纯虚数的充要条件及应用

纯虚数是高中数学复数这一章中较重要的概念之一 .本文就纯虚数的充要条件与相关题的解题策略浅谈见解 .1　纯虚数的充要条件由纯虚数的定义 ,不难得到下面的结论 1.结论 1　复数ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数的充要条件为ａ =0且ｂ≠ 0 .结论 2　复数ｚ是纯虚数的充要条件为ｚ ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) .证　 (充分性 )设ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ) .∵ｚ ｚ =0 ,∴ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ,∴ａ =0 .而ｚ为非零复数 ,则ｂ≠ 0 ,∴ｚ为纯虚数 .(必要性 )ｚ =ａ ｂｉ (ａ ,ｂ∈Ｒ)是纯虚数 ,则ａ= 0且ｂ≠ 0 .∴ｚ =ｂｉ,则ｚ ｚ =ｂｉ …     

“挖”、“补”也须谨慎

相传女祸补天时费了九牛二虎之力,在数学世界里,同样需要我们采取“挖”、“补”的方法,并须慎之又慎,稍一疏忽,就会产生错解.下面举例说明. 例题已知复数w=(3-z)/(3 z)(z≠±3)是纯虚数,求复数μ=6i-z的辐角主值范围. 解W是纯虚数 ,故复数z对应的轨迹是以(0,0)为圆心3为半径的圆,并除去(±3,0)两点.     

复数一个结论的应用

由复数乘法的几何意义不难得到以下结论:“两个非零复数Z1、Z2对应的向量OZ1⊥OZ2的充要条件是Z1/Z2为纯虚数,即Z1/Z2=λi (λ∈R,且λ≠0).”进一步,根据复数减法的几何意义,非零向量是纯虚数. 利用上述结论,可以快捷地解答有关复数问题. 例1 已知非零复数Z1、Z2满足|Z1 Z2|=|Z1-Z2|,则(Z1/Z2)2一定是( ).     

话说“顾名思义”

语言的歧义 ,即语言的多种解说 ,是数学之大忌 .而数学中的歧义 ,往往出现在“顾名思义”上 .比如“虚数”一词 ,有人把它说成“虚设”的数、“没有实际意义”的数 ,这种说法 ,已被复数的广泛应用所否定 .“反三角函数” ,有人说成“三角函数的反函数” ,其实 ,三角函数不存在反函数 ,要论其反函数 ,必须对其定义域作某种限定 .“异面直线的公垂线”不仅仅是“两条异面直线的公共的垂线” ,它还包括“与两异面直线都相交”的条件 .“加法原理”和“乘法原理”被一些门外汉弄得阴差阳错 ,以为是关于加法或乘法的原理 .“黄金分割”、“完美数…     

“复数”教学中的一些问题

在“复数”一章的教学中,会碰到下面一些问题,使教师和学生都感到为难。 1.为什么要引入虚数。把实数系扩大到复数系有什么实际意义?能解决什么实际问题?你说可以使方程x~2=-1有解,但学生却认为     

复数的自白

我的英文名字叫complex number,我的形象a bi与众不同,是由实部a与虚数bi合成的;当b≠0时,人们特别地叫我《虚数》;当a=0时,又叫我《纯虚数》. 在数学王国,我的诞生是不易的,我走过的道路是曲折的:     

“简单”的问题 “不简单”的教学作为——记一道课本习题的教学

习题是数学教学的重要内容,是思维训练的重要载体.而在时下,看好并喜欢讲难题、多讲题的教师却不在少数,课中充斥着难题、大题,似乎题目越难、越综合就越能培养学生的思维能力.殊不知这种好“大”喜“难”式的习题教学,往往因为题目难度大、综合性强而脱离学生实际,不仅学生学习吃力,难有作为,教师也只好“一言堂”,苦不堪言,课堂效率低下.长期以往,不仅学生思维能力没有得到有效的培养,还会造成学生害怕数学,丧失兴趣.究其原因,与教师的教学观念、对“简单”题目的教学意义认识不足等有关.笔者想通过对一道较为“简单”的课本习题的教学记录与思考,与大家共享其中“不简单”的教学作为,望能对各位有所启发.     

再谈纯虚数概念——中学数学笔谈之七

笔者曾在本刊（１９９２年第６期２～３页,《关于纯虚数》）中建议把纯虚数概念定义为：复数ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ,ｙ为实数）中如果ｘ＝０,即ｚ＝ｙｉ称为纯虚数．而不必另加ｙ≠０的条件．这样做的好处很多,且与国际上绝大多数教材的提法一致．但并未引起中数界特别是教...     

巧用z与的关系解题

在复数学习中 ,经常遇到涉及以实数或纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的问题 .如果按照常规 ,根据概念来分析与判断 ,有时计算非常复杂 .下面关于ｚ与 ｚ的两个命题能提供一条途径 ,使得上述计算简化 ,同时能加深对复数概念的理解 .命题 1　复数ｚ为实数的充要条件是 : ｚ=ｚ .证　设ｚ =ａ ｂｉ,则 ｚ =ａ -ｂｉ.ｚ∈Ｒ ｂ =0 ｚ = ｚ .命题 2　设ｚ≠ 0 ,则ｚ为纯虚数的充要条件是 ｚ =-ｚ .证　∵ｚ≠ 0 ,设ｚ =ａ ｂｉ,则ａ ,ｂ不全为 0 .ｚ为纯虚数 ａ =0且ｂ≠ 0 ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ｚ ｚ =0 .例 1　设复数α ,β ,…     

“现值”与“终值”

“现值”与“终值”是利息计算中两个非常重要的基本概念 ,掌握好这两个概念 ,对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的 .所谓“现值”是指在 n期末的金额 A,把它扣除利息后 ,折合成现时的值 .而“终值”是指 n期后的本利和 .它们计算的基点分别     

数学中的“五虎将”

数学中有五个最突出的数 ,即 1,0 ,ｉ,π ,е ,这五个数是最具代表性的 ,是数学中的五虎将 .“1”是一切实数的出发点 ,通过它和自然数对可构造全体实数 ;“0”是正负数的分界点 ,是所有实数中唯一的中性数 ;“ｉ”是虚数的基本单位 ,借助它可以完成从实数到复数的扩充 ;“π”是圆的周长与该圆的直径之比 ,称为圆周率 ,它是一个与圆的大小无关的量 ,它在数学和自然科学中有广泛的应用 ,有人戏称“不可一日无此君” .“е”是近代发现的超越数 (不是任何整系数代数方程的根的数 ) ,成为普遍使用的自然对数的底 .“1” ,“0”代表算数 ,“ｉ…     

对一个定理和一个法则证明的教学管见

一、关于实系数一元n次方程虚根成对定理证明的教学。通用高中《数学》第三册103页给出了这个定理,课本上是这样叙述的:“还可以证明:如果虚数a+bi是实系数一元n次方程f(x)=0的根,那么它的共轭虚数a-bi也是这个方程的根。”但课本中却没有给出这这个定理的证明。是不是这个定理的证明学生无能力接受呢?回答是否定的。这个定理用学生学过的复数知识完全可以获得证明,而且学生还有能力来推导出这个定理的证明。据此,我认为应引导学生来证明这个定理,这样不但能使学生知其然,还能知其所以然,从而使学生把这个定理学得牢固,用得踏实。另外通过对定理的证明还可对前面学习过的复数知识进行复习和应用。实践证明、所达效果不出所料。     

在复数教学中防止照搬实数概念

复数和实数不完全是一回事,中学生往往把实数中的许多概念照搬到复数运算或比较上去,应予防止。一、绝对值例一、解方程∣x∣=x 1-i学生作业中有这样的做法: 去绝对值符号得到 x=±(x 1-i), 括号前取“ ”号时无解,取“-”号时为 x=-(1/2) (1/2)i 把结果代入原方程检验,易知它是错误的。由于复数a bi的模又叫绝对值,并记作∣a bi∣,教材只讲了复数绝对值与实数绝对值的意义的相同一面,而没有讲它们不同的一面,学生便把复数的模与实数的绝对值完全等同起来,并把实数绝对值的意义用于虚数的模,于是出现上述错误。还有同样错误的解     

虚数ω与正三角形

虚数ω与正三角形刘亚聆金伟明（江苏昆山一中２１５３００）由于虚数ω＝－１２＋３２ｉ＝ｃｏｓ１２０°＋ｉｓｉｎ１２０°所代表的点在单位圆中的特殊位置使许多与正三角形有关的习题均可借助于ω来解决．１三个复数０，ω，－１和０，ω，－１所表示的三点成正三角形...     

复数相乘≠对应的向量相乘

高考题(2010年浙江理5)对任意复数z=x+yi(x,y∈ R),i为虚数单位,则下列结论正确的是A.｜z-z｜ =2yB.z2=x2+y2C.｜z-z｜≥2xD.｜z｜≤｜x｜+｜y｜笔者在教学中,发现有不少学生是这样解答的:B.设点O是坐标原点,在复平面上点Z的坐标是(x,y),则复数z对应的平面向量是(→OZ)(以下说“复数z与平面向量(→OZ)一一对应”时,对应法则就是这样的).所以z2＝(→OZ)2＝｜(→OZ)｜2＝(√(x2+y2))2＝x2 +y2.而正确答案是D(读者也容易理解该答案正确无疑).那么,以上解法错在哪里呢?     

重联系 多交流 精点拨——探索数学复习课有效性的若干策略

常常会听到老师感叹“复习课难上”,抱怨学生“不认真听讲”,而学生则埋怨“复习课无聊”、“除了练习,还是练习”.这样的复习教学,主要有两种表现形式.一种是不进行知识技能的整理,一上课就发试卷,学生做完后,老师逐题讲解.循环往复,以题海代替复习;一种是对知识点简单重现后,将事先归纳好的题型一讲到底,试图以老师的讲来代替学生的学.     

聚焦热点，“玩转”中考

中考是初三学生人生中面临的第一次大考,中考数学中往往会出现很多综合题,如与平行四边形有关的综合题等.面对综合题时,聚焦和消化这些考点,是学生“玩转”中考数学题的前提.本文中以“平行四边形”这一章为例,说明如何掌握与之有关的中考热点.     

纯虚数的一个性质及应用

关于纯虚数有许多性质 ,在解题中的应用都很广泛 ,笔者在教学中发现一条性质 ,在解题中应用起来 ,同样给人以美不胜收之感 .命题　设ｚ为非零复数 ,若ｚ为纯虚数则对任意非零实数ａ ,有 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ|成立 .反之 ,若ａ是非零实数 ,且 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ| ,则ｚ为纯虚数 .证明　 [方法 1]由两复数差的模的几何意义可知 ,复数ｚ对应点的轨迹为复平面上复数ａ与 -ａ对应点连线的中垂线 .显然其中垂线为虚轴 .因而复数ｚ为纯虚数 ,反之亦然 .[方法 2 ]利用复数性质ｚｚ =|ｚ| 2 .已知可化为 |ｚ +ａ| 2 =|ｚ -ａ| 2 ,则(ｚ +ａ) (ｚ +ａ) =…     

课堂反馈

“反馈———控制”是控制论的基本原理 .所谓“反馈”就是系统的信息输出转化为系统的信息输入 ,而所谓“控制”则是通过不断反馈来实现目的的活动 .教学过程就是师生多边活动的“反馈———控制”过程 .据此 ,笔者谈一点认识与体会 .1　课堂教学中的两类信息反馈活动传统的数学教学的一般过程是 :教师根据学生现有的知识、能力水平和大纲的要求 ,制定出所应该达到的教学目标 ,然后对数学教材中的有关内容进行信息加工 ,通过剖析概念、推导公式、证明定理和讲解例题等方式把数学知识的信息传输给学生 ;学生则接受、转化和贮存来自教师的信…     

利用一题多解培养学生的创新意识

发散思维是培养和训练学生创新意识的较好方式之一 ,一题多解属发散思维的一种形式 ,在教学中 ,若能抓住一些典型题例 ,运用一题多解的教学方式 ,它将有益于学生创新意识的培养 .课例　已知复数 z1=3 i,| z2 | =2 ,z1z22 是虚部为正数的纯虚数 ,求复数 z2 .多数学生选用的是代数形式和三角形式 ,两种方法都是利用方程和不等式混合组求解 ,但解法均较复杂 .我首先启发他们 ,| z2 | =2 ,z1已知 ,z1z22为纯虚数 ,从模的角度入手呢 ?很快学生得出解法 3　∵　 | z1| =| z2 | =2 ,∴　 | z1z22 | =| z1| | z22 | =8,则　 z1z22 =8i,　 z22 =2 …