运用线性约束条件解题两例

r|112、|.、r||zlwe|、由得例’已知’数二，一{ y簇x，x Zy毛4，则y)一2，s一扩 犷 Zx一Zy 2的最小值是( 9 tZ气)二二勺(B)2(C)3 ). (D)涯f(0)~Zb>0，f(l)=a Zb 1<0，f(2)一Za Zb 4>0，b)0，a Zb十1<0，a b 2>0.解画出满足不等式的可行域如图1所示. S一xZ 少， Zx一Zy 2~(x 1)’ (少一1)2的.y巍广”满热戮握袅‘4凛蘸瓢】瓢黔画出满足上述不等式组的平面区域如图2所示.解方程组图1 { a Zb l=0，a十b十2一O，几何意义是表示点A(一1，1)与可行域内的点的距离的平方，丫百的最小值为点A到直线y~x的距离福，从而S的最小值为2，故选(B…     

第二十九届IMO试题与解答

1.在同一平面上,有两个团心为O的同心圆,半径分别为r与R(,(R),尸是小圆上一个固定点,B是大国上个动点,B尸交大圆于另一点C,过尸作刀C的垂线交小圆于点A, (1)求S“月B“+BC“+CA忍所取值的集合: (幻求月B中点轨迹,(若尸月勺小目相切,则月二P). 解(1)如图1.廷长尸月交大圆分别于M、N,设材尸,“,B尸=二,尸N=口,尸C=y.,.i MN土BC,:.““+沪+二,+夕2二(ZR),.(l)设A尸=。,在Rt△刁尸C与Rt△月尸B中应用勾股定理得:月C:二m忿+少2,月B名=m“+x气一S=2川么+、“+y:+(二+y)“=2(。一v)“+2(x忍+y忍)+2二夕二:(。1+t,,+二“+夕2)一4。。+…     

2005年高考数学湖南卷

选择题: 2.函数f(x)一了l一2x的定义域是() 复数z~i+i“+i“+14的值是( A.一1 B.O C.ID (一、, (一。, B.[o,+二) D.(一二,+。) ﹁1.、产 0门︸ AC 3.已知数列{109:(an一1)}(n eN’)为等差数 ___,一,,.,1 .1 且az=3,aZ~匕,贝组l一m气—十— ~叻口2一口1口3一口2 △ABC的面积,助- S△PBc S△ABc S△Pe^ S△ABc l 十’..一十—)=气少 口”十l一a刀 3 匕。气二向 乙 S△P^B S△ABe ,定义f(尸)一(川,几,几3),若G A.2 C.1 是△ABC的重心,f(Q)一 () A.点Q在△GAB内 B.点Q在△GBC内 C.点Q在△GAC内 D.点Q与点G重合 1 1 11\…     

等积换算在立体几何中的应用

等积换算在立体几何中有着广泛的应用. 一、在求点面距离中的应用 的距离. 解(l)’:A，B:// AB， 【例1】如图1，棱 长为4的正方体Ac， 中，尸、Q分别为CD. DD:之中点，求点尸到 平面A，‘汉了1的距离. 解易求S△c，阳~ 6，由A，C:一4涯，A:Q~ C:Q=2褥.， 得S△‘犷，一4振 v，一^一了，~v，一盯 ’、代‘勺 幽__2滋_ ，‘r A:马//平面 AB马，AIB:与平面AB曰 的距离h为所求.连结 A:B(见图3)，易求S△。， _西。2 Z 图1 叭，一脚 涯 ，凡A:朋= =瑞，一，1朋 荟.由 ‘ ，得h- 丫 丫为阅 图3 万a. 李h d h- 【例2】 ·S△^le，。…     

2003年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考答案

试题 一、填空题(满分40分) 1.二,y是正整数,且满足二y+二十y一71、厂y+二犷一880.则了+犷一 三、(满分15分)如图2,动点尸在以AB一‘为弦,含弓形角为誓的弓形弧(含端点)上. 2.如图l,两圆交于A、召两点,S为两圆外一点,直线SA交第一圆于C,交第二圆于D;直线SB交第一圆于E,交第设A尸一二,B尸一y,试确定k一3x十Zy的最大值和最小值. 四、(满分15分)已知半径分别为R,r的两个圆外切于点尸,点尸到这两圆的一条外公切线的距离等于d.求证图1 1」12竺二二十—-一~二 找rd二圆于F.CE一a,DF一b,四边形ABEC的面积与四边形ABFD的面积相等,则AB- …     

两证点到直线距离公式

点到直线距离公式在教材上、资料上有很多种证法,本篇将结合高二学生的实际,根据学生已掌握的知识,介绍两种新证法.图1已知直线l的方程:Ax B y C=0(A、B不全为0),P(x0,y0)为平面上任一点,求点P到直线l的距离.证法1(向量方法)如图1,设P1(x1,y1)为直线l上一点,G为过点P(x0,y0)作直线l的垂线的垂足,直线l的法向量为n=(A,B),其单位向量n1=1A2 B2(A,B),P P1=(x1-x0,y1-y0)由向量数量积的几何意义得:d=PG=P P1·n1=1A2 B2 A(x1-x0) B(y1-y0)=1A2 B2 Ax1 B y1-Ax0-B y0=Ax0 B y0 C A2 B2(∵Ax1 B y1=-C)证法2(最值方法)由平面几何…     

(一)究竟选哪?

厄目:已知方程8了+6赶十Zk十l*0的两根是护直角三角形两锐角的正弦值,则k的值是().*2或一孚(c,一韶‘群严;(B)一吝<*<价 乙(D)不存在. 解一:设直角三角形两锐角为A、丑则由韦达定理有: _3kISln月十Sln石=一-1一}1…。Zk+1,sln汽’sln万=月一百一①②又sinB=eosA1十Zk十l 4解之得石解二:’.’=2,毛(一剖2一等.故。).sinA>0,sinB)0解之得一粤<*<0.故选(B). ‘解三:据sirLA>0,sinB>O,△)0得 3乏、。 一.月尸ZU}’12介+l、n1一’”_.136护一32(2花+1)多0@尸~二1.IJ一解乙得一百又从8一2试石 g-故选(C).不同的解法竟得不同的结果,何去…     

"张角定理"及其推广的应用

1张角定理如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180,°那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是sin(α β)PC=sinαPB sinβPA.证明必要性:若A、B、C三点共线,则图1S△PAB=S△PAC S△PCB,因此12PA·PBsin(α β)=12PA·PCsinα 12PC·PBsinβ.两边同除以12PA·PB·PC,即得所欲证的等式.充分性:若命题中等式成立,则反推可得S△PAB=S△PAC S△PCB,这说明S△ABC=|S△PAB-S△PAC-S△PCB|=0,所以A、B、C三点共线.本文将张角定理拓展到空间,则有如图2,四面体ABCD中,图2P为棱…     

上期课外练习解答

将原问题转化为比较ZR(SinA十SinB 、inC)与3R的大小关系,即比较a b 。与3R的大小关系.在锐角△ABC中,设△ABC的外接圆圆心为0.有a b>0今十OB一ZR, b十c>OB OC一ZR, a c>〔从 OC一ZR. 2(a十b 。)>6R,即a b斗。>3R.由正弦定理得ZR(5 inA sinB sinC)>3R. ~_3 ”’nA S‘nB S‘nC>言·作△ABC,使AB二BC一17,AD土BC于D,AC一:1 3.令匕ABC一a, 匕c一尽B二一“DC显然有1 7eosa 13eos月=17,1 3Sina~13sin尽由此知号 、-二2作Rt△ABC,使八〔’一4,BC一3,A召一5.取△A召C内一点尸,使乙A尸C-1 200,匕APB=1500,匕CPB=90…     

高二数学竞赛训练题(三)

一、选择题:1.已知O<口相似文献   

单位根为结点的Hermite插值

发散性.令A奋(D)表示解析于D={}习<1}而其k阶导数连续于D上的函数的全体.对于结点系 2奋.2.=仑. i.=。,”〔N,考虑Hermite插值算子H:。十l:A,(刀)~兀:。十:、2一(了,2卜客}1一黯(一)11(:)f(z。) 名(z一:,)l乳(:)f‘(z,).定义】}f}!.:=MaxZsup If“’(z)!飞; 0‘1‘今几.e万J}{H:。 ;!1,=sup;吸}}H2.十lfll 引理1 .1汇,,令二;,…,z二是C中不同的点.定义功.(z,如=(二一口(”,一雪介)(1(k毛N)且置尸,,二(:)=n势,(“,2.,).功.(二,,z,),。,(:)=f工上绝牛、‘’, \1 I之,}/这里。,〔N将于后面具体确定.又设尸“幻=。,(幻R,,二(幻,那么,对…     

三角形面积为零

二5,CP二15. 设乙川下二a,乙召尸F~声,在△月尸习、△B咫、△c尸月 B 、、PZ卜评甘工FC八It’、.‘|、币一中由面积公式得合6·。·,·(· ,)一合6·ssin· 合5·。·i·声合9·155,n声。s,n(。 ,) 令6·15:ina ‘6sina·3sin, 令3·6、in(。 ,) ‘ 观察知,上面是关于sina,sin声,sin(a 口)的齐线性方程组,易得方程组的解是sina~sin尹~sin(a 夕)=0. 故习△,ec=习△,。 S△aPc 泞△。,‘”0· 三角形的面积为零,这可能吗?嗯宁心毕崛、梦崛、曰3一5 题尸是△月议少内一点,引线段几凡〕j矛W和‘尸尸,使D在那上,E在cA上,F在AB上,已知护=6…     

从圆幂定理到圆锥曲线幂定理

设圆的方程为G(二,y),x“十y“一左2=0,尸(二。,夕。)为平面」详毛意一点,我们称 乙(·。,夕。)一:;*一夕}一RZ为点尸(x。,少。)对于圆口(x,y)=0的幂. 当点尸(x。,y。)在圆G的外部时、幕G(x。,y。)‘x0“ 夕。“一R“的几何意义是:从点尸(x。,y。)向圆‘(x.夕)=xZ十y“一R“=0所引切线尸T长的平方,即G(x。,y。)=O尸2一RZ=尸TZ(图下左). 将上述切线尸7’改为害吐线尸T;7’:(图_上丫:),山切割线定理可知,幂G(二。,.v。)的几何意义是有向线段尸T,,尸了2的乘积,即抓G(x。,y。)=尸T,·尸TZ(I) 当点尸(x。,y。)在圆〔汉x.y)~o的上面或在…     

1992年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试 全:‘从而‘一三啥-簇东(l) 一、通择理(本题满分30分,每小题5分) 1.对于每个自然数二,抛物线,=(砂+二)x2一(2:+1):+1与二轴文于A.、B.两点,以}儿B.l表示该两点的距离,则}月、B,}+}滩2刀:!+…+}月1.92刀,。。:}的值是 特别地,当四面体为正四面体时.(1)中的等号成立,从而否定(B). 考察侧面与底面所成的二面角的平面角均等于刁5o的任一个正三棱锥,以S。表示该正三棱锥的底面愁八j一Q山99一99 、,产 D 了吸、‘A,器(B)器(e)器答(B)(甘肃供题)解,.’r=(。一z)[(二+1)x一l].当,=。时,求得::一上,:2一了共. 兀殆~尸1.’.队氏l~止一招…     

一道数学竞赛题的探索

第四次江苏省初中数学竞赛试题中第五oA=oB一oc=丫乒若点P与O重合,则PA=PB二户C=斌了 3 l’t’)若点P与O不重合,则点尸必在三个等腰三角形:△OAB、△0刀C,△OCA中的一个三角形内或其腰上. 不妨设点尸在等图1,火人尸/题是: 如图l,P为边长为1的正△A刀C内一点,求证:沪 (1)尸通、PB、/pc中至少有一条,其/长度大于于多B~ (2)尸姓、PB、pc巾至少有一条,其长度不超过识一习3. 这是值得探究的一道好题,想能获得一些有趣的结论。 一、结论(l)的加强对它通过联腰△OAB内或其腰上(图2),连尸O,则匕POC多乙AOC(或乙BOC)二120。,,产D、之…     

四边形的一个性质

命题　如图 1,A1 、A2 、B1 、B2 、C1 、C2 、D1 、D2 是凸四边形 ABCD边上的点 ,且AA1 =BA2 =r AB,　 DC1 =CC2 =r CD,AD1 =DD2 =t AD,　 BB1 =CB2 =t BC,(0 相似文献   

一个递推关系及其推论

设以任意三复数。、尸、护为很的一元三次方程zs十产.+F+,=O,则由根与系数的关系知: ,=一(a+声+护),q=a声+抑+帅,,”一a夕护 由于a、夕、护分别为:,+尸+笋+r二0的三根,故 砂+尸+,+,=0._尸十护,+护十,=。, 尹十尸+qy+r二0 将以上三式分别乘以矿、夕、犷并相加得 矿+.+尸+.+犷+,二(a+夕+y)(矿+2+少+,+r+之)一(a尹+脚+”)(矿+’+夕十’+犷+’)+a夕袱矿十产十犷)(其中:=0.1,2,…) 定理a、声、下为三复数.则矿+,+产+,+r+.二(a+声+v)(a’+,+夕+,+尹+2)一(a尹+声护+”)(a.+’+夕+’+犷+’)+a夕,(‘+夕+扩)① 利用递推关系①及初始条件:a0十尸+v0=3…     

两个三角形垂心相同的充要条件

在非直角三角形ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足:AC1=λC1B,BA1=μA1C,CB1=t B1A,其中λ,μ,t均不为-1.图1如图1,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下面我们来讨论△ABC与△A1B1C1有相同垂心的充要条件.不妨设点H为△ABC的垂心,则有BH·AC=0,CH·AB=0.因此BH·AB=(BC CH)·AB=BC·AB.由于A1H=BH-BA1=BH-1 μμBC,B1C1=AC1-AB1=1 λλAB-11 tAC,所以A1H·B1C1=(BH-1 μμBC)·(1 λλAB-1 1tAC)=1 λλBH·AB-(1 λ)λ(μ1 μ)BC·AB-11 tBH·AC (1 μ)μ(1 t)BC·AC=1 λλBC…     

上期课外练习解答

1.议0一z十y,b一‘y十z,C—z z,r为三角形 内切圆半径. 由』“一’。 ≥jz y一’o lc—D一子 f(T十z)一(y十z)一8 j j一。 ly一1。 .. B z C r · 。。。虿。7’ ‘’dn i一了, ‘ r Z V .·. 。ot要。tan要一三.!一旦×÷一9. 一 。。。虿。‘。n虿一7‘了一了x T一9· 山 厶 , V 厂 l 另解 由4a一5(C--6) 辛4sinA=5(sin(F--sinB). 114i 4sin今c。。虿A一5.c0。__C B.Si“丁C--B 一.A .C——B 一拈m可‘。。n T,即4…虿A砘in(导一争.·.4sin(_Cz Bz=5s|n(等一争即 4(si“虿C c。s虿B c。s虿C sin导’ 一5(sin导·c。s虿B～c。s…     

雅各比级数所定义整函数的极大项

营1.引言用E。表示椭圆二=eosh(a ‘0)(o镇e<2二,a>o),令“(a)=哪x!e。!!p犷’.,(:)ir并称川。)为雅各比级数艺c。尸犷’‘’(二)所定义整函数的极大项.令v(a)表示最大的指标n,使max IC,P二‘,o,(:)卜“(a) 0《.<,者,并称v(a)为级数习二尸舒”(z)所定义整函数的中心指标.本文将文〔1〕的结果推广到当。=刀时的雅各比级数.得出了君(。),川a),,(a)之间的关系.互2.主要结果 定理1存在. 引理1若了(z)=名c.p舒‘,(:)为整函数,则对任意固定的正常数。,州的一定v(a)是a的单调增加阶梯函数,。‘a崛工. 2 若f(之)=。《a(主. 2习几尸犷,.’(:)是超越…