代数问题几何化的几条途径

数”和“形”是不可分割的统一体。数形沟通,相互印证。不仅是数学研究的重要手段,也是数学解题的重要技巧。解析几何开创了用“数”研究“形”的先例,使灵活多变的几何问题转化为有程序的代数问题,解题有路可循,易于解决;反之,以“形”研究“数”,代数问题转化为几何问题,会使得问题直观形象,解法灵活、简洁,本文从几方面谈谈如何实现这一转化。 (一)利用概念的几何意义: 数学中许多代数概念都有较强的几何意义,充分应用它的几何意义剖析代数问题,可使许多繁杂的代     

和谐统一的数学思想——数形结合

数形结合的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象有机地结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化、几何问题代数化；它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．数形结合的应用主要有两种情形：     

几何图形在代数解题中的应用

代数研究的对象主要是“数”，几何研究的对象主要是“形”．然而两者却有着非常密切的关系．有时，一个代数问题它甚至可能是由一个几何问题演变而来的，如果我们能通过想象，把抽象的代数问题模拟成具体的、直观的几何问题，那么我们便可以根据图形的性质来解决它．本文即是从几个侧面谈谈几何图形在解代数题中的应用．     

以“形”解“数”

“数”与“形”是数学殿堂里密不可分的两大柱石,“数缺形时少直观、形少数时难入微”.“数”与“形”的互相转化是中学数学学习与研究运用广泛、意义深刻的一种思维方法.若某些代数问题有明显的几何意义,则转化为几何图形,适当地运用几何方法,以”形”研究“数”,会使问题直观形象,解法简捷灵活.现结合实例说明:     

创设“数形结合”情景 发展学生思维能力

“数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维方法。教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情景,不仅可以沟通数与形的内在联系,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来,而且有利于开拓学生解题思路,发展形象思维能力。“数形结合”的方法一般来说可分为以下三种:①将几何论证转化为代数运算的“解析法”;②利用数(式)来研究形的“以数(式)论形法”;③利用形来研究数(式)的“以形促数(式)法”。下面举例分别加以说明。     

几何问题三角证法例谈

这里的三角证法是指运用三角知识(和部分代数知识)转化、进而解决几何问题的方法,它是一种典型的以形寻数、数形结合的方法。用三角法解几何问题的基本思路是,利用三角函数的有关知识,将有关几何元素的关系式转化为三角函数关系式,即,将几何问题三角化,借助于三角变形和一些代数变形最终解决给定问题。     

回归几何特征——对几何问题代数化的反思

随着坐标法的引入，很多几何问题通常可以转化为代数问题进行运算、求解，导致很多学生习惯于将几何问题代数化．对于“用代数的方法分析图形”比较注重，反之，对几何问题中反映的几何特征的认识不足，缺乏“用图形研究数和式”的习惯．利用代数方法可以解决几何问题，但往往需要大量的代数运算，有时利用几何问题的几何特征解题更直观、快捷．本文通过两个实例，阐述如何回归几何特征，真正做到数形结合。     

和谐统一的数学思想——数形结合

数形结合的思想方法,其实质是将抽象的数学语言与直观的图象有机地结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化、几何问题代数化;它包含以形助数和以数辅     

平面向量与其他知识的综合应用问题

<正>平面向量是既有大小又有方向的量，同时具有“数”与“形”的双重特点，是数形结合自然一体的“桥梁”,可以有效“串联”起平面向量与其他知识，实现不同数学知识点之间的交汇与融合.平面向量既可以将几何问题代数化，借助坐标、符号、数量等将推理转化为数学运算来处理，也可以将代数问题几何化，借助几何意义、图形等将运算转化为直观模型来解决.1 平面向量的实际应用问题平面向量这一“数”“形”兼备工具在实际问题中的应用，     

一道向量题的多证及推广

平面向量是高中数学教科书(试验·修订本)中新增的一章教材.向量作为联系代数与几何的纽带,它既有几何特征,又有代数性质.以向量为工具我们可以把几何图形的特征转化为向量的运算,从而实现形与数     

点到直线的距离公式在代数中的应用

有些代数问题,可以通过构造或转化为点到直线的距离及两点间的距离,即将“数”转化为“形”,从而利用图形的几何特征加以解决．下面介绍几例,供同学们参考．     

关于《曲线和方程》的说课

“曲线和方程”这节教材,揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一。为“依形判数”与“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础,这正体现了解析几何的基本思想,对解析几何教学有着深远的影响．     

利用对称巧建系 简化运算显神奇

数学是研究空间形式和数量关系的科学,即研究数和形的科学,而坐标系是联系数和形的桥梁．通过建立坐标系,可以把几何问题转化为代数问题,通过代数问题的求解得到几何问题的解．在实际教学中,怎样建立坐标系一直都是困扰师生的难题．我认为,利用对称性建立恰当的坐标系,     

数形结合：从感性认识到理性表达

<正>数和形作为数学的两个基本研究对象,是现实世界的数量与空间形式的反映,数和形之间的联系称之为数形结合．在中学数学中,利用数形结合的思想方法可以将代数与几何问题相互转化,也就是说,几何概念可以用代数语言表示,几何目标可以通过代数方法来表达．反过来,几何又给代数概念以几何解释,赋予那些抽象概念以直观的形象．而直观想象正是六大数学学科核心素养之一．     

例谈"数形结合"应用的四个误区

当我们将一个数学问题转化为一特定的图形之后，便可创造性地分析问题的解法，代数演算的确切性可以帮助我们定量地来探讨几何图形的位置及关系；当我们将一个几何问题代数化以后，便可抽象性地探索解决问题的途径．然而，在数形转换的过程中，必须遵循“数与形对应，形与数相通”的原则，如果违反了这一原则，常常会步人数形结合的误区．本文结合具体题目，从以下四个方面作以阐述．     

126几何启蒙课

1　课题的提出T:“几何是什么 ?”,这个问题是每位同学都关心而且非常想知道的 ,也是这节课我们将以形象、通俗、简明的语言告知同学们的(开场白 ) .俗话说 :“代数代数 ,就是 (或说起源于 )用字母代替数”.那么 ,几何呢 ?也有人说 :“几何几何 ,是图形的王国”.即算术、代数是研究数 ,几何是研究形 ,所以我们说几何学是一门以图形为其研究对象的学科 .T:说起图形 ,同学们应该说并不陌生 ,大家在小学或日常生活中已碰到过许多了 (让学生参与活动 ,畅所欲言 )T:同学们说的可分为两大类 :平面图形与立体图形 ,初中数学教科书中有八章几何内…     

与平面向量分解定理系数相关的问题——从课本的一道例题谈起

向量知识在中学数学中有着非常重要的地位和价值,与三角函数、平面几何、空间几何、代数等都有密切联系.向量集数与形于一身,其本身就是数形结合的体现,既是代数研究对象,又是几何研究对象,既可以进行运算,又可以用图形表示,是数形结合思想方法的体现.向量具有强大的工具性作用,向量方法既是数学思想方法的体现,又是解决问题的一种方法途径,并且这种方法具有普遍性、广泛性、有效性,在解决数学问题中发挥重要作用.其中,平面向量分解定理是中学向量内容中的一个重点,它既是平面向量“形”的体现,又是平面向量坐标(“数”)的基础,是向量“形”与“数”互相转化的关键.在这部分内容的教学中,笔者注意到教材(高二第一学期)第67页8.3节的例3(如文末图1所示).     

用“三色眼光”看复数

复数将代数、三角、几何融为一体 ,富有灵气 .它的“数”(代数形式 )、“形”(几何形式 )、“角”(三角形式 ) ,使解题者可以从不同的侧面去研究它 ,找到既相互联系 ,又相互独立的解法 ,使思维呈现出独创美和简洁美 .下面就让我们带着“数”、“形”、“角”这“三色眼光”去看看复数吧 !1　关于辐角例 1　求ｚ =1 -ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ(3π <θ <4π)的辐角主值 .着眼于“数” :设ｚ =ａ +ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,则ａｒｇｚ可由ｔｇθ =ｂａ 及 (ａ ,ｂ)所在象限来确定 .所以ｔｇ(ａｒｇｚ) =- ｓｉｎθ1 -ｃｏｓθ=-ｃｔｇ θ2 =ｔｇ θ2 - …     

浅谈数学能力型问题的解题方法

1.数形结合法这类方法主要作用于函数类及几何类题目.它包括数向形的转化、形向数的转化两方面.在面对一个函数时,我们可以作一个不必精确但需反映出某些性质的草图,借助直观图形来更好地把握一些代数关系,使抽象的代数直观化.这一方法对研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等),对解、证不等式,对讨论方程根的个数等都极有作用.而对于解析几何中的某些相交、相切问题,有时光靠图形已不能客观的反映事实,这时借助代数进行运算,会得到意料不到的效果.例1f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示,令g(x)=af(x)+b.则下列关于函数的…     

数形结合思想热点应用举例

所谓数形结合思想,简而言之就是代数问题几何化、几何问题代数化,充分利用图形的直观性和代数推理的合理性、严密性研究问题.数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合是历届高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要方面,其方法的关键是根据题设条件和探求目标,联想或构造出一个恰当的图形,利用图形探求解题途径.对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答题要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图像、方程表示的曲线、集合中的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何中的力程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.下面举例说明数形结合思想的热点应用.