Stress intensity factor for transient thermal stresses in an infinite elastic solid containing an annular crack

Summary The present paper treats the transient thermal stress problem in an infinite, isotropic solid containing an annular crack. The elastic medium is cooled by time and position dependent temperature on the annular crack surface. It is very difficult to obtain the analytical expression for the temperature so that we use the finite difference method solely with respect to a time variable. Thus, the analytical solution for the temperature with respect to the spatial variables reduces to a dual integral equation. Results for the stress intensity factors are obtained numerically.

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Spannungsintensitätsfaktor für transiente Wärmespannungen in einem unendlichen elastischen Körper mit ringförmigem Ri\

übersicht Untersucht werden die transienten WÄrmespannungen in einem unendlichen elastischen Körper, der einen ringförmigen Ri\ enthÄlt. Das elastische Medium wird durch eine zeit- und ortsabhÄngige Temperaturverteilung auf der Ri\oberflÄche gekühlt. Da es schwierig ist, eine analytische Lösung für die Temperatur anzugeben, wird bezüglich der Zeit die Finite-Differenzen-Methode angewandt. Dann kann bezüglich der Ortskoordinaten eine analytische Lösung für die Temperatur in Form einer dualen Integralgleichung angegeben werden. Die SpannungsintensitÄtsfaktoren werden numerisch berechnet.

     

On the deflection of a thick plate under a sinusoidal load

Summary The equations of deflection of a thick plate presented in a previous paper are solved for an infinite plate under sinusoidally distributed pressure acting at its upper surface.The deflection and stress of the plate are calculated from the solutions of the approximate equations. The results are compared with those calculated from the exact solution and also with those obtained from other approximate methods.

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Über die Durchbiegung einer dicken Platte unter einer sinusförmigen Last

Übersicht Die in einer früheren Arbeit gegebenen Gleichungen für die Durchbiegung einer dicken Platte werden für den Fall einer unendlichen Platte gelöst, deren Deckfläche durch einen sinusförmigen verteilten Druck belastet wird.Aus den Lösungen der Näherungsgleichungen werden die Durchbiegung und die Spannung einer dicken Platte berechnet. Die Ergebnisse werden mit dem aus der exakten Lösung erlangten Resultat sowie mit den aus anderen Näherungsverfahren erhaltenen Ergebnissen verglichen.

     

The interaction of a straight crack with a center of dilatation

Summary The interaction of a straight crack with a center of dilatation in an infinite elastic plane is investigated. Analytical solutions for the stress intensity factors, the generalized interaction forces and the potential of the system are derived. Furthermore, the contact problem, arising in the case of partial crack clusore, is solved for the limit cases of frictionless and of ideally rough crack faces.

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Die Wechselwirkung zwischen einem geraden Riß und einem Dilatationszentrum

Übersicht Es wird die Wechselwirkung zwischen einem geradem Riß und einem Dilatationszentrum in einer unendlichen elastischen Ebene untersucht. Für die Spannungsintensitätsfaktoren, die verallgemeinerten Wechselwirkungskräfte und für das Potential des Systems werden Lösungen in analytischer Form hergeleitet. Daneben wird für den Fall des partiellen Rißschließens das Kontaktproblem für die Grenzfälle ideal glatter bzw. ideal rauher Rißflanken gelöst.

     

Zur Theorie von Auskühlungs- und Anheizungsvorgängen

Zusammenfassung Nach der Methode der Quellpunkte werden zunächst an Hand einfacher Beispiele neuartige Lösungen für Temperaturausgleichsvorgänge in ebenen, gleichförmigen Platten von endlicher Dicke in Form von unendlichen Reihen entwickelt. Diese weisen im Gegensatz zu der bisher üblichen Darstellung, der Entwicklung nach Fourierreihen, zu Beginn des Ausgleichsvorganges sehr gute Konvergenz auf; dafür wird diese aber mit fortschreitender Zeit immer ungünstiger. Beide Lösungsformen ergänzen sich also gegenseitig und können daher zweckmä\ig nebeneinander verwendet werden. Um aber auch die hier gefundenen Lösungen für beliebig späte Zeitpunkte verwendbar zu machen, wurde ein einfaches Verfahren zur Entwicklung von praktischen Näherungslösungen für schlecht konvergente, unendliche Reihen abgeleitet. Dieses liefert dabei am Anfang des Vorganges sowie für genügend gro\e Werte der Zeit sehr genaue Ergebnisse und ergibt für mittlere Zeitpunkte einen beliebig klein zu haltenden Grö\twert des Fehlers. Weiterhin werden dann exakte Lösungen für Körper entwickelt, die aus planparallelen Schichten bestehen. Für ebene Grundfelder erweist sich hierbei die Auffassung als vorteilhaft, da\ diese an der ebenen Grenzfläche zweier Stoffe teilweise reflektiert werden. Die Reflexionszahl ergibt sich dabei nach den gleichen Gesetzen wie für periodisch veränderliche Vorgänge. Die Ergebnisse dieser Betrachtungen werden auch auf den Wärmeübergang angewendet. Dabei zeigt sich, da\ für die vorliegenden nichtstationären Vorgänge auch das anfängliche Temperaturfeld in der Grenzschicht von Bedeutung sein kann. Schlie\lich werden noch die Gleichungen der Grundfelder für eine Reihe von Wärmequellen der verschiedensten Formen entwickelt, so z. B. für die Kugel- und Zylinderflächenquelle (diese dabei für endliche und unendliche Zylinderlänge), die Raumquelle in Form eines Quaders und die Kreis-Linienquelle.     

Closed form solutions for small deformations superimposed upon the simultaneous inflation and extension of a cylindrical tube

For small deformations of isotropic incompressible hyperelastic materials which are superimposed upon the simultaneous inflation and extension of a cylindrical tube, new closed form solutions are derived without any restrictions on the strain-energy function. These solutions are used to derive the load-deflection relation for small radial deformations of pre-compressed long bonded cylindrical rubber bush mountings. They are also used to formulate the n=1 buckling criterion for long cylindrical tubes which are subjected to uniform external pressure.

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Zusammenfassung Für kleine Deformationen, die der gleichzeitigen Weitung und Streckung eines zylindrischen Rahmens aus isotropischem, kompressiblem und hyperelastischem Material überlagert sind, werden Lösungen in geschlossener Form abgeleitet, ohne einschränkende Bedingungen für die Deformationsenergiefunktion. Mit Hilfe dieser Lösungen wird die Last-Deflektions-Beziehung für kleine radiale Deformationen vorgespannter zylindrischer Gummibuchsen abgeleitet. Weiterhin werden die Lösungen benutzt, um die Knickbedingung (für n=1) langer, zylindrischer Rohre zu formulieren, die gleichförmigem äusserem Druck ausgesetzt sind.

     

Antiplane shear problems of perfect and partially damaged matrix-inclusion systems

Summary Antiplane shear problem of an infinite medium containing a circular inclusion of different material is investigated in this article. Perfectly bonding between the matrix and the inclusion, as well as partial debonding in the form of a circumferential crack occurring at the interface of these two constituents, are considered. Using the complex variable method in conjunction with a semi-inversed technique, exact expressions for the stress, displacement and stress intensity factor in the problem are obtained for various external loading conditions, including that brought about by stress singularities. A number of numerical results of stress intensity factors for a partially damaged matrix-inclusion system are given, and a discussion is made on the general features of the antiplane shear problem of inhomogeneous matrix-inclusion systems.

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Scherung von perfekten und teilweise beschädigten Matrix-Einschluß-Systemen außerhalb der Ebene

Übersicht In dieser Abhandlung wird das Problem der Scherung au\erhalb der Ebene für einen unendlichen Körper mit einem kreisförmigen Einschluß aus unterschiedlichem Material untersucht. Es wird die perfekte Verbindung zwischen der Matrix und dem Einschluß ebenso wie teilweise Ablösung in der Form eines Umkreisrisses an der Schnittfläche zwischen den beiden Bestandteilen betrachtet. Unter Verwendung der komplexen Variablenmethode in Verbindung mit einem Halbinversionsverfahren werden exakte Ausdrücke für Spannung, Verschiebung und Spannungsintensitätsfaktor für verschiedene äußere Belastungszustände, einschließlich dem Einfluß von Spannungssingularitäten, erhalten. Es werden numerische Ergebnisse für den Spannungsintensitätsfaktor für ein teilweise beschädigtes Matrix-Einschluß-System gegeben, und die allgemeine Form des Problems der Scherung außerhalb der Ebene für ein nicht homogenes Matrix-Einschluß-System wird diskutiert.

     

Dynamic stability of discrete spherical structural systems in fluid media

Summary The dynamic response of a two degree of freedom spherical structural system immersed in viscous fluid media is studied with the fluid reactions obtained byBasset included in the differential equations of motion. Closed form solutions for the response of such systems are presented and a dynamic stability criterion based on the form of the solutions is developed. The solutions and the stability criterion are applicable to the limiting case when the system is surrounded by a vacuum. The various regions of stability and instability are delineated, and it is shown that the type of instability is significantly influenced by the physical properties of the surrounding fluid medium.

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Übersicht Es wird das Verhalten eines mechanischen Systems von zwei Freiheitsgraden untersucht, das aus zwei miteinander verbundenen, kugelförmigen Massen in einer zähen Flüssigkeit besteht. Dabei werden die Zusatzmassen der mitbewegten Flüssigkeit nachBasset in den Bewegungsgleichungen berücksichtigt. Es werden geschlossene Lösungen für die Bewegungen angegeben und daraus die Stabilitätsbedingungen ermittelt. Lösungen und Stabilitätsbedingungen können auch noch auf den Grenzfall eines im Vakuum befindlichen Systems angewendet werden. Die Parameterbereiche für Stabilität und Instabilität werden beschrieben, und es wird gezeigt, daß die Art der Instabilität wesentlich durch die physikalischen Eigenschaften der umgebenden Flüssigkeit bestimmt wird.

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The research upon which this paper is based was supported by the National Science Foundation Grant Nos. GK-479 and GP-2094 to Northwestern University.     

Closed form solutions of the differential equations governing the plastic fracture field in a power-law hardening material with low strain-hardening exponent

Summary In this paper closed form solutions for the evaluation of the stress and strain-fields are estimated for a power-law hardening, plastically incompressible material, cracked under plane-strain conditions. A convenient decoupling methodology, concerning a strongly non-linear ordinary differential system given by Rice and Rosengren [1], leads to a modified higher-order non-linear differential equation which for the case of low strain-hardening behaviour, using appropriate analytical treatments, is integrated in a closed form. Applications of the derived solutions for low hardening exponents yield results which are in excellent agreement with those derived numerically by other investigators. The solutions obtained herein cover a large class of problems in the mathematical theory of plasticity and fracture mechanics, and may be proved powerful in application .

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Geschlossene Lösungen der Differentialgleichungen für das plastische Ri\feld eines nach einem Potenzgesetz schwach verfestigenden Materials

Übersicht Es werden geschlossene Lösungen für die Spannungs- und Verzerrungsfelder eines plastisch inkompressiblen Materials mit Verfestigung nach einem Potenzansatz und mit einem Ri bei ebener Formänderung abgeschätzt. Eine geeignete Entkopplungsmethode für ein von Rice und Rozengren [1] angegebenes, stark nichtlineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen führt auf eine modifizierte nichtlineare Differentialgleichung höherer Ordnung, die mit geeigneten analytischen Schritten bei schwacher Verfestigung in geschlossener Form integrierbar ist. Anwendungen der hergeleiteten Lösungen für kleine Verfestigungsexponenten liefern Ergebnisse, die ausgezeichnet mit numerischen Ergebnissen anderer Autoren übereinstimmen. Die hier gewonnenen Lösungen umfassen eine weite Klasse von Problemen der mathematischen Plastizitätstheorie und Bruchmechanik und erweisen sich bei Anwendungen als sehr zweckdienlich.

     

Plane elastic solution for the second mixed boundary value problem and its application

Summary A solution is obtained for the second mixed boundary value problem with two boundaries loaded with external forces, and the other two boundaries simply supported. A rational mapping function formed as a sum of fractional expressions and complex stress functions is used for the analysis. A closed form solution can be obtained under uniform tensile and shearing loadings. These solutions are applicable to crack problems in linear elastic fracture mechanics. In order to illustrate the general solution, a double connected region is considered, in which interaction between a square hole with a crack extension and another crack is investigated. Stress distributions and stress intensity factors are obtained.

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Ebene elastinche Lösung des zweiten gemischten Randwertproblems und ihre Anwendung

Übersicht Die Lösung des zweiten gemischten Randwertproblems der ebenen Elastizität mit zwei kraftbeanspruchten und zwei gestützten Rändern wird dargestellt. Für die Analyse wird eine rationale Abbildung verwendet, die als Summe partieller Lösungen aus komplexen Spannungsfunktionen aufgebaut ist. Für gleichmäßige Zug- und Schubbeanspruchungen kann die Lösung in geschlossener Form dargestellt werden und ist verwendbar in Rißaufgaben der linear elastischen Bruchmechanik. Als Illustration der allgemeinen Lösung dient ein verzweigter Bereich der gegenseitigen Einwirkung einer quadratischen Öffnung mit Seitenkerbe und eines Risses. Die Spannungsverteilungen und Spannungsintensitäten werden dabei berechnet.

     

A closed form solution for the response of a long elastic beam to dynamic loading

Summary Closed form solutions have been obtained using Fourier transform method for the deflection, curvature and particle velocity of a long elastic beam when it is subjected to a concentrated transverse force which is varying with time. These solutions have been illustrated with the help of two force histories, i.e. a half-sine pulse and a rectangular pulse. Dimensionless parameters representing deflection, curvature and particle velocity have been plotted as functions of dimensionless distance and dimensionless time. Furthermore, the particular case of constant velocity impact which has been studied by other authors using different techniques has also been considered in the present paper and the results compare within numerical errors involved in the evaluation of integrals.

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Geschlossene Lösungen für die Antwort langer elastischer Balken auf dynamische Lasten

Übersicht Mit Hilfe von Fourier-Transformationen werden geschlossene Lösungen für die Durchbiegung, die Krümmung und die Geschwindigkeit der Punkte auf der Achse langer Balken, die durch eine zeitabhängige vertikale Einzelkraft belastet werden, erhalten. Die Lösungen werden anhand eines halben Sinusstoßes und eines Rechteckstoßes illustriert. Die Durchbiegung, Krümmung und Geschwindigkeit werden in dimensionsloser Form als Funktionen der dimensionslosen Längskoordinate und Zeit dargestellt. Darüber hinaus wird der Sonderfall konstanter Stoßgeschwindigkeit, der von anderen Autoren mit anderen Methoden untersucht wurde, betrachtet: Abgesehen von Abweichungen durch die numerische Lösung auftretender Integrale stimmen die Ergebnisse überein.

     

Pulsierende Druckströmung hochpolymerer Schmelzen im kreisförmigen Kanal

Zusammenfassung Es werden theoretische und experimentelle Untersuchungen pulsierender Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten in einem kreisförmigen Kanal durchgeführt. Unter Voraussetzung einer eindimensionalen, isothermen und vollentwickelten Strömung in Anwesenheit sinusförmiger Druckgradientenschwankungen wird für die rheologische Zustandsgleichung von Bird-Carreau eine asymptotische Lösung erzielt. Die Ergebnisse weisen darauf hin, daß sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Änderung des mittleren Ausstoßes sich in einer allgemeinen Form darstellen läßt, die bezüglich der Temperatur und der relativen Amplitude der Druckgradientenschwankungen invariant ist. Die theoretischen Ergebnisse werden mit experimentellen Daten für ein Polyethylen niederer Dichte verglichen. Dabei wird eine gute Übereinstimmung der Theorie mit dem Experiment festgestellt.

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Theoretical and experimental studies were carried out on the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel. By assuming the flow to be one-dimensional, isothermal, and fully developed and the Bird-Carreau constitutive equation to be applicable, an asymptotic solution was found. The results obtained indicate that both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output may be presented in a generalized form that is independent of the relative amplitude of the pressure pulsations and temperature. The theoretical results were verified experimentally for a low-density polyethylene. Good agreement was found between the theory and the experimental data.

     

Multi-mode nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated imperfect angle-ply cylindrical panel with free straight edges

Summary A multi-mode solution to nonlinear vibration and postbuckling of the titled problem is presented for two straight edges free from forces and bending moments and the other edges subjected to identical variation of rotational stiffness and normal boundary forces. The dynamic Marguerre-type nonlinear equations are adopted. The transverse deflection and stress function are expanded into two series with timedependent coefficients. The Galerkin procedure furnishes an infinite system of ordinary differential equations for these time functions. The method of harmonic balance is used for a solution of a finite number of these equations. The postbuckling behavior is treated as a special case. Numerical results in nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated angle-ply panel are presented graphically for different panel parameters and also compared with available data.

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Nichtlineare Schwingung und Nachbeulen einer antisymmetrisch geschichteten, imperfekten zylindrischen Schale mit freien geraden Rändern

Übersicht Für das im Titel genannte Problem wird bei Normalkraftbelastung und Verdrehsteifigkeit der kreisbogenförmigen Ränder eine Lösung der dynamischen, nichtlinearen Marguerre-Gleichungen in Form verallgemeinerter Fourier-Reihen für die Durchbiegung und Spannungsfunktion mit zeitabhängigen Koeffizienten vorgestellt. Das Galerkin-Verfahren liefert ein System unendlich vieler gewöhnlicher Differentialgleichungen für diese Zeitfunktionen. Zur Lösung einer endlichen Zahl der Gleichungen wird die Methode der harmonischen Balance benutzt. Für verschiedene Schalenparameter werden numerische Resultate zur Schwingung und zum Nachbeulen in graphischer Form dargestellt und mit fremden Ergebnissen verglichen.

     

The image force on a dislocation near an elliptic hole in nonlocal elasticity

Summary A basic solution to the problem of a screw dislocation near a circular hole in nonlocal clasticity is first presented. The nonlocal stress and nonlocal image force on the screw dislocation are derived whereby the singularities in both classical stress and classical image force are eliminated. Then, the nonlocal image force on a screw dislocation near an elliptic hole is obtained by a conformal mapping technique. The maximum of the image force and the corresponding position of hte dislocation are estimated for a dislocation very close to the holes.

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Bildkraft auf eine Versetzung neben einem elliptischen Loch bei nichtlokaler Elastizität

Übersicht Zuerst wird eine Lösung für das Problem einer Schraubenversetzung neben einem kreisförmigen Loch bei nichtlokaler Elastizität vorgestellt. Die nichtlokal Spannungen und die nichtlokalen Bildkräfte werden abgeleitet, wobei alle Singularitäten verschwinden. Dann wird die nichtlokale Bildkraft auf eine Schrauben versetzung neben einem elliptischen Loch mit Hilfe einer konformen Abbildung erhalten. Für die Versetzung sehr nahe dem Loch werden das Maximum der Bildkraft und ihre Position geschätzt.

     

Some stress intensity factors for self-similar cracks,derived from path-independent integrals

Summary A new method of computing stress intensity factors for self-similar cracks in the plane is discussed. It is based on some known path-independent integrals whose forms make them suited for use in elastic fields showing expansional invariance. General integral formulas for the various segments of a chosen integration contour are presented and also applied. The integrals generally express the total energy release rate at self-similar growth, but for the expansion loaded star crack and the symmetrically cracked wedge opened by concentrated forces the stress intensity factors are obtained in closed form.

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Zusammenfassung Ein neues Verfahren der Berechnung von Spannungsintensitätsfaktoren zugehörig selbstähnlichen Riss-systemen in der Ebene wird diskutiert. Es beruht auf einigen bekannten wegunabhängigen Integralen, deren Formen sie in expansionsinvariablen elastischen Feldern anwendbar machen. Die allgemeinen Integralformeln der verschiedenen Abschnitte eines speziell gewählten Integrationsweges werden sowohl vorgezeigt als angewandt. Gewöhnlicherweise drücken die Integrale die totale Energiefreisetzung eines Rissystems bei selbstähnlichem Zuwachs aus. Für den expansionsbelasteten Sternriss und für den symmetrisch gespaltenen Keil, der von Punktkräften geöffnet wird, werden aber die Spannungsintensitätsfaktoren in abgeschlossener Form erhalten.

     

Exact solutions for stress analysis of transversely isotropic elastic layers

Summary The general equations for the elastic analysis of transversely isotropic materials are written in a form which allows derivatives in the thickness direction for all orders to be conveniently calculated. The displacements and stresses are expanded in Taylor series of a form suitable for deriving exact solutions for thick elastic layers with stress-free surfaces. This extends the work of Rao and Das for isotropic materials to the transversely isotropic case. A class of exact solutions are used to obtain results for stress concentration factors due to circular holes in layers.

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Exakte Lösungen der Spannungsberechnung von transversal-isotropen elastischen Schichten

Übersicht Die Grundgleichungen der Elastizität von transversal-isotropen Stoffen werden auf eine für die Berechnung beliebig hoher Ableitungen in eine Dickenrichtung zweckmäßige Form gebracht. Die Verschiebungen und Spannungen werden in für exakte Lösungen dicker Schichten mit spannungsfreien Laibungen geeignete Taylor-Reihen entwickelt. Dies ist eine Weiterführung der Arbeiten von Rao und Das für den isotropen Fall auf den transversal-isotropen Fall. Eine Klasse exakter Lösungen wird benutzt, um die Spannungskonzentrationsfaktoren gelochter Schichten zu bestimmen.

     

On a new integration rule with the Gegenbauer polynomials for singular integral equations used in the theory of elasticity

Summary A new technique is proposed for the numerical solution of the Cauchy-type singular integral equations, by using the well known Gegenbauer polynomials. A large class of problems of mathematical physics, and especially several plane and antiplane elasticity problems, not possessing closed-form solutions, can be reduced to the solution of certain systems of such a type of singular integral equations. Also by using a certain method the new formula which is used for the numerical solution of the Cauchy-type integral equations can be extended for the general type of the finite-part singular integrals, too.

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über eine neue, in der Elastizitätstheorie anwendbare Integrationsregel mit Benutzung der Gegenbauer-Polynome zur Lösung singulärer Integralgleichungen

übersicht Es wird eine neue Technik zur numerischen Lösung von Cauchyschen singulÄren Integralgleichungen unter Benutzung der bekannten Gegenbauer-Polynome vorgeschlagen. Eine gro\e Klasse von Problemen der mathematischen Physik und besonders verschiedene ebene und antiplanare Probleme der ElastizitÄtstheorie, welche keine geschlossenen Lösungen besitzen, können zur Lösung auf solche singulÄren Integralgleichungen zurückgeführt werden. Die für die numerische Lösung von Cauchyschen Integralgleichungen hergeleitete Methode kann für den allgemeinen Fall singulÄrer Integrale mit endlichem Anteil erweitert werden.

     

The stress intensity factors for two collinear edge cracks in a rotating disc

Summary The problem of determining the stress intensity factors and the crack formation energy of two edge cracks of unequal length on the same diameter of a finite rotating elastic disc is reduced to the solution of two coupled singular integral equations. Numerical results are given.

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Zusammenfassung Das Problem der Bestimmung der Spannungsintensitätsfaktoren und der Rissbildungsenergie van zwei Kantenrissen ungleicher Länge auf denselben Durchmesser in einer endlichen rotierenden elastischen Scheibe wird auf die Lösung von zwei zusammengeschriebenen singulären Integralgleichnungen reduziert. Es werden numerische Resultate gegeben.

     

Theory of unsteady heat conduction in multicomponent finite regions

Summary General solutions of the heat conduction equation are obtained analytically in a rigid, finite body of arbitrary shape and composed of an arbitrary number of isotropic components in imperfect thermal contact. The solutions for the unsteady temperature distributions incorporate arbitrary heat sources and initial conditions, and time-dependent boundary conditions. Various forms of the solutions are given and the reduction of the general problem to simpler ones is indicated.

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Übersicht Es werden allgemeine Lösungen der Wärmeleitungsgleichung für einen starren, endlich ausgedehnten Körper beliebiger Gestalt angegeben. Der Körper ist aus einer beliebigen Anzahl isotroper Teilkörper aufgebaut, die untereinander einen unvollständigen thermischen Kontakt haben. Bei den Lösungen für die nichtstationären Temperaturverteilungen werden beliebige Wärmequellen, beliebige Anfangsbedingungen und zeitveränderliche Randbedingungen berücksichtigt. Es werden verschiedene Formen der Lösungen angegeben und es wird gezeigt, in welchen Fällen sich das allgemeine Problem vereinfacht behandeln läßt.

     

Einige ähnliche Lösungen der instationären,kompressiblen laminaren Grenzschichtgleichungen

Übersicht Für die instationären, kompressiblen, ebenen und dreidimensionalen rotationssymmetrischen laminaren Grenzschichtgleichungen werden mit Hilfe einer zweiparametrigen Transformationsgruppe drei ähnliche Lösungen angegeben. Die Differentialgleichungen eines Falles werden für einige charakteristische Werte numerisch integriert und die Ergebnisse graphisch dargestellt. Es folgen Angaben über den lokalen Reibungskoeffizienten und den lokalen Wärmestrom an der Wand.

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Summary Three similarity solutions of unsteady compressible, plane and axial symmetrical three-dimensional laminar boundary layer equations are obtained by means of the two parameter group theory. The differential equations will be integrated for one case numerically for some special values and the results are plotted graphically. Skinfriction and heat transfer are calculated.

     

On the propagation of flexural waves in anisotropic bars

Summary Propagation of flexural waves in circularly cylindrical bars of anisotropic material on the basis of the exact three-dimensional theory of elasticity of small deformations is considered, the rigor of the analysis being the same as the one of the Pochhammer-Chree theory. A system of the governing equations of motion for the cylindrical orthotropy (its axis coinciding with the axis of the bar) is derived and expressed in terms of radial, tangential and axial displacement components. For a steady-state sinusoidal flexural wave the system reduces to coupled ordinary second order differential equations with a regular singular point. Solution for a transversely isotropic is obtained by means of Frobenius series method. Upon using two or three terms of the series approximate dispersion relations for isotropic material as well as for the pyrolytic graphite type material and two other types of anisotropic materials are obtained and illustrated by graphs. Higher order modes than those already known are found.

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Übersicht Die Fortpflanzung von Biegewellen in kreiszylindrischen Balken aus anisotropem Material wird auf der Grundlage der exakten dreidimensionalen Elastizitätstheorie kleiner Verformungen betrachtet. Die Strenge der hier gegebenen Untersuchungen entspricht der in der Theorie von Pochhammer-Chree. Das System der Bewegungsgleichungen wird für zylindrische Orthotropie, deren Achse mit der Balkenachse zusammenfällt, abgeleitet und durch die radialen, atngentialen und axialen Verschiebungskomponenten ausgedrückt. Das System reduziert sich im Fall einer stationären sinusförmigen Biegewelle auf gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit einem singulären Punkt. Lösungen für transversale Isotropie werden mit Hilfe der Reihenmethode von Frobenius abgeleitet. Unter Verwendung von zwei oder drei Gliedern dieser Reihen werden angenäherte Dispersionsbeziehungen sowohl für isotropes Material als auch für Material vom Typ pyrolytischen Graphits und für zwei andere Typen anisotropischer Materialien erhalten und graphisch dargestellt. Es werden Schwingungsformen gefunden, die von höherer Ordnung als die bisher bekannten sind.

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Research supported by a grant of the National Science Foundation.