一道经典几何题的多种解法

<正>一题多解有利于调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创新思维能力.下面,以八年级一道经典几何题为例.题目如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.一、利用全等三角形的性质证明两线段相等解法1如图2,在AB上截取AG,使得AG=CE,易得BG=BE,     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

一道几何题的多种解法

在解数学题时 ,对一些题应该用不同的思想方法 ,从不同的思维角度去寻求多种解法 .这样不仅可以加深对基础知识的理解 ,促进基本技能的掌握 ,有利于培养灵活运用知识的能力 ,而且有助于发散思维的训练和创新精神的培养 .本文以一道几何题为例 ,谈谈它的多种解法 .题目 :如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,ＢＥ是ＡＣ边的中线 ,ＢＥ交ＡＤ于Ｆ ,若ＢＤ =3,ＢＣ =5,求ＢＥ∶ＥＦ的值 .本题可以利用三角形的角平分线性质定理求解 ,也可以通过作辅助线 ,利用平行线分线段成比例定理求解 .下面就是本题的多种解法 .解法一 :如图 1,在△Ａ…     

一个三角形性质的应用

<正>如图1,线段AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则AD,BE,CF交于一点O,即"三角形的三条角平分线交于一点".这是三角形的一个性质,在解题时,容易被"忽略",但应用这一性质可以有效解决一些有关三角形角平分线的问题.例1如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,将△BCP沿CP折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DP,求∠BAC度数.     

角平分线试题的多视角分析

<正>高三的复习过程中,经常碰到涉及角平分线的试题,这种试题往往入口很宽,解法多样,不同的视角可以得出不同的解法.现结合我校月考中的一道例题来展示多视角处理角平分线的策略!题目△ABC中,cos A=1/8,AB=4,AC=2,∠A的平分线为AD,求AD长.     

探究2023年高考中一道椭圆焦点三角形中线长试题

探究2023年高考甲卷中一道椭圆焦点三角形中线长试题的解法,总结解题策略,并将其进行推广,得到一般椭圆和双曲线中与中线、角平分线、高线有关的性质.     

辨析一道似是而非的几何题

有一道题:“已知△ABC中,∠C=90°,AD、BE是中线,AD=210cm,BE=2cm,求AB的长”.两个同学用不同的运算方法,却得出了两个截然相反的结论.1　两种解法解法1　连结DE,设CD=xcm,CE=ycm,∵　AD、BE是中线,∴　BC=2xcm,AC=2ycm.而∠C=90°,根据勾股定理得(2x)2 y2=22,x2 (2y)2=(210)2,     

三角形“三心”的完美统一

三角形的重心、垂心、内心在解三角形中占有重要的位置,它们内容不同,性质各异,但它们在下面的表述中达到了完美的统一.如图1,在△ABC中,AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的中线,相交于O,那么,O叫△ABC的重心.由重心的性质,得OD/AD=1/3;OE/BE=1/3;OF/CE=1/3,     

构造三角形 解梯形问题——一道世界团体锦标赛试题的解法探究

对第7届世界团体锦标赛少年组团体赛第17题的解法进行了深入研究,通过构造三角形将梯形问题转化为三角形问题.利用三角形的性质得到了多种解法.一是借助15°角构造其中一角为30°角的直角三角形,再运用勾股定理求解;二是借助15°角和45°角,或120°角构造等边三角形,然后利用三角形的性质求解;三是构造相似三角形,运用勾股定理和相似三角形性质求解.通过“一题多解”,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力,有利用于提升学生的数学核心素养.     

初二几何第二学期期末自测题

A组一、填空题(每小题4分,共40分) 1、直角三角形斜边上的中线与斜边的比是. 2、已知a/b=c/d=e/f=2/3,则b+d+f/a+c+e的值是. 3、已知:如图,l1∥l2∥l3,AB/BC=4/5,则DE/DF=.(第3题) 4、等边三角形的角平分线与边长的比是. 5、如图,ED∥BC,DF∥AB,AE=1.8cm,BF=1.6cm,FC=1.2cm,则BE=. 6、如图,∠1=∠2,AD/DB=DE/DC,则图中能判定相似     

构造等边三角形解赛题

几何题难,难在作辅助线.在人们的思维定势中,常以作延长线、作高线、作角平分线和作中线为思考的方向,而以某线为一边,作等边三角形这样的辅助线很难想到.若在解题时我们能构造等边三角形解题,就可以简化思考     

一道高考题的多种解法

<正>问题在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于D,且BD=1,则4a+c的最小值为______.该题为2018年高考江苏省理科试卷第13题,虽然只是一道填空题,但其内涵却特别丰富,入手点比较宽,交汇性比较强,解该题的关键在于寻找出a,c的关系,下面给出几种解法,以期能对大家的学习有所启发.解法一利用面积公式     

巧用双曲线解三角形问题

题目在△ABC中,AB〉AC,AD是角平分线,P为AD上任意一点,求证：AB-AC〉PB-PC．本题是初中平面几何里一道经典的三角形证明题,通过构造辅助线可以很方便的作出证明．     

一道三角试题的解法探究

<正>古有九章勾股法,今看三角正余弦.在"从特殊到一般"的思想指导下,富有智慧的人们成功从直角三角形中发现了一般三角形也具有的性质——正余弦定理,简简单单知识点的组合便成就了伟大定理.下面试题主要考查解三角形,是一道入口较宽、解法多样,同时又能很好区分不同思维层次的好试题.笔者尝试从不同角度寻求突破.题目已知△ABC的三个内角A、B、C所     

对一道拓广探索题的再拓广

人教版八年级《数学》上P27页有一道拓广探索题:如图1,△ABC中,AD是它的角平分线,求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.分析这是角平分线性质的运用.按照书上的提示:作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则由角平分线性质有DE=DF.     

用角平分线的性质解题举例

在解决三角形的问题中,如果已知条件中涉及到角的平分线,我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题:角平分线上的点到角的两边距离相等,及其逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.现举例如下.一、证明线段相等例1如图1,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.     

多题同类一样解法

在众多的数学题中,如果我们稍稍留意就会发现有不少题目似曾相识,同源同类.这些类似的题目,只是把已知条件和求解结论略作改变而已.对于同类题目,只要探究其中一题的解法,然后进行解法迁移就可以.在学习"三角形"一章时,就有一类题可利用"特殊三角形的特殊边角关系及代数中的方程"解之.例1已知如图1,AB=BC=1,AD=     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如图 ,在△ABC中 ,AH⊥BC于H ,则图中以AH为高的三角形共有个 .2 .一个三角形的两边长为2、9,第三边长为偶数 ,则三角形的周长为 .3 .已知△ABC中 ,∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶4,则这个三角形是三角形 .4.如图 ,已知AD ,BC相交于E ,且OA =OC .补充一个条件 ,可使△OAD≌△OCB ,应补充的条件是 (只须写出一个条件 ) ,此时 ,判定△OAD与△OCB全等的理由是 (填判定公理或推论的简写形式 ) .5 .等腰三角形中 ,有一个内角为 5 0°,则其余两个角的度数为 .6.等腰三角形的角平分线、中线和高共…     

直角三角形中的角平分线、中线与高的长

三角形的角平分线、中线和高在中学数学中演绎出许许多多有趣的结论．直角三角形是三角形中一类特别的图形．直角三角形易与勾股定理、面积、平面直角坐标系及圆中的线段等产生联系,构造出不少综合问题,所以直角三角形也具有举足轻重的地位．本文谈一谈直角三角形中的角平分线、中线及高的计算方法．