Experimental analysis of the steady-state behaviour of beam systems with discontinuous support

This paper deals with the experimental analysis of the long-term behaviour of periodically excited linear beams supported by a one-sided spring or an elastic stop. Numerical analysis of the beams showed subharmonic, quasi-periodic and chaotic behaviour. Furthermore, in the beam system with the one-sided spring three different routes leading to chaos were found. Because of the relative simplicity of the beam systems and the variety of calculated nonlinear phenomena, experimental setups are made of the beam systems to verify the numerical results. The experimental results correspond very well with the numerical results as far as the subharmonic behaviour is concerned. Measured chaotic behaviour is proved to be chaotic by calculating Lyapunov exponents of experimental data.

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Sommario Il presente lavoro concerne l'analisi sperimentale del comportamento a regime di travi lineari, su supporti elastici nonlineari discontinui, eccitate periodicamente. L'analisi numerica dei sistemi in esame ha evidenziato risposte subarmoniche, quasi-periodiche e caotiche, nonchè l'esistenza, nel caso di trave con una molla laterale, di tre differenti percorsi verso il caos. La relativa semplicità dei sistemi di travi ha consentito di procedere ad una verifica sperimentale dei risultati numerici e della varietà dei fenomeni nonlineari da essi evidenziati. La corrispondenza fra risultati sperimentali e numerici è molto buona nel caso di risposta subarmonica. Il comportamento caotico sperimentale è stato convalidato attraverso il calcolo degli esponenti di Lyapunov a partire dai relativi dati.

     

On the constraint and scaling methods to derive the equations of linearly elastic rods

The theory of linearly elastic rods may be obtained from three-dimensional elasticity either by the method of internal constraints or by the scaling method. Both methods have been applied to obtain linear plate and shell equations ([1], [2]–[5]); the relationships between the two methods are discussed in [6]. For rods, a version of the constraint method has been developed in [7], whereas a scaling method has been presented in [12]. In this paper a direct comparison is made between the mechanical basis and analytical results of the constraint and the scaling methods, and it is shown how the scaling method yields the same Kirchhoff hypothesis that forms the starting point of the constraint method.

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Sommario La teoria delle travi elastiche lineari puó essere ottenuta a partire dalla teoria tridimensionale dell'elasticitá tanto con il metodo dei vincoli interni che con il metodo di riscalamento. Entrambi i metodi sono giá stati utilizzati per ottenere le equazioni delle piastre e dei gusci lineari ([1], [2]–[5]); in quel contesto, le relazioni tra i due metodi sono state discusse in [6]. Una versione del metodo dei vincoli appropriata al caso delle travi é stata sviluppata in [7], mentre i metodi di riscalamento per le travi si trovano esposti in [12]. Scopo di questo lavoro é compiere un paragone diretto tra i fondamenti meccanici e le risultanze analitiche, rispettivamente, del metodo dei vincoli e di quello di riscalamento, mostrando come il metodo di riscalamento imponga di accogliere proprio quelle ipotesi all aKirchhoff sulle quali si basa il metodo dei vincoli interni.

     

Boundedness,continuity, positivity and dominance of the solution of the neutron boltzmann equation

Summary In this paper the behavior of the solution of the integral form of the neutron transport Boltzmann equation is investigated for slab and sphere geometry. The study of the properties of the integral transport operator K leads to interesting results concerning the following subjects: boundedness, continuity and positivity of the total flux; existence of a dominant critical eigenfunction; spectral properties of K; dependence of the critical eigenvalue on the dimensions of slab and sphere; uniform convergence of the Neumann series in subcritical conditions; approach to the criticality; summability of the solutions and neutron conservation.

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Sommario In questo lavoro viene esaminato il comportamento della soluzione della forma integrale dell'equazione di Boltzmann del trasporto dei neutroni nel caso di una lastra piana e di una sfera. Lo studio delle proprietà dell'operatore integrale del trasporto K porta ad interessanti risultati riguardanti i seguenti argomenti: limitatezza, continuità e positività del flusso totale; esistenza di una autofunzione dominante critica; proprietà spettrali di K; dipendenza dell'autovalore critico dalle dimensioni della lastra piana e della sfera; convergenza uniforme della serie di Neumann in condizioni sottocritiche; avvicinamento alla criticità; sommabilità delle soluzioni e conservazione dei neutroni.

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Work performed under contract C.N.R.     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

The shakedown load boundary of an elastic-perfectly plastic structure

In the hypothesis of small displacements and combined time-variable/steady loads, the geometrical-mechanical properties of the shakedown load boundary are investigated. It is shown that, in the load space, the shakedown load boundary plays the role of yield surface, and that a certain plastic strain accumulation vector—characterizing some impending inadaptation collapse mechanism—obeys the normality rule, whereas a specific form of the maximum plastic work theorem constitutes an effective tool for the evaluation of the shakedown limit load corresponding to a specified inadaptation collapse mode. The equations governing the state of the structure at the shakedown limit are provided and the related collapse mechanism is shown to specify the shape of the steady-state response of the structure to a periodic load enveloping the load domain with an intensity slightly above the shakedown limit.

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Sommario Nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di plasticità perfetta, si studiano le proprietà geometrico-meccaniche della frontiera del dominio dei carichi di adattamento. Si mostra come, nello spazio dei carichi, la suddetta frontiera giuoca il ruolo di superficie di plasticizzazione ed un particolare vettore di deformazione plastica accumulata—che caratterizza il meccanismo di non adattamento—segue la legge della normalità, mentre una forma specifica del teorema del massimo lavoro plastico costituisce un valido strumento per la valutazione del carico limite corrispondente ad un dato meccanismo di non adattamento. Si forniscono altresì le equazioni che governano lo stato della struttura al limite di adattamento, mostrando la capacità del relativo meccanismo di collasso a rappresentare la risposta a lungo termine della struttura a dei carichi periodici inviluppanti il dominio dei carichi con una intensità un poco al di sopra del limite di adattamento.

     

Higher Order Alongwind Response Statistics of Linear SDOF Structures Including the Quadratic Term of the Fluctuating Wind Velocity

Abstract. A method evaluating the response correlations of a SDOF system subjected to the wind action, once that the first order statistics and the transition matrix of the system are known, is presented. The method does not require further integrations and allows to take into account the presence of the quadratic term of the velocity in the expression of the wind action. This fact makes the response a non-Gaussian process as it really is. The application of the method to some examples shows both the good accuracy of the results, if compared with those obtained by Monte Carlo simulations, and that neglecting the quadratic term may lead to relevant errors even for the correlations, as well as for the first order statistics.Sommario. In questo lavoro viene presentato un metodo che consente la valutazione delle funzioni di correlazione di qualunque ordine della risposta di un sistema strutturale soggetto all'azione del vento. Tale metodo richiede la conoscenza delle caratteristiche statistiche del primo ordine della risposta e della matrice di transizione. Il metodo non richiede ulteriori integrazioni rispetto a quelle eventualmente necessarie per determinare le statistiche del primo ordine, e consente di tenere conto della presenza del termine quadratico della parte fluttuante della velocità del vento nell'espressione dell'eccitazione sulla struttura. Ciòrende la risposta strutturale non Gaussiana, come realmente è L'applicazione del metodo ad alcuni esempi mostra, da un lato, la buona accuratezza dei risultati ottenuti, confrontandoli con quelli ottenuti tramite simulazioni alla Monte Carlo, e dall'altro che trascurare il termine quadratico nella forzante può condurre ad errori rilevanti nella valutazione delle correlazioni della risposta, coscome era stato mostrato in altri lavori per le statistiche del primo ordine.     

Computer aided design of chains of four-bar linkages with an interactive method

Summary For some time in the Section of Applied Mechanics at Milan's Politecnico, various routines for the kinematic analysis of linkages have been prepared. These and similar routines are satisfying for that which concerns analysis, but cannot be adapted or are often insufficient when dealing with synthesis using trial and error methods. Given that the major difficulty of using these methods is the scarce possibility of communication between the designer and the machine, we thought that the best solution would be to equip these analysis routines with a new part thus facilitating communication between the designer and the machine. This paper represents a further step in this direction and contains a number of examples of the design of linkage systems for application in mechanical presses.

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Sommario Ormai da tempo si ricorre all'uso dell'elaboratore per lo studio dei meccanismi. Presso la Sezione di Meccanica delle Macchine del Politecnico di Milano sono stati messi a punto numerosi programmi per l'analisi cinematica dei meccanismi articolati. Questi programmi ed altri similari, si rivelano del tutto soddisfacenti per quanto riguarda l'analisi ma sono poco adatti e spesso insufficienti per procedere alla sintesi con metodi del tipo ?trial and error?. Constatato che la maggiore difficoltà che si incontra nel procedere con questi metodi sta nelle scarse possibilità di dialogo tra operatore e macchina, ci si è resi conto che la strada da seguire è quella di corredare questi programmi di analisi di una larga parte nuova con lo scopo appunto di rendere il più agevole possibile il colloquio tra operatore e macchina. Il presente lavoro rappresenta un ulteriore passo in questa direzione rispetto al precedente degli stessi autori.

     

A numerical solution of the nonlinear wave resistance problem for simple shaped submerged bodies

Summary This paper presents a numerical method to compute the nonlinear wave resistance of a body, submerged in a free stream of infinite depth. The solution is given in the form of a potential of single layer and the nonlinear boundary conditions on the free surface are fulfilled by means of an iterative procedure. Results are shown for the 2-D case of an elliptical cylinder and for the 3-D case of prolate spheroids. All the presented results are discussed taking into account some experimental data and analytical solutions available in literature.

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Sommario In questo lavoro viene sviluppato un metodo per il calcolo della resistenza ondosa di corpi immersi bidimensionali e tridimensionali, tenendo conto della non linearità delle condizioni sulla superficie libera. La soluzione cercata è posta nella forma di potenziale di strato semplice e la non linearità presente nelle condizioni al contorno viene trattata con un procedimento iterativo. Vengono presentati dei risultati numerici relativi al caso bidimensionale di un cilindro ellittico ed al caso tridimensionale di sferoidi prolati di diversa eccentricità. I risultati vengono discussi in relazione a soluzioni analitiche e dati sperimentali ottenuti dalla letteratura.

     

Pre-Envelope Covariance Differential Equations For White and Nonwhite Input Processes

The pre-envelope process is a complex process whose statistics are strictly related to the statistics of the envelope of a given process. The paper deals with the evaluation of the covariances of the pre-envelope output process of classically and nonclassically damped linear systems subjected to stationary and nonstationary white and nonwhite pre-envelope input process. More precisely, the pre-envelope covariances for nonwhite complex input processes are evaluated as solution of a set of first order differential equations. Furthermore, in the paper the pre-envelope of the white input process is defined, and for such input the pre-envelope covariance differential equations are determined by means of an extension to the complex field of the stochastic differential calculus. Sommario.Il processo 'pre-inviluppo' é un processo complesso i cui parametri statistici sono strettamente legati a quelli del processo 'inviluppo'. Il lavoro riguarda la valutazione delle covarianze del processo pre–inviluppo della risposta di sistemi dinamici classicamente e non classicamente smorzati soggetti a processi pre–inviluppo bianchi e filtrati, stazionari e non stazionari. Piprecisamente, nel caso di un processo filtrato pre–inviluppo le covarianze della risposta sono valutate come soluzione di un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Inoltre, nel lavoro definito il processo pre–inviluppo di un processo bianco e per tale caso sono presentate le equazioni differenziali delle covarianze della risposta ottenute attraverso l'estensione al campo complesso del classico calcolo differenziale stocastico.     

The influence of measurement errors on the determination of the degrees of freedom of dynamic systems

We consider the influence of measurement errors on the experimental calculation of dimensions of possible turbulent flow attractors. For this purpose we considered a Gaussian noise and we carried out some tests showing the existence of a lower limit below which the operational definition of dimension is not reliable.

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Sommario In questo lavoro viene presentata una valutazione della influenza degli errori di misura sulla determinazione sperimentale delle dimensioni di eventuali attrattori di deflussi turbolenti. A tale scopo si considera un rumore Gaussiano. I test effettuati permettono di definire l'esistenza di un minimo al di sotto del quale la definizione operativa di dimensione formisce valori non attendibili.

     

A new algorithm for workspace analysis for robot manipulators

Summary A new algorithm to determine the workspace of a robot manipulator is presented in this paper. The method is based on the concept of dividing the robot structure into a regional structure and an orientational structure and is much more efficient than many methods currently available. Another advantage is that the method is expedient to plot the contours of the workspace of a robot manipulator on an arbitrarily defined plane or determine the extreme points along a general direction. The problem of determining subspaces of different joint configurations is also addressed and a method to compute them is proposed. Since for an ordinary industrial robot the regional structure is usually solvable to the first three joint variables, the method proposed is efficient computationally. The applicability of the method is demonstrated by some numeric examples.

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Sommario Nel lavoro viene presentato un nuovo algoritmo per determinare il campo di lavoro di un manipolatore robotico. Il metodo utilizza il concetto di dividere la struttura del manipolatore ad una struttura regionale ed una struttura orientamentale ed è molto più efficace di molti metodi esistenti. Un altro vantaggio del metodo è che esso è conveniente per disegnare i contorni del campo di lavoro su un piano specificato arbitrariamente oppure per determinare i punti estremi lungo una direzione generale. Nel lavoro è studiato anche il problema di determinare i sottospazi di configurazioni diverse dei giunti e viene presentato un metodo per calcolarli. Siccome per un robot industriale la struttura regionale è normalmente risolubile per le prime tre variabili dei giunti, il metodo presentato è molto efficace computazionalmente. L'applicabilità del metodo è dimostrata da qualche esempio numerico.

     

Rigid-plastic structures subject to dynamic loads

Summary The one-degree-of-freedom response of rigid-plastic structures is investigated for a variety of single-parameter dynamic loading-functions. Specific results, valid for any structure under the set assumptions, are obtained for single-pulse and periodic loading. The possibility of linear strain-hardening or reduction of strength with deformation is introduced. In the concluding section, the results are reviewed, and possible future researches are indicated.

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Sommario Si sviluppa uno studio teorico del comportamento di strutture rigido-plastiche sottoposte a vari tipi di carichi dinamici; sia la deformazione che il carico si suppongono dipendenti da un singolo parametro, funzione del tempo. Si approfondisce lo studio dei carichi impulsivi e periodici, per cui si forniscono risultati più dettagliati (p. es. riguardo alla più pericolosa forma dell'impulso, ed allastabilizzazione delle oscillazioni sotto carichi periodici), validi per qualsiasi struttura che rispetti le ipotesi. Si introduce quindi la possibilità di variazione (in aumento o in diminuzione) della resistenza con la deformazione, e si studia in particolare la possibilità di completocollasso. Infine, nel paragrafo conclusivo si riassumono e discutono i risultati ottenuti, e si indicano alcuni possibili sviluppi di questa ricerca.

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(on leave at the Division of Engineering, Brown University, Providence, R. I., 1968/69).     

Theoretical and experimental research on vibromachines for the transport and handling of material

Summary This paper deals with the various phases into which researches on vibromachines have been articulated over last years in many countries.A synthesis is then given of the theoretical researches carried on at the Institute of Mechanics of Machines of Polytechnic of Milan, setting forth the results obtained and analysing the approaches to the problems of different technical and scientific studies.A comparison is made between a vast series of experimental and theoretical results obtained by the same authors.

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Sommario Questo lavoro tratta delle diverse fasi nelle quali si è articolata la ricerca sulle macchine a vibrazione negli ultimi anni in molti paesi.È poi riportata una sintesi delle ricerche teoriche svolte all'Istituto di Meccanica delle Macchine del Politecnico di Milano presentando i risultati ottenuti e analizzando le impostazioni dei problemi di differenti studi tecnici e scientifici.È svolto un confronto tra una vasta serie di risultati sperimentali e teorici ottenuti dagli autori.

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Research supported by C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

Mathematical models and optimization problems for a class of multibodied homokinetic systems rotating about a fixed point

Summary This work proposes a theory for study of the torque transmission with friction in a large class of multibodied systems with fixed point for the homokinetic transmission of the motion between two converging axes.The obtained results point out the influence of the geometrical parameters characterizing the system upon the behaviour of functions, here proposed, which describe the torque transmission with friction.Numerical calculations, optimization problems and mathematical models visualize the results of the afore-mentioned theory.

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Sommario In questo lavoro viene proposta una teoria matematica per lo studio delle trasmissioni di coppia, in presenza di attrito, per un sistema spaziale di meccanismi omocinetici per la trasmissione fra due assi convergenti in un punto fisso.I risultati ottenuti indicano l'influenza dei parametri geometrici caratterizzanti il sistema sul comportamento di un opportuno insieme di funzioni, proposte nell'ambito di questo lavoro, idonee a descrivere il comportamento del sistema in oggetto. Tali risultati sono altresi visualizzati mediante grafici che riportano il risultato di rappresentazioni di tali funzioni e dell'ottimizzazione della scelta dei parametri geometrici che caratterizzano il sistema sul comportamento del sistema stesso.

     

Experimental study of the behaviour of externally pressurized journal bearings

Summary Over the past few years many mathematical models have been proposed for the analysis of externally pressurized bearings. But the gaps between experimental observations and the results of model analysis are still wide. These gaps are due to the simplifying hypothesis, that underlie the methods.A mathematical model for designing bearings that takes account of the effects of journal rotation has recently been devised at the Institute of Applied Mechanics of Genoa University. A test stand has also been designed and built, fitted with up-to-date instruments for the experimental analysis of bearings for several journal rotation speeds or for different load conditions.This paper presents a summary of the big program of experimental tests conducted with Italian CNR support and compares these experimental results with the theoretical results obtained by recasting the mathematical model to allow for the principal effects evidenced by the tests.

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Sommario Negli ultimi anni sono stati proposti molti modelli matematici atti all'analisi dei cuscinetti pressurizzati dall'esterno. Tuttavia nella letteratura si notano ancora notevoli discordanze fra le osservazioni sperimentali ed i risultati dell'analisi su modello. Tali differenze sono imputabili alle ipotesi semplificative adottate nell'impostazione dei metodi proposti.Presso l'Istituto di Meccanica Applicata di Genova è stato elaborato, negli anni scorsi, un modello matematico per la progettazione dei cuscinetti che tiene conto anche degli effetti dovuti alla rotazione del perno. E stato inoltre progettato e costruito un hanco di prova, dotato di moderne strumentazioni atte all'analisi sperimentale dei cuscinetti per varie velocità di rotazione del perno o per diverse condizioni di carcio.Il presente articolo presenta la sintesi del vasto programma di prove sperimentali condotte con il finanziamento del C.N.R. e confronta tali risultati sperimentali con quelli teorici ottenuti rielaborando il modello matematico per tener conto dei principali effetti messi in evidenza dalle prove.

     

A mathematical model of the arterial system

Summary A mathematical model of the major arteries of sistemic circulation in the man is proposed. According to the model, flow is regarded as a one-dimensional whole. The numerical solution is obtained with the method of characteristics, applied to the case of an elastic, incompressible vessel wall. The model is applied to study the behaviour of six different cases. The results show that the model provide an appropriate representation of the behaviour of the major arteries in the sistemic circulation.

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Sommario Viene proposto un modello matematico per lo studio del comportamento meccanico del sistema circolatorio arterioso. Il modello utilizza lo schema di processo unidimensionale normalmente impiegato in meccanica dei fluidi; la soluzione è ottenuta con il metodo delle caratteristiche per il caso di tubi con comportamento elastico. Il modello à stato applicato a sei diverse situazioni. I risultati ottenuti mostrano la buona validità del modello matematico proposto.

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Research supported by C.N.R.     

Induced vibrations and dynamic instabilities of a non linear structural model due to pulse loading

Summary In this paper we present some results from a model of Shanley type, used as a tool to investigate anomalous computed response behavior of a pin-ended beam subjected to a short pulse of transverse force. The nature of critical load values is here studied, using both exact solutions and an approximate step-by-step numerical integration of standard type. It is shown that convergence with decreasing time step may fail, near a critical value. The significance of these results for the original beam computational problem, and for other physical structures, is indicated briefly.

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Sommario Il presente lavoro illustra alcuni risultati ottenuti mediante un modello alla Shanley, usato per analizzare anomalie ottenute numericamente nel comportamento di una trave incernierata soggetta a un carico trasversale, applicato nella forma di un breve impulso. Viene studiata la natura di alcuni valori critici del carico, facendo uso sia di soluzioni esatte che di metodi approssimati di integrazione numerica. Si mostra che al crescere della accuratezza può non esservi convergenza dei risultati, e che vi è anzi divergenza per alcuni valori critici del passo di integrazione. Si discute brevemente l'interesse di tali risultati nei confronti delle difficoltà numeriche ottenute studiando il problema originale di trave incernierata.

     

Extension of Von Karman ansatz to magnetohydrodynamics

Summary The steady-state axisymmetric motion of an incompressible viscous conducting fluid is studied in the framework of the magnetohydrodynamical model. An ansatz is introduced on the radial dependences of the velocity and magnetic fields, which extends the one used by Von Kármán in the purely hydrodynamical case. It is shown how the extended ansatz can be characterized much in the same way as in hydrodynamics and how it reduces the magnetohydrodynamical system of partial differential equations to a system of ordinary differential equations. The solutions of these equations can be found in exact form in some simplified situations, while, in the general case, numerical approximation methods seem to be the only successful solution procedures.

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Sommario Il moto stazionario a simmetria assiale di un fluido conduttore viscoso incomprimibile viene studiato nell'ambito del modello magnetoidrodinamico. In esso vengono introdotte delle ipotesi sulla dipendenza radiale del campo di velocità e del campo magnetico, ipotesi che costituiscono una estensione di quelle introdotte da Von Kármán nel caso puramente idrodinamico. Si dimostra come anche in magnetoidrodinamica l'ansatz di Von Kármán sia suscet-tibile di una caratterizzazione molto simile a quella nota per l'idrodinamica e come, inoltre, riduca il sistema di equazioni alle derivate parziali, che sono alla base del modello, ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Soluzioni di tali equazioni possono essere trovate in forma analitica in alcune situazioni semplificate, mentre, nel caso generale, metodi di approssimazione numerica sembrano costituire le uniche procedure di risoluzione in grado di fornire dei risultati.

     

Postcritical Behavior of Cables Undergoing Two Simultaneous Galloping Modes

Abstract. A nonlinear two degree-of-freedom model, describing a flexible elastic suspended cable undergoing galloping oscillations, is analyzed. By using a perturbative approach, the critical conditions occuring for different values of the aerodynamic coefficients are described. Two different type of critical conditions, corresponding to simple or double Hopf bifurcations are found. The nonlinear postcritical behavior of single taut strings in 1:1 primary internal resonance is studied through the multiple scale perturbation method. In the double Hopf bifurcation case the influence of the detuning between the critical eigenvalues on the postcritical behavior is illustrated. It is found that quasi-periodic motions, which are likely to occur in the linear field when the two critical frequencies are incommensurable, are really unstable in the nonlinear range. Therefore, the postcritical behavior of the string consists of stable periodic motions for any detuning values.Sommario. Viene analizzato un modello non lineare a due gradi di libertrappresentativo di un cavo elastico flessibile sospeso alle estremite soggetto ad oscillazioni galoppanti. Utilizzando un approccio perturbativo, vengono descritte le condizioni critiche per differenti valori dei coefficienti aerodinamici. Sono presenti due diversi tipi di condizioni critiche, corrispondenti a biforcazioni di Hopf semplici e doppie. Attraverso il metodo perturbativo delle scale multiple viene studiato il comportamento post-critico non lineare di singole stringhe tese in risonanza interna primaria 1:1. Nel caso di biforcazione doppia di Hopf viene illustrata l'influenza del detuning tra gli autovalori critici sul comportamento post-critico. Si trova che i moti quasi-periodici, presenti in campo lineare quando le due frequenze critiche sono incommensurabili, sono in realtinstabili in campo non lineare. Quindi, il comportamento post-critico della stringa risulta composto da moti periodici stabili per un qualsiasi valore del detuning.     

Further experiences on unsteady seepage flow

Summary The present paper describes the results of a study on the unsteady flow in a horizontal homogeneous filter, which is accomplished when the level of the reservoir that recharges the filter is instantly drawn up.This study was carried out at the University of Palermo Institute of Hydraulics as a part of a research program concerning artificial recharge of ground water and the geotechnical problems involving the stability of porous media subject to the variations of surrounding pressures.A numerical procedure, aiming at solving the equation of Boussinesq by a finite difference method, was adopted and an electronic computer was used.A Hele-Shaw filter model was used to carry out several experiments. The numerical results are in good agreement with the experimental ones and with those described in earlier papers dealing with analytical procedures. Such results are expressed as adimensional variables and are shown in a diagram which describes synthetically the whole phenomenon.Practical problems will thus be solved more easily.

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Sommario Si riferiscono i risultati dello studio del moto vario di riempimento di un filtro omogeneo orizzontale alimentato a monte, su un fronte verticale, dalle acque di un serbatoio il cui livello venga innalzato istantaneamente.Lo studio, svolto nell'Istituto di Idraulica della Università di Palermo nel quadro di un programma di ricerche sulla alimentazione artificiale delle falde subalvee e sui problemi geotecnici che riguardano la stabilità dei corpi porosi soggetti a variazioni del regime delle pressioni al contorno, viene condotto per via numerica su calcolatore elettronico, utilizzando un metodo alle differenze finite per la risoluzione della equazione di Boussinesq, e per via sperimentale su un modello Hele-Shaw del filtro.I risultati numerici ottenuti sono in buon accordo con quelli sperimentali e con quelli di precedenti trattazioni analitiche. Essi vengono espressi in variabili adimensionali e presentati in un abaco il quale descrive in maniera sintetica e completa il fenomeno, consentendo di risolvere agevolmente i problemi della pratica.

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This work was sponsored by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR).