On a conjecture about the eigenvalues of doubly stochastic matrices

According to a long standing conjecture, the geometric location of eigenvalues of doubly stochastic matrices of order n is exactly the union of regular k-gons anchored at 1 in the unit disc for 2 ≤ k ≤ n. It is easy to verify this fact for n?=?2,?3. But, for n?≥?4, it has been an open question. We show that this conjecture is wrong for n?=?5.     

A perturbation approach to the main duality theorem of quadratic geometric programming

Quadratic geometric programming as introduced by Hough and Goforth is an extension of posynomial geometric programming. By using the theory of generalized geometric programming, Jefferson and Scott defined its exact geometric dual. The fundamental relationship between the geometric dual and the original problem is that they assume a common value at their respective optima. This result formally stated as the main duality theorem is proved in this paper by using a dual perturbation approach and two simple geometric inequalities. As a by-product, the insight provided by this constructive proof establishes a numerically precise dual based solution procedure for quadratic geometric programs.

---

Zusammenfassung Die quadratische geometrische Optimierung wurde von Hough und Goforth eingeführt und stellt eine Erweiterung der posynomialen geometrischen Optimierung dar. Jefferson und Scott definierten unter Verwendung der verallgemeinerten geometrischen Optimierung ein duales Programm und leiteten Dualitätsbeziehungen ab, u. a. die Übereinstimmung der Optimalwerte des primalen und dualen Programms. Letzteres Resultat wird in der vorliegenden Arbeit unter Verwendung eines dualen Störproblems und zweier einfachen geometrischen Ungleichungen hergeleitet. Gleichzeitig macht die Beweismethode es möglich, ein Verfahren zur Lösung quadratischer geometrischer Optimierungsprobleme anzugeben.