积分不等式证明中的辅助函数方法

不等式在数学研究和实际中有广泛应用,本文分析了大学生数学竞赛赛题中出现的有关不等式证明问题,基于构造辅助函数方法和柯西中值定理建立了更一般的积分不等式,推广和改进了大学生数学竞赛赛题中的不等式和已有文献中的不等式.     

函数不等式的积分证法

通过实例介绍了一类函数不等式的积分证法.     

利用积分上限函数证明积分不等式

积分不等式的证明,是高等数学学习中的一个难点,也是工科研究生入学考试中常出现的一类试题．本文欲通过若干范例说明,借助积分上限函数,把积分不等式转化为函数不等式来证明,是一种行之有效的方法．倒三设f（x）在[a,b]上单调增且连续,证明：其中不等号用到f（x）在[a,u]上的单调递增性,由此,F（u）在[a,b]上单调递减,所以F（b）≤F（a）＝0,即例2设f（x）在[a,b]上正值连续,证明所以F（u）在[a,b]上单调递增．而F（a）=0,故有F（b）≥0,即例3证明Cauchy－Schwarz积分不等式其中人x）与g（x）是「a,hi上的连续函数…     

由一个积分不等式生成的函数

定义函数F（x,y）=∫^y x/f（t）/dt-/∫^y xf（t）dt/和G（x,y）=∫^y x/f（t）/dt＋/∫^x a f（t）dt＋∫^b y f（t）dt/通过讨论它们的性质,可对不等式/∫^b a f（t）dt/≤∫^b a/f（t）/dt进行若干加细。     

构造辅助函数证明不等式

构造辅助函数，然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值，是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例．谈谈构造函数的常用方法．     

辅助函数的积分构造法

讨论微分中值定理应用中辅助函数的积分构造法,并借助实例进行具体分析.     

抽象与具体函数积分不等式的证明

在区间I上连续、单调的抽象函数的积分不等式证明的基本思路是适当进行积分变换、分拆积分区间，使不等式恒等变形等手段，使能应用函数的单调性质。具体函数的积分不等式的一般证明方法是把被积函数适当缩放、求出最值(或上下确界)等。     

时标上区间值函数的若干积分不等式

引入了时标上区间值函数黎曼◇_α-积分的概念,讨论了该积分的基本性质.利用区间分析及时标积分理论,得到了区间值函数黎曼◇_α-积分形式的Jensen不等式、H?lder不等式和Minkowski不等式,推广了现有文献的相关结果.     

涉及多个函数的Hardy型积分不等式

利用权系数方法和Fubini定理,研究涉及多个函数的Hardy型积分不等式,得到若干新的结果．     

一类新型时滞积分不等式及其应用

主要研究了一种新型时滞积分不等式u(t)≤a(t)+∫0α(t)f(t,s)w(u(s))ds+∫0α(t)g(t,s∫)0sh(s,τ)φ(u(τ))dτds up(t)≤a(t)+p/p-q∫0α(t)(f(t,s)uq(s)w(u(s))+g(t,s)uq(s))dsup(t)≤a(t)+p/p-q∫0α(t)f(t,s)uq(s)w(u(s))ds+p/p-q∫0tg(t,s)uq(s)w(u(s))ds这里p>q≥0是常数且t∈[0,∞).并且用此结果研究了时滞微分积分方程解的全局存在性和有界性.     

辅助函数在不等式证明中的应用

将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题.掌握不等式证明的一种函数思想方法,从而提高分析问题与解决问题的能力.     

构造辅助函数应用导数证明不等式

构造辅助函数,然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值,是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例,谈谈构造函数的常用方法．一、通过移项,集中自变量构造函数例1 证明: 分析不等号两边均是关于x的函数,通     

一类非线性积分不等式组中未知函数的估计

研究了一类二维非线性积分不等式组,该不等式组积分号外有非常数因子,不能用向量形式的Gronwall-Bellman型积分不等式进行估计.先利用Bernoulli不等式把非线性问题转化成线性问题,利用变量替换技巧和放大技巧研究只含有一个未知函数的积分不等式,接着利用两个引理和变量替换技巧和放大技巧给出不等式组中两个未知函数的估计.结果可用于研究积分、微分动力系统解的性质.     

一类新型不连续函数的积分不等式及应用

研究了一种新型不连续函数的积分不等式um(t)≤φ(t)+m-m n∫tt0f(s)un(s)w(u(s))ds+t0∑相似文献   

基于r-凸函数的Choquet积分不等式

本文研究了r-凸函数的Choquet积分的Hadamard不等式和詹森不等式。首先,针对单调r-凸函数,研究了其Choquet积分的类似Hadamard型不等式;接着,分别在扭曲勒贝格测度和非可加测度下,估计了r-凸函数的Choquet积分的上界;最后,在非可加测度是凹的情形下,给出了两个r-凸函数的Choquet积分的詹森不等式,其可用来估计Choquet积分的下界。另外,在扭曲勒贝格测度下,对文中所有结果进行了例证。     

略谈积分不等式

我们熟知定积分的一个性质,如下：在区间[a,b]上,b〉a.若恒有f（x）≤g（x）,那么,有结论：∫^b af（x）dx≤∫^b ag（x）dx 看起来平凡无奇,但将这个性质做一些灵活运用的话,是能够较好解一些不等式问题的,我姑且将这类不等式的证明叫做积分不等式.现在,通过几个例子来说明积分不等式的用法.     

利用凸函数证明不等式时辅助函数的构造

利用凸函数证明不等式时．构造辅助函数是关键．通过典型例题。阐述在证明三种形式的不等式时构造辅助函数的常用方法．     

略谈积分不等式

<正>我们熟知定积分的一个性质,如下:在区间[a,b]上,b>a.若恒有f(x)≤g(x),那么,有结论:∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx 看起来平凡无奇,但将这个性质做一些灵活运用的话,是能够较好解一些不等式问题的,我姑且将这类不等式的证明叫做积分不等式.现在,通过几个例子来说明积分不等式的用法.     

积分几何不等式

本文研究n维欧氏空间中随机凸集同固定有界凸集相交的体积矩。在运用限弦投影的新方法和对称化原理对凸体内随机线段的运动测度和凸体内随机点偶的分布的极值性质做了深入讨论之后,建立了体积矩同凸集的体积之间的一系列积分几何不等式。经典的等周不等式同时获得新证明。     

一个积分不等式

由连续单调函数的几何意义直观地得出一个不等式,即若设函数f（x）在[0,b]上连续且单调递减,则有b∫0^af（x）dx≥a∫0^bf（x）dx（0≤a≤b）.通过构造辅助函数给出其数学证明,并对其加以推广．