活用λ的几何意义解题

定理　如果 A、B两点的坐标是A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P在直线 AB上 ,APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,那么xp =x1 λx21 λ ,yp =λ1 λy21 λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时 ,注意“数形结合”,明确点 P在直线 AB上的位置与数λ的相互对应关系 (见下表 ) ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .P在直线 AB上的位置λ的变化情况P在有向线段 AB内 0 <λ < ∞P→ Aλ→ 0 P→ Bλ→ ∞P为线段 AB中点λ =1P在有向线段 AB的延长线上 -∞ <λ <- 1P无限远离 B时λ→ - 1-P→ Bλ→ -∞P在有向…     

立足基本知识 培养学生能力——谈定比分点公式的应用

定比分点公式是解析几何中最基本的概念之一 ,如果我们在进行解几多点共线问题、复数的、不等式的教学时 ,能适时地引导学生灵活地应用或恰当引入定比 ,运用定比分点公式进行坐标变换或推广一些已学过的知识 ,则可以大大地激发学生的学习积极性和主动性 .定比分点公式　若已知两端点为 P1 (x1 ,y1 )、P2 (x2 ,y2 ) .点 P分有向线段 P1 P2 所成的定比为λ,则分点 P的坐标为　 x=x1 λ. x21 λ ,y =y1 λ. y21 λ(或　λ=x - x1 x2 - x=y - y1 y2 - y;　λ≠ - 1 ) .图 1如图 1 :随着点在直线上的不同分布 ,定比λ的值分布也在变化 .可…     

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1定理及其推论定理(定比分点公式的向量形式)设点P分P1P2的比为λ(即P1P=λPP2,λ≠-1),Q为平面上     

向量的定比分点公式的应用

平面向量是新教材的一个亮点,它应用广泛.向量的定比分点公式结构美观,用它来解决国内外一些数学竞赛题,别有一番风味.本文列举数例,以飨读者.向量的定比分点公式:设O是平面上任意一点,P1→P=λPP→2,则→OP=OP→1+λ.OP→21+λ.推论设O是平面上任意一点,P1→P=t PP→,则→OP=(1-t)OP→+t OP→.     

定比分点公式的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB所成的比　 APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时 ,λ >0 ;当 P为外分点时 ,λ <0 (λ≠ -1 ) ;当 P与 A重合时 ,λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .如果我们能适时地引导学生运用定比分点公式 ,不仅可以解决解析几何自身的若干问题 ,比如求点的坐标、证明三点共线、求参数范围、求轨迹方程等等 ,而且更重要的是拓宽或推广其它已学过的数学问题 .对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益…     

定参题的多种解法

题目已知点A(2,1),B(-2,2)在直线L：2x-3y c=0的两侧,求实数c的取值范围．我通过研究,找到了下面四种求解方法：方法一、利用定比分点公式解法一设直线AB与直线L交于P点,因为点A、B在直线L的两侧,所以点P(u,v)应是线段(?)的内分点,即点P分线段AB所成的比λ＞0．由定比分点公式知：u=2-2λ/1 λ,v=     

定比分点公式的向量形式及其应用

向量代数中 ,关于线段的定比分点公式有两种形式 :一种是坐标形式 ,一种是向量式 ,由于受传统习惯思维的影响 ,我们在解决有关问题时 ,往往倾向于用坐标形式的公式 ,但其实向量式在应用时更具有整体、便捷的优越性 .下面推导定比分点向量公式 :图 1　定比分点示意图如图 1 ,在平面内任取一点O ,设OA→ =a ,OB→ =b ,OC→ =c,C分别AB→ 所成的比为m ,即AC→ =mCB→ .∵AC→ =OC→ -a ,　CB→ =b -OC→ .∴ (OC→ -a) =m(b -OC→ ) .OC→ =a +mb1 +m =11 +ma + m1 +mb ( 1 )公式 ( 1 )就是线段的定比分点公式的向量形式 .1　对公…     

定比分点向量公式、向量基本定理的理解

<正>一、定比分点向量公式如图1,设P₁（x1.y1）、P₂（x2,y2）为直线l上的两点,点P是l上不同于P₁、P₂的任一点,则存在一个实数λ,使■=λ■,λ叫做点P分有向线段■所成的比,则■=     

定比分点的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB—— 所成的比 APPB=λ(λ≠ 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时λ>0 ;当 P为外分点时λ<0 (λ≠ - 1 ) ;当 P与A重合时λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .它在解析几何中的广泛应用是大家熟知的 ,如果我们注意充分挖掘定比分点的内涵 ,还不难发现它在其它一些非解几问题中的应用 .1　 用于比较数的大小例 1　已知 a >0 ,b >0 ,0 相似文献   

定比分点公式的推广

定理1 设P为线段AB上一点,AP/PB=λ,AA_1∥BB_1∥PP_1为一组平行线,截直线l于A_1、B_1、P_1,设AA_1=a,BB_1=b,PP_1=x,则 1)当A_1、B_1在直线AB同侧(或有一点在AB上)时, x=(a λb)/(1 λ) 2)当A_1与B_1在直线AB异侧时, 证明如图连A_1B,交PP_1(或其延长线)于Q,应用相似三角形可算出PQ,QP_1,应用PP_1=PQ±QP_1,注意AP=λ·PB,AB=(1 λ)PB,即得。定理有很多应用,如解析几何中定比分点     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

λ=PM／MQ=XM-XP／XQ-XM=YM-YP／YQ-YM的应用拾零

在定比分点公式的证明过程中 ,出现了如下一个重要的表达式 :λ =PMMQ=xM-xPxQ-xM=yM - yPyQ- yM　 ( )点P在有向线段PQ的内部 λ >0 ;点P在有向线段PQ的外部 λ <0 .在定比分点公式xM =xP+λxQ1+λ ,yM =yP+λyQ1+λ推导出来后 ,( )式就被忽视了 .其实 ,若能灵活地运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 (2 0 0 3年北京西城区高考模拟题 )已知点P(4 ,- 9) ,Q(- 2 ,3) ,则 y轴与直线PQ的交点分有向线段PQ所成的比为 (　　 )(A) 1.　　　　　 (B) 2 .(C) 3.　　　　　 (D) 4 .解　设PQ与y轴的交点为M (0 ,b) ,由题设及( ) ,知λ =…     

用定比分点解题的常见类型

在定比分点定义中 ,P1 ,P ,P2 是数轴上三点 ,其坐标分别为x1 ,x ,x2 则P分P1 P2 之比λ =P1 PPP2 =x -x1 x2 -x,当P内分P1 P2 时 ,λ>0 ;当P外分P1 P2 时 ,λ<0且λ≠- 1 ;当P与P1 P2 的左端点P1 重合时 ,λ =0时 ;当P与P1 P2 的右端点P2重合时 ,λ→∞ ,或者说λ不存在 .对于以上几种情况 ,反之也成立 .我们正是利用理论中的可逆性来合理的求解某些数学问题 .下面举几例予以说明 .1　比较数或式值的大小例 1　已知a>0 ,b>0 ,0 相似文献   

一道中考题的解法分析

<正>试题呈现如图1,点B在线段AC上,点D、E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.(1)求证:AC=AD+CE;(2)若AD=3,CE=5,P为线段AB上的动点,连结DP,作PQ⊥DP交直线BE于点Q;1当点P与A,B两点不重合时,求DP∶PQ的值;2当点P从A点运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.     

利用梯形构图证明代数不等式

在初中几何课本第一册中,有复习题: 在梯形ABCD中,平行于底的直线与腰AB、DC分别相交于P、Q,若AP:PB=m:n,则有PQ=mBC+nAD/m+n连接对角线AC,不难证明这个命题,证明(略)设AD=a,BC=b,m/n=λ,可得PQ=a+λb/1+λ (1)     

用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

空间四边形的一个性质及其应用

性质　如图 ,空间四边形ABCD中 ,点E分AB ,及点F分DC所成的比均为λ ,则EF =11 +λAD + λ1 +λBC .图 1证明　如图 ,过C点作CH∥AD且CH =AD ,连结AH ,则四边形ADCH为平行四边形 .设CB和CH确定的平面为α ,过F作AD的平行线交AH于G ,连结EG .因为E ,F分AB ,DC所成比为λ所以AGGH=DFFC=λ =AEEB,因为EF =EG +GF ,EG =λ1 +λBH ,所以EF =λ1 +λBH + λ1 +λHC + 11 +λAD=λ1 +λBC + 11 +λAD .又因为E ,G ,F分别为中点 ,所以EG =12 BH ,GF =AC =HC ,所以EF =12 BH +AD =12 (BH +HC) +12 AD =1…     

新题征展(69)

A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a…     

培养学生思维能力的一道优秀几何竞赛题

题目(2008年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)已知:如图1,在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,D是BC上一点,BD=2CD,求证:AD2=(AC+BD)(AC-CD).图1此题是培养学生观察、实验、分析、比较、论证的思维能力,培养学生的分析图形,抓住图形的本质,灵活运用定理公式等基础知识综合解决问题的能力的一道几何题,本文对这道题进行具体的分析,以期对数学教学有所启示.分析1观察图1和问题的结论,一看就知道它符合斯特瓦特(Stewart)定理的构图,由斯特瓦特定理(数学竞赛大纲中指定的定理,还有梅涅劳斯定理,塞瓦定理等)可得AD2.BC=AB2.CD+AC2.BD-BC.BD.DC.由BD=2CD,可化简为AD2=12AB2+23AC2-2CD2.①在公式①中,除AB2外,其余各线段都是与该题结论相关的线段,那么AB2与什么线段相关呢,这就是本题的隐含公式,如何找出这隐含公式,我们看结论AD2=(AC+BD)(AC-CD)=(AC+2CD)(AC-CD)=AC2+AC.CD-2CD2.②由①和②公式,可得AB2=AC2+AC.BC这就是本题中的隐含公式下面的所有证法都是围绕解决公式AB2=AC2+...