 2(当且仅当a=b时取“=”号)。公式(幻可以…     

垂心的性质及其应用

锐角三角形的垂心,绍与三角形的边角有关的儿个性质,再举例说明它的应用。 设锐角△ABc,AD上BC,BE一LAC,CF--LAB,(D,E、F为垂足)有很多性质。本文先介(图i)边H为垂心,乙A,乙B,乙C的对边分别为a,b,c。R为△ABC外接圆的半径,不难证明下述结论的正确性. 性质1 BD=eeosB,CD=beosC,CE二a6osc,通E=eeos才,姓尸二占eo:通,丑F=aeosB。 性质艺EF二aeosA,DF=beosB,DE二eeosC。 性质3述H=ZRco“A,BH=ZRcosB,CH=ZReosC;DH=ZReosBeosC,EH=ZReosAeosC,F月二ZReosAeosB 例1己知锐角△A刀C的高AD和BE交于H,(刀、刃为垂足)…     

初二几何第二学期期末自测题

A组 8.如图,△A仪二中,乙C=90.,川)平分艺丑屯了.若〔刃“3皿,则点D到川3的距离为一、填空题(每小题4分,共40分) 1.如图.艺1+乙2+乙3+乙4=_度. ,~a bc。,.a+b 乙J兮C户次/人A一BB~一一方-盏C Za+3b一4c,Za一3b+4c (第8题)(第9题) 9.如图,△A庆二中,乙B二30,,匕C=45。,川〕上及了于D,若AB“4,则斑)二_,CD‘_. 3.在△八BC中,已知乙A:匕B二1:2,匕A:乙C=2:3,则△八故了的最小角为_,最大角为_. 4.已知三角形的两边分别为2,9,且第三边长为奇数,则第三边长是_;此三角形是_三角形 5.已知△乃及二的△A,B‘C‘夕址)和A,D了分别是五〔和B…     

若干个三角定理的统一处理

如图,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,过B作BD⊥AC于D点.1.三角形面积公式 在Rt△ADB中, BD=c·sinA.∴S△=1/2AC·BD=1/2bc·sinA.同理S△1/2casinB,S△1/2casinC.     

一常见三角公式的另一证法

“在△A刀c中,有t、A十toB十tgC= 即tga=又’:乙CBE=‘分+仇而‘一夕之匕OAE,探一︷劣招Atg山茄”这是一个常见的三角公式,但许多数学参考书都是利用三角证明的。现用另一种方法给予证明。.’.△O月E。△C刀刀,.’o刀C召EA口刀召 证明:如图,设刀D、召E、 CF分别是△A刀C三边上的 高,重心为O, 刀C=a,AC=乙, AB=C,AO=x, 刀O=万,CO=z, 乙BAC=二.乙ABE,乙刀OC=匕EOF,丫在Rt△ABE中,tga=塑二三A丑x c邵十乙之a~、-,·、-,一白‘一万之x整理得:卿:十乙二:+。刀x=a乙。,两边同除以粉之得:,.’乙且CF=(1)(2)(8)‘︸之 .,口一…     

上期课外练习解答

将原问题转化为比较ZR(SinA十SinB 、inC)与3R的大小关系,即比较a b 。与3R的大小关系.在锐角△ABC中,设△ABC的外接圆圆心为0.有a b>0今十OB一ZR, b十c>OB OC一ZR, a c>〔从 OC一ZR. 2(a十b 。)>6R,即a b斗。>3R.由正弦定理得ZR(5 inA sinB sinC)>3R. ~_3 ”’nA S‘nB S‘nC>言·作△ABC,使AB二BC一17,AD土BC于D,AC一:1 3.令匕ABC一a, 匕c一尽B二一“DC显然有1 7eosa 13eos月=17,1 3Sina~13sin尽由此知号 、-二2作Rt△ABC,使八〔’一4,BC一3,A召一5.取△A召C内一点尸,使乙A尸C-1 200,匕APB=1500,匕CPB=90…     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

问题与解答

一、本期问题 1。设。。是1+2+3+…+:的个位数舒毛N,试证0 .a:a:a:二a。…是有理数. ·山东巨野县职工学校尚瑞山提供 2。设a、b、c为非零实数,且a+b+c“O,证明八戈粉又‘,+乙,+c, 7 忍6+丙6+c sa:+乙:+c::二一.一 证明:如图,连BX、CY交于O,则O应是△月BC的内心.过O作OD上石C于D,则OD=丫. 又连灭Y,则述心洲线XY二,:. 多失!△6刀C的面积=△口犬r的正积犷~一。 湖南邵阳市教研究许第珍 3。已知△月刀C三内角五:刀:C=:9,a、b、‘表相应的三条边的长,c。一a“=c“(西一a)+乙2(c一a). 吉林泊镇蚕劳改总队一中张迎春 4.设”<‘<分,求证,…     

周界中点三角形的几条性质的加强

如图1,设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且约定BC = a,CA = b,AB = c,s = (1)/(2)(a b c),AE=BD=s-c,AF=CD=s-b,BF=CE=s-a.     

一九九○年全国初中数学联赛试题解答

第一试一、选择题(本题满分48分,每小遨6分)、南十1衡、 忐的值是A)],湖南供题(B)一z;(C)2;(D)一龙.〔答〕(D)尹‘、了召、1解原J、一、专 1、认-,兰3 2.△一IBC中,月力是高,且月乙2=BD·CD,那么乙B月c的度数是 (A)小寸二9。”; ((二)大干90’: (1了仁T川供是互) 解法1 It]理乙“二BD仃卫一书1}2一竺BD·CD B工2 〔’口2 卫理石2二B口2 C乙艺十ZBD·CD (BZ“ J白“) (月刀2十C日2)一(BD CD“即一理LZ 理CZ“BC 2.(B)等于90’;(D)不确定. 〔答〕(B)·CD月 3.方程7,2一(k 23)二 人2一左一2~o(k是实数)有两个实根a,刀,且c<…     

数学问题解答

1989年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出)601.解方程解:令y=扩 1 1劣。一万-1戈一一一一二十只一万一一气犷一一一气二乙劣~-乙X一1乙X“一j劣一4一2(,),则原方程化为:夕,一2:千1卡一竺一=2’2夕一3劣 b。=a。一500,.‘.a,一500=1000·2卜1, a。一100‘0·2”一1 500>2024500, 2”一’)1024即2卜,)2’” n一1>10、即兄)11可见2000年猪场存栏数将超过1024500只. 603.△ABC是边长固定的正三角形,D为B口边上的动点.取△ABD的外心口,,△ACD的外心仇,作01君,土B口于E:,口2E2土BC于去分母并整理得: 4犷一15劣y 14尹 Zy一41二O (夕一2:…     

多边形形状的判断

利用向旦判断 例1已知斌+斌十斌=。,〕丽劝+「瓦丙卜几j户井二l,判断△尸,尸2尸。的形状· 解丫武十斌+斌二o, :.斌十斌一斌, ,.(斌十斌)2一(一斌),,即{斌}’+}斌},+2斌·斌=l斌}‘. ,.l斌}一!成}钊斌}一1, .斌·斌一合,:’(斌:斌}Cos二尸:oPZ一合, 匕PI 01〕2=120: 同理,乙尸;〔护3二匕尸ZOp3二120‘. .’.△尸,pZ尸3是正三角形. 例2在△ABc中,设茄二。,成二b,庙-。,若a·b=b·。二。·。,判断△ABc的形状. 解’.‘a十b十c=O, ‘a+b=一e,(a+b)2=eZ,即aZ+bZ+Za·b=eZ(1) 同理,bZ+。2+Zb·。=aZ(2)川一(2),得aZ一eZ+2(a·吞一‘·e…     

数学诡辩

费今夫定趣的、楠海份若。>气证:,.’在等比数烈。.,a’一琢,‘一名bZ,…b川r。‘,b:吞矿ox‘.“,口,:’.不:嚼络里‘一爪”一答书‘ b.、o’LI,苏,) U“a.气今l二吞 g泣则嫌等六不成立.另一方彻,利用公式S,奋聋冬立竺卫东~g又是成立(fI沂石“:一0 q. l一q。一。一口_己生亡{ l一。一‘娜(2),. .a众另一个轰度来肴,孟=。,a:争尸.’. q.a名,q.杯!O一lb一场.b‘缈题华饨谬奴=石公式可知二升,(亡)淤’__杏“入习~乙一、.’.︸卜,少卜夕 了嵌蝗(:)’一城含广a,b几而当。,句付,这.书等式就不成立了:解的过醒中j(t李并护一招异一12,飞:永、碗成…     

上期课外练习参考解答

!初一年级}1.’:艺3一/5一乙7一45“, 艺1 艺9一/2 艺6一乙4 乙8一90”, 匕l 匕2 匕3 艺4 艺5 乙6 艺7 艺8 乙9 =3X45。 3X900=4050.2.过A作AD// BC交圆A于D,延长BA交圆A于 E,则艺DAC一艺C,艺EAD一匕B.公共部分的面 积之和为一个半圆的面积. 设圆的半径为二cm,则喜二xZ一8二,,2一16, 乙②③ 工一4.故圆的半径为4cm. “ b一c d, (a b)2=(c d)2.即aZ Zab bZ=。2 dZ Zed.又aZ bZ=cZ 己,, ab一cd. (a一b)2=aZ bZ一Zab 一c2 dZ一Zcd一(c一d)2. a一b一c一d或a一b一d一c①若③成立,则有a=。,b*d.着③成立,则有a=d,b二‘..,.总有aZo…     

构筑等腰三角 形巧解三角形

巧妙构造腰为1的等腰三角形来求一些三角式的值, 例冬求形象直观,饶有趣味。cOS了一“。s了的值。解·作△ABC,使AB=Bc二取匕A二乙C二二/5,则Ae二2。。s晋,·延长AB至D,使DC=刀U二1,由乙DBC=乙BDC=2二/5,则乙ADC=:ACD,且BD一ZcOS争,AC二A”=AB+BD,即Zcos晋=,+Zcos譬,2成1一犷 一一2兀cOS晋一考例,求。。s今+。。5誓+一夸的值· 解作△ABC,使乙A二二/7,ABBC二刃C=1,=才. 在乙ABC内作艺CBD二2二/7, 月_仄心‘了尹琪c_则月刀=DB二1一x. 在△A刀C中,由余弦定理得x一2o 一一cos夸·2一xZ 2cos了3兀在△BCD中得cos今 …     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

2005年高考数学湖北卷

一、选择题: C.(令劲D.(今刹 为A.C. B.D. 1.设尸、Q为两个非空实数集合,定义集合 P十Q二{a+b}a任P,b任Q},若P={0,2, 5},Q二毛1,2,台},则尸十Q中元素的个数是 () A.9 B.8 C.7 D.6 2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:() ①“a~b,,是“ae=bc”充要条件;②“a+5是无 理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b’’ 是,’a2>夕”的充分条件;④“a<5”是“a<3” 的必要条件. 其中真命题的个数是() .若lim 了一卫‘_一兰‘、 \1一xl一x艺/ =l,则常数a,b的值 () a-一2,b=4 a-一2,b二一4 B.己一2,b=一4 D.口二2,b~4 .若。相似文献