简单线性规划问题的向量解法

在高中数学新教材中 ,增选简单线性规划为必修内容 .在用图解法求简单线性规划问题的最优解时 ,教师教学用书中 ,通过比较平行线在 x轴或 y轴上的截距大小寻求目标函数的最优解 .本文提出用目标函数法向量的方法寻求目标函数的最优解 ,供同行参考 .先看例题 .例 1　设 z =2 x y,式中变量 x,y满足下列条件x - 4y≤ - 3,3x 5y≤ 2 5,x≥ 1 .求 z的最大值和最小值 .解　画出可行域如图 1中的阴影部分 .过原点 O( 0 ,0 )作直线 l0 :2 x y =0 ,正法向量为 n =( 2 ,1 ) .当直线 2 x y =t沿着正法向量平行移动时 ,t的值就逐渐增大 ,当直线…     

线性规划中目标函数的几种类型

线性规划初步是高中教材新增内容,这类问题的典型提法是:一个目标,若干条件;典型解法是代数几何并用,确定范围,伺机求解,下面笔者将结合一些例题,谈谈目标函数的几种类型及解法.1形如z=ax by型的目标函数例1已知点P(x,y)在不等式组x-2≤0,y-1≤0,x 2y-2≥0表示的平面区域上运动,则z=x-y取值范围是()(A)[-2,-1].(B)[-2,1].(C)[-1,2].(D)[1,2].图1例1图解先画出约束条件限定的可行域(如图1阴影部分),将z=x-y化为l:y=x-z的形式,将问题化归为求直线l在y轴上截距-z的范围,由图1观察知-z的范围[-2,1],则z的范围为[-1,2],选(C).评注在线性规划中…     

在直线与二次曲线围成的可行域上求目标函数最值

在线性规划中,可行域都是直线围成的平面区域,我们能求出目标函数的最值,当可行域由直线与二次曲线围成时,如何求目标函数的最值呢?现在就让我们一起来学习探讨.例1已知x,y满足(x-2)2 y2-1≤0,x-3y≤0,求x y3的最大值和最小值.分析x y3可看作动点M(x,y)与定点B(-3,0)所在直线的     

一道线性规划问题求解新视角

题目:若x,y满足x≥0,y≥0,2x y≤6,x 2y≤6,,求z=2x 3y的最大值·分析1变换角度,建立zoy坐标系,通过观察可行域中的横坐标z的取值范围,从而得到z的最值·解法1由z=2x 3y得x=(z-3y)/2,则(z-3y)/2≥0,y≥0,z-3y y≤6,(z-3y)/2 2y≤6,即z-3y≥0,y≥0,z-2y≤6,z y≤12,作出可行域如图1所示,由图知zm ax=10·点评线性规划问题的一般解法都是先作可行域,再平移目标函数,最后确定最优解,而上述处理,转换了视角,一步到位地将z融入在可行域中,以横坐标的定义来诠释z,使得再求z的最大值·分析2考虑其代数的结构,若用增元代换求解,可回避作图的繁琐,一…     

平凡中见真谛

题目1 （2009山东高考理科第12题）设x,y满足约束条件{3x-y-6≤0,x-y＋2≥0,若目标函数z=ax＋ x≥0,y≥0,     

用向量数量积解决线性规划应用题

<正>实际生产与生活中有许多线性规划应用问题,其一般求解步骤是:(1)根据题意,建立数学模型,作出不等式组所表示的可行域;(2)设所求目标函数f(x,y)的值为z;(3)将各顶点坐标代入目标函数,即可得到z的最大值与最小值,或求直线f(x,y)=z在y轴上截距的最大值(最小值),从而求得z的最大值与最小值;(4)检验最优解是否符合实际意义.     

构造“可行域” 例析范围题

"可行域"是指线性规划问题中目标函数z=f(x,y)的自变量x和y的取值区域.线性规划问题在近几年高考中备受青睐,题型从当初的简单、平常到如今的综合、创新,已经不断走向成熟.尤其值得关注的是一些难度较大的综合题,在方法上实现新突破,往往依赖于线性规划的相关知识的正迁移,通过构造"可行域",从而使问题的求解变得柳暗花明.笔者研究近年各省市的高考(模)试题,选择几道范围题赏析"利用可行域"的新解法,权作抛砖引玉.     

解析线性规划新题型

线性规划内容是新教材新增加的内容,是近几年来高考的热点问题,几乎每份高考试题都有相关的试题,经过几年的考察,其试题已从简单的求线性目标函数的最值,平面区域的面积,加深到求参数的值和范围、构造解析几何模型求非线性目标函数的最值,现在更是出现了与代数的向量、概率、三角函数、函数相结合的新题型,下面举例说明.例1设O为坐标原点,A(1,0),点P(x,y)满足x y≤10,x-y≤2,2x≥7,则|OP|cos∠POA的最大值为()(A)4.(B)27.(C)6.(D)3.图1例1图分析本题的目标函数与平面向量、三角函数有关,如果对向量的模及三角函数的定义掌握得好,则可转…     

求最大最小值的一些方法

求最值,有一些常规方法,例如用二次函数、不等式、三角函数来解决问题.但遇上某些问题时,利用这些方法不甚方便,我们就应寻找另外一些方法了. 1.利用条件区域求最值 这种方法就是据题目中所给定的变量范围,在直角坐标系中画出条件区域,进而采用线性规划的方法求出所给表达式的最值.(含数形结合的思想) 例1 设x、y、z满足条件x y十z=1,0≤x≤1,0≤y≤2,3y z≥2,求f(x、y、z)=     

几个线性规划问题的简捷解法

巧变换,在坐标系xoz中解决问题,就能大大简化解题过程.例1(2006年天津)若x,y满足y≤x,x y≥2,y≥3x-6,求z=2x y的最小值.解由z=2x y得y=z-2x,则z-2x≤x,x z-2x≥2,z-2x≥3x-6,即z≤3x,z≥x 2,z≥5x-6.作出可行域如图1,图1例1图由图1知zmin=3.例2(2006山东)某公司招男职工x名,女     

线性规划中求整数最优解的五种方法

“线性规划”是新教材的新增内容 .在求最优解时 ,通过平移直线的方法得出理论最优解 ,学生能理解和掌握 ;但是 ,如果要求出整数最优解 ,多数学生往往无法下手 ,屡屡出错 .针对这种情况 ,本文将就一个引例 ,介绍五种求整数最优解的方法 ,供大家参考 .为叙述方便 ,记理论最优解时目标函数对应的直线Ax +By +C =0为l0 .图 1　引例用图引例　已知x ,y满足4x +3y - 2 0≤ 0 ,x - 3y - 2≤ 0 ,x ,y∈N+ ,求s =7x +5 y的最大值 .分析 :首先我们将x ,y∈N+ 改成x ,y >0 ,画出可行域 (如图 1) ,通过画图发现直线 4x +3y - 2 0=0 ,x - 3y - 2 =0的…     

六招破解一道世锦赛数学试题

题目（2011年世界数学锦标赛青年组个人赛第二轮第1题）已知实数x,y,z满足x2＋2y2＋5z2＋2xy＋4yz-2x＋2y＋2z＋11=0,求x＋2y＋3z的取值范围.本题考查的是多元函数在约束条件下的最值或值域问题,这类问题是近年来高考和各类数学竞赛的热点、重点,也是难点.它所体现的数学思想是消元与代换,常用的解题方法有均值不等式法、向量法、换元法、构造法等.     

一道解析几何题的推广

有这样的一道解析几何题：已知直线l：y=kx＋b与抛物线y^2=4x相交于A、B两点,｜AB｜=5,且AB的中垂线在x轴上的截距为7/2,求直线l的方程.     

线性规划问题

<正>线性规划问题是解析几何的重点,在近几年高考中倍受青睐,并且题型有一定的变化,考查形式灵活多变,体现了"活、变、新"等特点,现就近几年线性规划常考问题进行分类解析.一、已知线性约束条件,探求线性目标函数范围问题例1已知变量x、y满足约束条件1≤x     

变式教学要多让学生“变”

1现象呈现题已知函数f(x)=√x-lnx.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;(2)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.     

直线截距的巧妙应用

直线 l:y =kx b中的 b称为 l在 y轴上的截距 ,它在中学数学中有很多巧妙的应用 ,特介绍如下 .1　用于不等式中1.1　解不等式例 1　解不等式 3 2 x - x2 ≥ a- x.解　令 y1 =3 2 x - x2 ,如图 1,其图象为圆的上半部份 ,即 (x - 1) 2 y2 =4(y≥ 0 ) ;而 y2 =a - x为斜率等于 -     

一道中考数学题的图形性质

1 原题(黄冈市2011年初中毕业生学业水平考试第24题)如图1,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=1-4x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)(其中x1＜0,x2＞0).     

构造“可行域”例析范围题

“可行域”是指线性规划问题中目标函数z=f（x,y）的自变量x和y的取值区域．线性规划问题在近几年高考中备受青睐,题型从当初的简单、平常到如今的综合、创新,已经不断走向成熟．尤其值得关注的是一些难度较大的综合题,在方法上实现新突破,往往依赖于线性规划的相关知识的正迁移,通过构造“可行域”,     

一道高考题的推广

本文将对2007年高考试题北京卷第20题第3问的结论进行研究和推广.2007年北京文科卷第20题:已知函数y=kx与y=x2 2(x≥0)的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2),l1,l2分别是y=x2 2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l1,l2与x轴的交点.1)求k的取值范围;2)设t为点M的横坐标,当x1相似文献   

一个最值问题的探究

最值问题涉及到函数、不等式、三角、解析几何、立体几何等内容,特别是导数知识的介入,求最值成为近几年高考的热点.我在高考复习中讲一个最值问题时却引起了意外的探究.1问题求曲线C:x12 y12=1上的点到原点的距离的最小值.解法1由重要不等式x12 y122≤x y2,得x y≥12.而x y2≤