一道伊朗竞赛题的证明、变式、加强与推广探究

本文首先介绍了1996年第14届伊朗数学奥林匹克中一道代数不等式问题的背景,并给出了一种较易理解的证法,然后从该代数不等式出发,通过演绎变形得到一系列几何不等式,最后对该代数不等式进行了加强与推广.     

不等式的面积视角

同学们对一个代数不等式的理解,一般更注重于它的代数证明,而内隐在其背后的丰富的图形直观背景,则往往疏于挖掘,这不能不说是一种遗憾.实际上,很多代数不等式,不但可以通过代数的方法予以证明,而且还蕴含形象的几何意义,如果我们面对一个代数不等式,能够积极探寻其图形解释,不但可以加深对不等式的理解程度,而且还别具趣味.本文仅从...     

不等式的面积视角

同学们对一个代数不等式的理解,一般更注重于它的代数证明,而内隐在其背后的丰富的图形直观背景,则往往疏于挖掘,这不能不说是一种遗憾.实际上,很多代数不等式,不但可以通过代数的方法予以证明,而且还蕴含形象的几何意义,如果我们面对一个代数不等式,能够积极探寻其图形解释,不但可以加深对不等式的理解程度,而且还别具趣味.本文仅从图形的面积关系,来审视一些代数不等     

例谈运用三角形几何性质降低平面解析几何运算量

<正>解析几何的本质就是用代数的方法研究几何问题,它的研究对象是几何,处理方法是代数,是同时具有代数和几何特性的综合体.因此解题时要重视问题的几何表征和代数特征,两者之间相互转化,将几何与代数完美地融合在一起.本文通过两种方法比较求解有关三角形内心,     

有关度量加的几个几何不等式

本文利用代数的方法建立了一个与距离几何中度量加单形的体积和外接超球半径有关的几何不等式,作为其应用,由此可以导出一系列重要的几何不等式.在文末还给出了“广义度量加”的概念,并提出若干猜想供进一步研究.     

关于度量加的一类几何不等式

利用代数方法和距离几何理论，研究了距离几何中的度量加问题．建立了一类与度量加单形的体积有关的几何不等式，从指数上改进了关于度量加单形的一个已知的重要几何不等式，对涉及度量加的Alexander的一个猜想作了实质性的推广．     

关注几何特征 简化解几运算

<正>众所周知,解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题,同学们在解题当中往往能毫不费力地把题目条件转化为代数式,却发现计算困难重重,永远算不出正确答案.这是由于同学们忽略了解析几何的几何背景,把它当成了纯代数问题.实际上,它是建立在几何背景下的代数运算,     

从嵌入不等式的视角挖掘三角不等式与代数不等式之间的联系

本文从嵌入不等式的视角来挖掘三角不等式与代数不等式之间的紧密联系,首先给出嵌入不等式及其证明,然后依次探究由嵌入不等式生成三角不等式与代数不等式方法与结果,最后给出两个利用嵌入不等式解决的三角不等式与代数不等式案例.     

常曲率空间中共球有限点集的一类几何不等式

本文首先证明了一个代数不等式,其次利用它得到了n维常曲率空间中共球有限点集的一类几何不等式,其特殊情况得到了文[3]中的主要结论.     

一类数列不等式的几何背景溯源与拓展

<正>我们知道,当f(x)≥0时,定积分∫abf(x)dx的几何意义是:由:y=f(x),x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积(图1).利用定积分的几何意义,一些原本代数方法解答冗长复杂的函数或数列问题,可以迅速解决.下面,笔者从"对数平均不等式"的证明人手,讲解一类数列不等式几何背景的溯源与拓展.     

图解法证不等式例举

用代数法证不等式有时是相当麻烦的,回头从几何的角度考虑,有时却显得非常简易,甚至能一望而解。这里的关键问题是如何将有关的代数式视作相应的几何量。本文试从以下几个方面来探索。     

圆锥曲线中二元范围问题的四个视角

解析几何是用代数的方法来研究几何问题的一门学科,不等式是代数中的一个重要内容,圆锥曲线中的范围问题将二者有效地结合起来了,因此,它成为各级各类考试中命题的热点. 圆锥曲线中二元范围问题就是问题中含有两个变量或者在解决问题过程中必须引进第二个变量的范围问题.这类问题的基本解法是由已知条件得到与两个变量有关的一个等式和不等式,等式的作用是消元,不等式的作用是获得范围,难点是不等式的构造,本文就此作一点简单的归纳.     

高三代数中一个不等式的几何意义

高三代数中的一个著名不等式 (ab)~(1/2)≤(a b)/2 (a≥0,b≥0)有很多几何意义,如果这些几何意义使学生能够了解,那么无論对于学习代数、几何以及了解它們彼此之間的联系,都是有好处的。現在把这个不等式的几何意义列举如下,以供教师們参考: (1)取直綫ABC,并假定 AB=a,BC=b。     

也谈代数─几何均值不等式的证明

也谈代数─几何均值不等式的证明山东济宁师专数学系孔凡哲阅读本刊１９９３年第５期台湾邓天锡先生的《代数一几何中值不等式的一个证明》一文，很受启发．为方便广大高中师生，今再给出几种通俗易懂的精巧证明．记则当时，均值不等式显然成立．下文设．证１（对数切线法...     

求复数模的最值的常用策略

复数的模是复数中的重要概念之一 ,复数ｚ的模 |ｚ|是其对应点Ｚ到原点的距离 (复数模的几何意义 ) .复数模的最值问题既是复数问题中的一个重点 ,也是一个难点 .其最常用的策略有 :用函数思想、方程思想可将问题转化为代数法或三角法 ,用数形结合思想可将问题转化为几何法 ,用重要的不等式公式可将问题转化为不等式法 .下面我们就来分别举例说明这几种策略 .1　用代数法求最值用代数法求复数模的最值 ,在这里是指把问题转化为求代数中的最值问题来解决 .例 1　已知复数ｚ满足 |ｚ - (2 + 3ｉ) | + |ｚ -(2 - 3ｉ) | =4 ,试求 |ｚ|的最值 .…     

一类有趣不等式的拓展与加强

本文先从3个有趣的代数不等式出发,联系一道数学征解题,给出了这类不等式的一个统一加强形式;进而联系两道数学竞赛试题,给出了类似的加强,获得了一些有趣的代数不等式.这些不等式有助于我们加深对代数运算规律的认识.1探究问题展示     

从2012年高考题看非线性规划问题的解法

现行教科书中的线性规划问题,其中的不等式、方程都是一次的,图象都是直线,故线性规划问题即是线性方程、不等式问题,可用直线的几何性质解答,即数形结合法中的"以形代数"法(教科书都用"以形代数")解答,也可不用图象而用纯代数方法解答(教科书却不讲).当方程、不等式不全是一次时,严格说不应称作线性规划问题,但解法原理与线性     

例谈新课标高考数学考点：不等式选讲

不等式选讲是对以前所学不等式内容的深化,通过不等式的证明、不等式的几何意义、不等式的背景,从不等式的数学本质上加以剖析,从而提高逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法．主要考查绝对值不等式的解法、不等式证明及其应用。     

一组不等式的四种图形证明

利用图形证明不等式,不仅构思巧妙、直观易懂,而且还能给出代数不等式的几何意义,这对于开拓学生思维、培养数形结合能力都有一定益处。下面给出一组不等式     

基于梯度的拉格朗日乘数法的几何直观

针对目前大学数学教材中拉格朗日乘数法缺乏几何直观的问题,本文利用目标函数与约束函数的梯度关系,从几何角度对拉格朗日乘数法进行了详细的分析,并结合具体算例和几何图形给予说明,进而达到从几何直观揭示拉格朗日乘数法的本质,为代数表达式的几何解释提供了范例.