一道初中数学竞赛题的逻辑补充

2003年全国初中数学联赛第二试(A)卷第三题(或C卷第一题)是: 例1 已知实数a,b,c,d互不相等,且a 1/b=b 1/c=c 1/d=d 1/a=x试求x的值.     

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

一、赛题的"根"2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题(以下简称"赛题"):设实数a,b,c满足a+b+c=1,abc>0,求证:bc+ca+ab<1/4+(abc)(1/2)/2.(1)看赛题,笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题:(2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题,以下简称"试题")设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:bc+     

妙用向量解两联赛题

<正>2013年数学联赛早已落下了帷幕.在经久不息的议论声中,我们有悟有得.笔者发现构造向量可快速求解其中的两道联赛题.如下:例1(2013年联赛B卷一试第10题)假设a、b、c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.分析联想到向量的数量积与向量的模     

一道新题的简解与推广

文[1]第3题(4):已知正数a,b,c满足a+b+c=1.求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1/c(1+a)的最小值是27/4. 求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1c(1+a的最小值是27/4.鉴于文[1]所给答案较为繁琐,笔者在此给出此题一种简洁证法,并将该结论做更一般性的推广.     

一道预赛试题的另证

本文给出2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题的一个另证.题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ac≤1/4(1+9abc).     

两道相关的竞赛题

<正>赛题1 (第20届伊朗奥林匹克竞赛试题)已知正数a,b,c满足a~2+b~2+c~2+abc=4,求证:a+b+c≤3.赛题2 (2011年全国高中数学联赛B卷加试题三)设实数a,b,c≥1,且满足abc+2a~2+2b~2+2c~2+ca-cb-4a+4b-c=28,求a+b+c的最大值.这是两道相关的竞赛题.下面给出它们的简洁解法并做了条件与结论的优化.1相关证明     

一道预赛解答题的另证

本文给出2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题的一个另证. 题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:     

从一道赛题看分式不等式的新证

2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛第9题:设a、b、c∈R 且abc=1,求证:1/1 2a 1/1 2b 1/1 2c≥1．分析为了证明结论中的不等式,可以先由已知条件,运用均值不等式证明以下的3个不等式:1/1 2a     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

也解一道竞赛题

2008年全国高中数学联赛吉林省预赛最后一题：正数a．b,c满足2a＋4b＋7c≤2abc,求a＋b＋c的最小值． 正如文[1]所言,此题的难度非常大．笔者也有同感．所谓“难度非常大”可以理解为这个不等式证明的“技巧性相当的大、灵感要求也相当的高”．这就是不等式的特点,特别是数学竞赛的不等式试题．     

一道联赛题的探索

(2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题) 已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值.     

一题多解，多解同道——以2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题为例

<正>1 预赛试题2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题如下：若△ABC的三边a,b,c满足a²+b²+3c²=7,则△ABC面积的最大值为______.这是只有一个条件的求三角形面积的最值问题,属于中档题.注意到已知等式中a,b,c均带平方,且a与b是对称的,所以在选择面积的表示方法时,要充分考虑到这些因素,为下一步求最大值做好铺垫.2 解法探究设△ABC面积为S.解法1:因为当且仅当时,上式等号成立.     

2014年全国高中数学联赛加试第一题的证法探究

2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题：设实数a,b,c满足a＋b＋c=1,abc〉0．求证：ab＋bc＋ca〈√abc/2＋1/4.本文探究这道试题的几种解法,供读者参考。     

别证一个不等式

<正>贵刊2013年7月(下)课外练习题初三年级第3题是:设a、b、c为△ABC的三边长,S为面积,则a2+b2+c2≥43～1/2S(1)此题是安徽的王秉春老师提供的,其答案给出的证法很是巧妙,但学生不易想到.笔者再给出另一种学生较易想到的证法.证明设p=1/2(a+b+c),由秦九韶—海     

第1714题的正确解答

数学通报等1714题:[1] 已知a,b,c∈R 且a b c=1,求征: a/b c2 b/c a2 c/a b2≥9/4.     

对一道不等式习题的探究性学习

人教版教材高中数学第二册 (上 ) (必修 )第30页有这样一道习题 :已知a >b>c ,求证 :1a -b 1b -c 1c -a>0 .这样一道看似普通的不等式习题 ,却蕴涵着丰富的教学功能 .笔者在教学中从这道习题出发 ,引导学生开展了一次数学探究活动 .探究 1　 变题题 1　已知a>b >c,求证 1a -b     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

我解这道竞赛题

2008年全国高中数学联赛吉林省预赛最后一题为:正数a,b,c满足:2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值。此题的难度非常大,如何来求解呢?下面是笔者解此题时的一些思路,现整理出来供参考。注意到a,b,c是正数,利用均值不等     

一道2013年全国高中数学联赛试题的探究

2013年全国高中数学联赛B卷第10题：假设a,b,c〉0,且abc=1,求证：a^2＋b^2＋c^2≥a＋b＋c．     

一道高考题的求解历程

题目(江苏2012高考数学第14题)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则ba的取值范围是_______.对于此题摘录笔者送考的学生走出考场时的话:①不会写,看了一眼,果断放弃.②要解超越方程?③对14题因水平所限选择了放弃,有些遗憾.④14题不好做,隐含条件不好找,类似一道大题.⑤话说那个ln大家怎么处理.⑥这是非线性规化问