先猜后证妙解四“难”题

解某些所谓“难”题时,如果采用直接求解的方法,不仅速度慢。而且容易陷入窘境,甚至最后把题目放弃,真是“山穷水尽疑无路”．此时,若采用先猜后证的解题思路,就有可能“柳暗花明又一村”．这种情形经常发生在以下几类题目中．     

向量题新证

<正>题目在（平面凸）四边形ABCD中,（?） =（?）且（?） （?）.问四边形ABCD是什么四边形? （《中学生数学》2005年3月（上）P₉）这是一道吸引同学的习题,今给出两种证法供同学们学习时参考:     

一道中考几何题的“先猜后证”

<正>本文以2017年北京中考的几何综合题为例,说明解题中"先猜后证"的思考过程,供参考.一、原题呈现(2017年北京市中考第28题)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).     

巧用“中心对称”证题

例1 (2004 年山西省中考题)如图 1,已知过(?)ABCD的对 角线交点O作互相垂直 的两条直线EG、FH。与 (?)ABCD各边分别相交于点E、F、G、H． 求证:四边形EFGH是菱形． 证明 ∵ 对角线的交点O是(?)ABCD 的对称中心,     

巧用“等积形”证题

巧用“等积形”证题岳池县教育科学研究室姚开智等积形基本知识简而言之，面积相等的两个图形叫做等积形。常用“等积形”定理（公理）有：１、两个全等形必等积。２、等底（同底）等高的两个三角形（平行四边形）必等积。３、三角形与它等底（同底）等高的平行四边形的一...     

一道联赛题的新证

<正>如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH以点P,求证:点P为CH的中点.这是2014年全国初中竞赛题的一道几何题,命题组给出的答案不容易想到,本文连接现有的点,应用相似三角形的比和正弦定理以及中线均分三角形面积的结论,思路清晰,推理简单,很适合初中生学习.     

成比例线段证题中的“面积法”

三角形面积公式,不仅可用来计算有关图形的面积,而且在证题方面也有较广泛的应用。本文仅就用它来证明有关成比例线段略举几例,思路常是运用面积相等或面积之比使其获证。若恰当地运用三角函数关系往往更为简便。例1 圆内接四边形ABCD的对角线AC平分另一对角线BD于E,求证:AB/AD=DC/BC。分析:结论即求证:AB·BC=AD·DC,∠ABC=180°-∠ADC,于是变为求证: (1/2)AB·BCsin∠ABC=(1/2)AD·DCsin(180°-∠ADC), 根据三角形面积公式,可考虑S_(△ABC)=S_(△ADC)。     

巧用反证法妙证“2011”趣题

新年就要来临了,为了欢度节日,特为同学们提供几道巧用反证法妙证"2011"趣题,以资助乐,并欣赏反证法的魅力.     

一个奇怪的新“发现”

在一节数学自习课上,小明意外地发现了这样一个奇怪的结论:所有的三角形都是等腰三角形．小明还用严格的推理“证明”了这一结论,其推理过程如下:     

一道经典题的新证与推广

<正>2017年全国Ⅱ卷文理23题的第2小题:已知a>0,b>0,a~3+b~3=2.证明:a+b≤2.上题是一道经典老题,不少教师在教授反证法这个内容时,常用它作为例题或练习题.2017年受高考命题专家亲睐,选用为高考试题.本题证法很多,下面给出一种新的证法:通过构造函数,求函数的最大值来证明.     

用“目标局部化”寻找证题途径

数学中的证明题变化多,证题无固定模式可循。许多学生拿到题目不知从何下手,如何帮助学生突破这一难关?我在实践中尝试使用“目标局部化”寻找证题突破口,收到了好的效果。所谓“目标局部化”,说的是对所要证明的问题,先选取一个整体目标(如求证的结论,恒等式的某边,不等式的一边等),再把整体目标分解成几个局部目标,然后先达到某个局部目标,通过局部目标的实现找到证题的突破口。相当一部分问题用这种方法往往奏效,现举例说明。     

用“归一法”证这两类题好

在平面几何中常遇到①证线段比的和(差)等于1;②证两条线段的倒数的和等于另一条线段的倒数,这两种类型的题。对这两类题,学生常感到困难,以至束手无策。我们用所谓“归一法”来进行证明学生较易掌握。所谓“归一法”就是通过“中间比”,将欲证式中的线段归结到一条直线上,便于找它们之间的关系。题型:证n/m±n′/m′=1.(m、n、m′、n′表示线段)。方法;在n/m±n′/m′=1中,如果n/m(n′/m′也同样)的分子、分母(即n、m)已在同一线段上,可不动,而n′/m′(或n/m)用与n/m同分母的线段比p/m代替,并使p和m也在同一线段上。如果m、n、m′、n′都在同一条线段上,可通过“中间比”,把四条线段都介绍到同一线段上,使问题得到解决。     

证题方法

本文将结合初等几何的需要初步地阐述“数学证明的方法”这一课题。本文的内容,除了若干证题技巧仅和初等几何有关外,其主要的和基本的方面对学习任何一个数学学科都有意义。     

一道三角题的证明错误及新证

这是一道简捷有趣的三角问题,诸多构思独特、别具匠心、见仁见智的证法散见于中学数学期刊．贵刊文[1]欲另辟蹊径,给出一个直接的证明方法,可惜无如所愿,使证明功亏一篑．为便于说明,现简录如下：     

“A”“X”模型在解证课本题中的应用

九年义务教材初中几何第二册P2 1 4页重点介绍了平行线分线段成比例定理的推论“平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 ) ,所得的对应线段成比例” ,此推论有如下两种基本模型 :这两种基本模型在解题中有着极其广泛的应用 ,然而教学中发现不少学生对此感到困惑 .为帮助初二师生教好、学好这两种基本模型在解题中的应用 ,本文现以九年义务教材初中几何第二册中的部分典型习题为例 ,分类介绍如下 ,供师生教与学时参考 .一、直接应用基本模型1 .直接应用“A”模型例 1　 (P2 2 2 -B组 -1 )△ABC中 ,作直线DN平行于中线AM ,设…     

“江西预赛题另证”一文的纠错

<正>~~     

从“白糖水变甜了”到巧证不等式

b克白糖水中含有a克白糖(b>a>0),若再添加m克白糖(m>0),则白糖水就变甜了,你能运用所学的不等式知识解释这种现象吗?或试根据这个事实提炼一个不等式___。释析白糖水变甜了,说明糖水的浓度变大了,而只需证明添加白糖后的糖水浓度大于添加白糖前的糖水浓度即可。     

反证法证题漫谈

给定一条线段AB,大家都会用尺规画出它的中点M,这在数学上只表明线段AB中点的存在性.还能画出线段AB的另一个中点吗.大家会说不能了!线段AB的中点只有一个.再追问一下:你如何敢肯定线段AB的中点只有一个呢?我们的回答:可以如下来证明.     

巧设函数证题

很多数学问题,一旦与函数联系起来,研究解决问题的途径便大为广阔。辅设函数证题是证明某些数学命题的有效方法,也是重要技巧。但是,目前有不少学生对它还比较陌生,至少说对这一方法掌握不够。现举数例如下,以兹参考。例1 设a_1cosα_1+a_2cosα_2+…+a_ncosα_n=0, a_1cos(α_1+1)+a_2cos(α_2+1)+…+a_ncos(α_n+1)=0.试证对任何实数β,有 a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β)=0. 证明设函数 f(β)=a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β).