立体几何中圆锥的截口曲线问题

<正>在人教版高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》的章头图和章头文中,给出了用一个不垂直于圆锥轴线的平面去截圆锥,当平面与轴线夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.但具体什么时候截得的是椭圆、双曲线和抛物线,课本中没有详细介绍,而在近几年的高考     

圆锥曲线定义的几何证明

用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口瞄线，分别是椭圆、双曲线、抛物线，通常把它们统称为圆锥曲线．那么，为什么截口曲线是椭圆、双曲线或抛物线呢？     

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性黑龙江绥滨一中邹楼海椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说，三种曲线是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同，才产生这三种曲线的差别，从轨迹的观点看，三种曲线都是一个动点到定点Ｆ和定直线...     

圆锥截线特征的新证

圆锥截线特征的新证周之夫（深圳市布吉高中５１８１２３）（图１）高中解析几何说：四种曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，如图１，因此，它们又统称圆锥曲线．教材仅是如此点到为止，却引得有心的老师和同学们留下了深深的疑虑...     

圆锥面截口线是圆锥曲线的又一初等证法

文 [1 ]对高中数学教材中把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线 ,是因为这三种曲线可以看作是不同平面截圆锥面所得到的 ,给出了一种初等证法 .我们为肖铿老师那种精巧的构思和高超的设参 ( a、b、焦点、准线 )技巧深感由衷的敬意 .但觉得美中不足的是设参技巧性太强和运算量太大 .我们经过探索 ,得出一种较为简捷的证法如下 ,供读者参考 .图 1如图 1 ,设圆锥面的半顶角为β,AO为轴 ,截口平面为δ(不过圆锥顶点 ) ,记平面δ与直线 AO所成的角为α( 0≤α <π2 ) ,与圆锥面的交线为曲线 EDG,圆锥面的一内切球 O1与平面δ相切于点 F,球 O…     

相似圆锥曲线的一条优美性质

抛物线、椭圆、双曲线等三种平面曲线都是由平面截圆锥面形成，所以常常有许多共同的优美性质．在教学中，探求其共性，深化对圆锥曲线的认识对提升学生的兴趣，培养学生的探究能力有着重要意义．本文通过对文[1]由一道高考题而推广出抛物线、椭圆、双曲线等个性特点的反思、质疑，进而得到三种曲线共同的优美性质，愿与同仁琢磨切磋．     

圆锥曲线的性质相关性

圆锥曲线的性质相关性邹楼海，余炯沛（黑龙江绥滨一中）（北京师大数学系１００８７５）椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说三种曲线是统一的．从轨迹的观点看，三种曲线都是到定点和定直线ｌ的距离之比等于常数ｅ的点的轨迹，只是由...     

圆锥截线定理的又一证法

直圆锥面与平面相贯,其截线不外是圆、椭圆、抛物线、双曲线等四种曲线,即二次曲线,这就是圆锥截线定理。它的证明通常是纯几何的。作者通过教学实践获得如下的又一证法,它是利用几何关系作出的一种分析的证法。可供教学上参考。 为方便计,只讨论平面与圆锥在一侧相贯的情     

圆锥面截口线是圆锥曲线的初等证法

高中数学教材中提到椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线,这是因为这三种曲线都可用一个平面与圆锥面相截,所得的截口线即为这三种曲线之一.这个结论用高等数学的知识是不难证明的,但较少看到此结论的初等证明.本文拟探究此结论的初等证明方法.设圆锥面的半顶角为β,为了便于研     

圆锥曲线是椭圆双曲线和抛物线的解析证明

在一次讨论《高中数学课程标准》的会议上有人问如何证明一圆锥被一平面所截 ,得出截线是椭圆、双曲线或抛物线 .在《标准》选修 1系列课程的参考案例 4中画了一张立体图 ,意示可以用立体几何的办法加以证明 .其实这种证法大约最早是由G .Daudeliu在 1 82 2年给出的 .(可参阅[1 ]P .2 47)他给出了一个定理 :“如果两个球面内切于一个圆锥并且都与一个已知平面相切 ,该平面与圆锥交于一条圆锥曲线 ,那么球面与平面的接触点是圆锥曲线的焦点 ,球面与圆锥相切的圆所在的平面同已知平面的交线是圆锥曲线的准线 .”再根据平面与圆锥轴线的夹角…     

怎样理解双曲线和抛物线是“封闭”曲线

只有封闭曲线才有“内部”与“外部”之别。例如,椭圆是封闭曲线,故有椭圆的内部与椭圆的外部的概念。对于双曲线和抛物线,有些解析几何教材或参考资料也经常说“内部”与“外部”。例如《数学题解辞典·平面解析几何》(上海辞书出版社出版)P.464第761题和P.552第915题,就把双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1焦点所在的那个区域称为它的外部,把原点所在的那个区域称为它的内部;把抛物线y~2=2px焦点所在     

走出圆锥曲线的认识误区

在圆锥曲线与方程[1]的开篇前言中,曾给圆锥曲线作了如下描述性的定义:如图1,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭     

浅谈二次曲线定义的教学和应用

椭圆、双曲线和抛物线是平面解析几何中的重要曲线。深刻理解它们的定义是掌握这些重要曲线的前提,椭圆、双曲线和抛物线的定义反映了这些曲线的本质。因此,它是理解这些曲线的概念,推导它们的方程和解决与它们有关的问题的根本依据。     

由圆生成圆锥曲线

众所周知,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹:当01时为双曲线.有趣的是,在圆中,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线,有如     

浅议双曲线的“盲区”

在解决与圆锥曲线的弦的中点有关的问题时,常常用到结论:(1)抛物线y2=2px(p<0)的弦的中点不可能到达抛物线y2=2px(p<0)上和其左边的点;(2)椭圆的弦的中点不可能到达椭圆上和椭圆外部.上述两个区域我们暂且称之为“抛物线的盲区”和“椭圆的盲区”.那么“双曲线的盲区”是什么呢?是双曲线两支之间,还是两支之外?由“特殊化思想”发现“双曲线的盲区”既不是双曲线两支之间,也不是两支之外,那么如何找到双曲线的弦的中点的“盲区”?图1我们先来看下面的问题:已知双曲线的方程为ax22-by22=1(a>0,b>0),定点M(p,q)在双曲线与其渐近线围成的区域(…     

对新教材"圆锥曲线方程"一章的认识及教学体会

1　对新教材“圆锥曲线方程”一章的认识新教材“圆锥曲线方程”一章是在原教材《平面解析几何》的第二章“圆锥曲线”的基础上改编而来的 .原教材“圆锥曲线”一章包含了曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线和坐标变换等六部分内容 .新教材把“曲线与方程”和“圆”两部分内容与“直线”合并成单独一章“直线和圆的方程”.由于新教材“平面向量”一章已包含了“平移”,故“坐标变换”这一小节这里已被删除 .于是 ,新教材又把椭圆、双曲线和抛物线另立一章为“圆锥曲线方程”,从而使得这一章的内容更独立、更系统、更统一、更与课题相吻合…     

从一道轨迹问题看三种圆锥曲线

从一道轨迹问题看三种圆锥曲线董升伟（陕西咸阳市教研室７１２０００）椭圆、抛物线和双曲线按其各自的初等性质来说，虽系三种不同的曲线，但作为直圆锥的截线又显示出它们的统一性．从天体（卫星、行星、慧星等）运行的轨道看，同样可归结为这三种曲线，从离心率的角度...     

抛物线的一个重要特征——不存在渐近线

曲线的渐近线能说明曲线的发展趋势 ,它在画图和解决有关问题时起着重要的作用 .例如正切曲线 y =tanx的渐近线为x =kπ + π2 (k∈Z) .如图 1 ,当x→kπ + π2 时 ,正切曲线越来越与渐近线靠近 ,但永不相交 .又如双典线 x2a2 - y2b2 =1 ,当 |x|增大时 ,曲线逐渐靠近它的渐近线 y =± bax ,而且永远不与之相交 ,如图 2 .有了渐近线 ,曲线的发展趋势就可有效地显示 ,图形就容易画准确 .图 1　正切曲线　　　　　图 2　双曲线对于抛物线 ,不难证明它没有渐近线 .图 3　抛物线事实上 ,x =0显然不是抛物线的渐近线 .设M (x ,y)为抛物线 y2 =2 p…     

圆锥曲线统一定义与统一方程中若干问题释疑

关于圆锥曲线统一定义与统一方程的教学设计,有些书刊已提出了较好的参考意见。但就教材以及一些数学资料中对此问题的理解却仍有必要探究与商榷,部分教师和很多学生出现的一些模糊看法也有必要澄清。 1.圆锥曲线统一定义的严密性高中数学教材重点中学甲种本《平面解析几何》第174页给出了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的统一定义,即平面上“与一个定点(焦点(F))的距离和一条定直线(准线(l))的距离的比等于常数e的点的轨迹,当01是双曲线;e=1是抛物线。 (1)对抛物线来说,仅仅强调e=1是不够的,还应强调定点F一定不在定直线L上,     

如何确定离心率的范围

圆锥曲线的第二定义是:平面内动点M到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹是圆锥曲线．当01时,动点M的轨迹是双曲线,当e=1时,动点M的轨迹是抛物线．求椭圆与双曲线离心率的范围是高考的一类题型．下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围．