Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Es wird die Minimierung gewisser stetiger Funktionale unter Nebenbedingungen in der Form eines Differentialgleichungssystems betrachtet. In Teil I dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von Lösungen unserer Aufgabenstellung und leiten für eine Klasse von Funktionalen, die neben den bestimmten Integralen noch andere für die Praxis wichtige Funktionale umfaßt, eine Funktionalgleichung ab. Diese bildet die Grundlage eines in Teil II (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) angegebenen Verfahrens zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems, das eine Verallgemeinerung der Methode der dynamischen Optimierung darstellt. Zum Schluß wird die Frage der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung diskutiert.

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Summary This study contains the minimization of certain continuous functionals under constraints in the manner of a system of differential equations. In part I of this paper we examine the existence of solutions of our problem and derive a functional equation for a class of functionals which includes the determined integrals and other for the practice important functionals. This functional equation is the foundation of a method for calculating minimal sequences of our problem presenting a generalization of the method of dynamic programming, stated in part II (published in the following number of this journal). Finally the question of convergence of a minimal sequence towards a solution is discussed.

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Von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München angenommene Habilitationsschrift. 1. Referat: Prof. Dr.J. Heinhold, 2. Referat: Prof. Dr.E. Lammel.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Zur Theorie und Praxis der dynamischen Optimierung

Zusammenfassung Für eine große Klasse kontinuierlicher dynamischer Optimierungsprobleme, bei denen es sich um die Optimierung eines Integralausdrucks unter gewissen nichtholonomen Nebenbedingungen handelt, wird nach der Untersuchung der Existenz von Lösungen und der Ableitung einer Funktionalgeichung in Teil I dieser Arbeit in einem II. Teil (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) ein Verfahren zur Lösung mit Hilfe eines iterativen elektronischen Analogrechners einschließlich der zugehörigen Konvergenzbetrachtungen angegeben. Das Lösungsverfahren ist auch für Digitalrechner verwendbar, als besonders geeignet erscheinen die gerade jetzt in der Entwicklung begriffenen hybriden Rechenanlagen.

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Summary We treat a large class of problems of continuous dynamic programming. We have to optimize a certain integral expression restricted by some nonholonomic secondary conditions. We investigate the existence of solutions, and derive a functional equation. In a second part of this paper (being published in the next number of this journal) we give a method for the solution of this problem by means of an iterative analogue computer, and study the convergence of this method. For our procedure we can also use digital computers, especially hybrid computers.

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Diese Arbeit ist ein Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation des Dipl.-Math.Klaus Neumann, Institut für Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule München, Dir. Prof. Dr.J. Heinhold, 8 München 2, Arcisstraße 21. Tag der Promotion: 18. 12. 1964.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

A comparison between John's refined interior shell equations and classical shell theory

Zusammenfassung Die linearisierte Form der verfeinten Feldgleichungen vonJohn für dünne elastische Schalen wird verglichen mit der klassischen Schalentheorie in der Form der Gleichungen vonSanders undKoiter. Im Falle der dehnungslosen axialsymmetrischen Biegung einer Schale in der Form einer Schraubenfläche stimmen beide Theorien überein in ihren Aussagen. Ein wesentlicher Unterschied zeigt sich jedoch für Schalen mit einem kovariant konstanten zweiten Haupttensor (Kugelschale oder Kreiszylinderschale). Der Vergleich mit einer exakten Lösung für zylindrische Biegung einer Kreiszylinderschale bestätigt die (annähernde) Gültigkeit der klassischen Gleichungen. Dieser Unterschied, und die Übereinstimmung im Falle der Schraubenfläche, lenken die Aufmerksamkeit auf vier numerische Koeffizienten in den äusserst komplizierten Gleichungen vonJohn, die einer Nachprüfung auf Schreibfehler bedürfen.

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Dedicated to ProfessorHenry Görtler on the occasion of his 60th anniversary     

BAYESian expression for the probability that a searcher will find a target

Summary The familiar expression for the probability of finding a stationary target is rewritten in aBayesian form, in the case where the search is carried out by a man walking along a given path.

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Zusammenfassung Der übliche Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit des Auffindens eines stationären Zieles wird für denjenigen Fall in eineBayessche Form gebracht, in dem das Ziel von einer Person gesucht wird, die entlang eines gegebenen Pfades wandert.

     

Zum Problem des optimalen Wertpapierbudgets

Zusammenfassung Es werden verschiedene Aspekte des Portfolio-Problems diskutiert. Zunächst werden die Ansätze vonMarkowitz undBaumol gegenübergestellt und deren Konsequenzen für den Entscheidenden abgeleitet. Dann wird der Fall diskutiert, daß die eigene Nachfrage die Preise der Anlagemöglichkeiten und damit die Ertragserwartungen des eingesetzten Kapitals beeinflußt. Dies vermag die Zielfunktion des Wertpapierauswahlproblems zu ändern. Drittens wird eine Lösung für den Fall gesucht, in dem dem Entscheidenden nur der Kauf einer ganzen Zahl von Anlagen jeder Anlagemöglichkeit erlaubt ist.

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Summary The well-known portfolio-problem is discussed here in several respects. First, theMarkowitz andBaumol solutions and their different consequences for the decision-maker are discussed. Second, it is shown that one's own demand may influence prices, and consequently earnings, which may alter the solution as given byMarkowitz. Third, we discuss the consequences of allowing to buy only an integer number of pieces of every asset.

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Vorgel. v.:H. Albach.     

Produktionsplanung bei losreihenfolgeabhängigen Maschinenumstellkosten

Zusammenfassung In einer Mehrprodukten-Mehrstufenproduktion mit losreihenfolgeabhängigen Umstellzeiten und unterschiedlichen Takten der aufeinanderfolgenden Maschinen läßt sich ein exaktes Steuerungsverfahren für die Loseingabe mit dem Ziel der Minimierung von Umstellkosten und Zwischenlagerkosten nicht allgemein angeben. Für den Spezialfall sind Näherungsverfahren für die Produktionseingabe und -steuerung möglich (Abschnitt 2). Solche Verfahren können Zwischenlager zu Auswahlzwecken einschließen (Abschnitt 3). Derartige Auswahllager sind begrifflich von den wegen der Maschinentaktdifferenzen erforderlichen losgrößenabhängigen Zwischenlagern zu trennen (Abschnitt 1). Bei gegebenem Näherungsverfahren für die Produktionseingabe lassen sich in bezug auf die Umstell- und Lagerkostenminimierung optimale Losgrößen und Zwischenlager ermitteln (Abschnitt 4).

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Summary Production scheduling cannot be fitted in an exact model in processes dealing with multi-product- and multi-stage-production depending on the lot-sequence and with different speeds of successive machines. But in special cases one can approximate production scheduling (section 2). In such a production scheduling inventories for lotselection are applicable (section 3). But there are inventories depending only on the lot size and differences of machine speed (section 1). Procedure of production scheduling given, it is possible to obtain the minimum setup costs and inventory costs, i. e. one has to find out the optimal lot size and the optimal inventories (section 4).

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Meinen Kollegen Dipl.-Volksw.W. Förster und Dipl.-Math.W. Piesch bin ich für wertvolle Anregungen zu Dank verpflichtet. Der Aufsatz beruht auf Überlegungen zu einem praktischen Fall, dessen Lösung wir gemeinsam erarbeitet haben.     

An application of least cost acceptance sampling schemes

Summary A technique is described for determining most economical single sample inspection schemes in the situation where costs associated with inspection and failure to detect defective items can be estimated. A computational procedure is outlined, and a comparison made between the schemes determined by this method, and those previously in use. A least-cost decision rule is also derived for sequential sampling schemes.

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Zusammenfassung Ein Verfahren zum Aufstellen wirtschaftlichster einfacher Stichprobenverfahren wird für den Fall beschrieben, in dem die Kosten für das Überprüfen und das Nichtentdecken fehlerhafter Stücke geschätzt werden können. Es wird ein numerisches Verfahren aufgezeigt und ein Vergleich zwischen dem hier beschriebenen Verfahren und den früher verwendeten durchgeführt. Eine Entscheidungsregel für geringste Kosten wird ebenso für sequentielle Stichprobenpläne hergeleitet.

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Now with the Operations Research Section of B.O.A.C., Comet House, London Airport, Hounslow, Middx., England.

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Vorgel. v.:M. Sasieni     

Optimale Schichtung bei proportionaler Aufteilung mit Hilfe eines iterativen Analogrechners

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur Bestimmung der optimalen Schichtungspunkte bei proportionaler Aufteilung des Stichprobenumfangs für den Fall angegeben, daß stetige Verteilungen zugrunde liegen. Für zwei Anwendungsfälle, die Dreiecks- und die Normalverteilung, werden die Ergebnisse mitgeteilt. Bei Zuhilfenahme eines iterativen Analogrechners zeigt sich, daß der Hauptteil der Schaltung für alle Verteilungen derselbe ist und daß nur der Schaltteil bei Zugrundelegung einer anderen Verteilung geändert werden muß, in dem die jeweilige Verteilungsdichte erzeugt wird.

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Summary A method is given to find the optimal points of stratification when proportional allocation of the sample is used. It is assumed that the distribution function is continuous. For two examples, the triangular and the normal distribution, results are given. It is shown that by the use of an iterative analogue computer the solution can be obtained automatically, and that the essential part of the analogue instrumentation remains the same, regardless of the distribution.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Existence and approximation of solutions to nonlinear operator equations

Summary We consider the approximation of solutions to a nonlinear operator equation of the formLu+N(u)=f in a Hilbert space by the Rayleigh-Ritz-Galerkin method. Using a variant of Cesari's alternative method we determine when the existence of an approximation of orderk determines the existence of a solution to the equation and give a method to determine error bounds on the approximation.

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Zusammenfassung Wir benutzen das Rayleigh-Ritz-Galerkin'sche Verfahren um Lösungen der nichtlinearen Operatorgleichung vom TypLu+N (u)=f in einem Hilbertraum zu gewinnen. Eine Umformulierung der Cesari'schen alternativen Methode wird angewendet um die Frage zu lösen ob die Existenz einer Approximation der Ordnungk die Existenz einer exakten Lösung mit sich bringt. Eine Methode um Fehlerschranken für die Approximationen zu bestimmen wird angegeben.

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Supported in part by the DAAD/CONICYT, professor exchange program     

Zur Frage des Zuverlässigkeitgrades von Maschinen

Zusammenfassung Für die Abschätzung der Ausfallkosten von Maschinen sowie für die Beurteilung ihrer Betriebssicherheit ist der Zuverlässigkeitsgrad ein notwendiger Begriff. Es wird versucht, das Wesen der Maßzahlen, Durchlaufwahrscheinlichkeit, wahrscheinlicher Nutzungsgrad und Bereitschaftswahrscheinlichkeit zu beschreiben und ihre Bedeutung für den Zuverlässigkeitsgrad einer Anlage unter Berücksichtigung wesentlicher Einflußgrößen darzustellen.

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Summary Dependability is an important conception in order to consider the cost of breakdown and the safety in operation. This may be an attempt to define the possible measures-reliability, interval availability and pointwise availability. Furthermore their signification to dependability in regard to other quantities is shown.

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Mitteilung aus dem Institut für Bergbaukunde und Bergwirtschaftslehre der Bergakademie Clausthal-Zellerfeld (Institutsdirektor: Prof. Dr.-Ing.G.Dorstewitz).

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Vorgel. v.:G. Dorstewitz     

The ‘electromagnetic’ Wigner equation for an electron with spin

We derive and analyse the three-dimensional quantum Liouville equation for an electron with spin in an external electromagnetic field. By using methods of semigroup theory, we prove existence and uniqueness of the initial value problem. Expanding the solution into a series of pure states, we derive the existence of a generalized particle density and anL -estimate on the solution. The last section is devoted to an analysis of the classical and electrostatic limits.

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Zusammenfassung Die drei-dimensionale Quanten-Liouville Gleichung für ein Elektron mit Spin in einem äueren elektromagnetischen Feld wird hergeleitet und analysiert. Mit Hilfe der Halbgruppen-Theorie werden Existenz und Eindeutigkeit des Anfangswertproblems bewiesen. Aus der Entwicklung der Lösung in eine Reihe von reinen Zuständen schließen wir die Existenz einer verallgemeinerten Teilchendichte und erhalten eineL -Abschätzung für die Lösung. Im letzten Kapitel werden der klassische und elektrostatische Limes untersucht.

     

Free convection past a vertical plate

Zusammenfassung Diese kurze Mitteilung zeigt, dass für den Fall natürlicher Konvektion eine Familie von exakten Lösungen gefunden werden kann, welche die regierenden Gleichungen zur Darstellung bringen.

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This work was supported by the Naval Supersonic Laboratory, Department of Aeronautical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, ProfessorJohn R. Markham, Director.     

A planning model for urban housing developments

Summary A planning model for urban housing projects is developed within the framework of systems analysis. The first part gives a cost model of housing projects. Costs are shown to depend on the costs of building sites, construction costs, costs for streets and for parking facilities. The planning model takes factual and legal constraints into consideration. A housing benefit function for the evaluation of urban housing projects is developed by making use of factor analysis. Cost model and benefit model of housing projects are combined in a cost-benefit-analysis for urban planning. The model is shown to be operational by pointing out results derived in an empirical study of a large housing project in Berlin.

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Zusammenfassung Ein Modell für die Planung öffentlicher Investitionen im Wohnungsbau wird entwickelt. Ausgangspunkt ist eine Systemanalyse der Kosten städtischer Wohngebiete. Die Kosten hängen von den Gebäudekosten, den Grundstückskosten, den Straßenkosten und den Kosten für das gewählte Parksystem ab. Das Planungsmodell berücksichtigt faktische und rechtliche Nebenbedingungen, die der Städteplaner bei seinen Entwürfen zu beachten hat. Ein methodischer Ansatz für die Bewertung städtischer Wohngebiete wird aufgezeigt. Wohnwerte und Kosten werden abschließend in einer Kosten-Nutzen-Analyse städtischer Wohngebiete zusammengefaßt. Die Operationalität des Modells wird an einem praktischen Beispiel nachgewiesen.

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This paper is based on research carried out withO. M. Ungers, A. Tönjes, K. Viebering, M. Wegener, andK. P. Kistner. See for detailsH. Albach andO. M. Ungers:Optimale Wohngebietsplanung, Band I, Wiesbaden 1969.     

Eine Entscheidungsregel für den Fall partiell bekannter Wahrscheinlichkeiten

Zusammenfassung Gewöhnlich befaßt sich die Entscheidungstheorie mit zwei Extremfällen für Ungewißheitssituationen je nachdem, ob für die Zustände der Welt die Wahrscheinlichkeiten bekannt (I) oder völlig unbekannt (II) sind. In dieser Arbeit wird ein Mischtyp der folgenden Form untersucht: Die Menge aller Zustände der Welt sei in gewisse Teilmengen zerlegt, diese seien ihrerseits in kleinere Mengen aufgeteilt und so fort. Für jede Teilmenge möge bezüglich ihrer Unterteilung einer der Fälle I oder II vorliegen. Ein zugehöriges Entscheidungskriterium wird entwickelt, das auf einer abwechselnden Anwendung des Bayes- und des Minimax-Kriteriums (je nachdem, ob gerade Fall I oder II vorliegt) beruht. Es wird begründet durch Reduktion des Mischtyps auf den Fall II.

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Summary Ordinarily decision theory is concerned with two extreme cases of uncertainty depending on whether the probabilities for the states of the world are known (I) or completely unknown (II). In this paper a mixed type is investigated: Let the set of all states of the world be partitioned into certain subsets, which are themselves partitioned into smaller sets, and so on. For each subset let either cases I or II be relevant with respect to its partitioning. An appropriate decision criterion is developed that is based on alternating applications of the Bayes- and the Minimax-criterion (depending on whether case I or II happens to be present). It is established by reducing the mixed type to case II.

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Diese Arbeit entstand im Rahmen eines Forschungsauftrages der Fraunhofer-Gesellschaft zur Förderung der angewandten Forschung e. V. unter der Leitung von Prof. Dr.G. Menges.

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Vorgel, v.:H. Söhngen     

Conservative similarity solutions of the one-dimensional autonomous parabolic equation

Summary conditions are established on the coefficient functions of the one-dimensional autonomous parabolic equation for the existence of conservative solutions in the first quadrant of the plane of the independent variables length and time. Such a solution is characterized by the condition that its integral over the length variable from zero to infinity exist and be independent of time. Those conservative solutions are considered which can be expressed by means of a dimensionless variable and a function of the time variable (similarity). For the case that the similarity relation is linear in the length variable, coefficient functions are specified that lead to conservative solutions.

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Zusammenfassung Es werden Bedingungen aufgestellt über die Koeffizientenfunktionen der eindimensionalen, autonomen, parabolischen Gleichung für die Existenz konservativer Lösungen imersten Quadranten der Ebene der unabhängigen Variablen Länge und Zeit. Eine derartige Lösung ist dadurch charakterisiert, dass ihr Integral über die Längenvariable von Null bis Unendlich existiert und unabhängig von der Zeit ist. Es werden konservative Lösungen betrachtet, die mit Hilfe einer dimensionslosen Variablen ausgedrückt werden könen, die als Quotient einer Funktion der Längenvariablen und einer Funktion der Zeitvariablen definiert ist (Ähnlichkeit). Koeffizientenfunktionen, die zu konservativen Lösungen führen, werden für den Fall angegeben, dass diese Ähnlichkeitsbeziehung linear in der Längenvariablen ist.

     

Mathematische Grundlagen zur nichtlinearen Aktivitätsanalyse

Zusammenfassung Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Menge der effizienten Aktivitäten einer konvexen Technologie zu untersuchen. Es wird gezeigt, daß der Begriff der Facette aus der linearen Aktivitätsanalyse auch im Fall einer beliebigen konvexen Technologie definiert werden kann, und es werden für diesen allgemeinen Fall analoge Sätze über Facetten bewiesen. Die Beschreibung der Facetten einer Technologie durch geeignete Preis-(oder Bewertungs-)systeme kann in voller Allgemeinheit gegeben werden.

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Summary The purpose of this paper is to study the set of efficient activities of a convex technology. It is shown that the concept of a facet, as it is used in linear activity analysis, can also be defined in the case of an arbitrary convex technology; for this general case analogous theorems on facets are proved. A characterization of the facets of a technology by suitable price (or valuation) systems can be given in full generality.

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Der Autor hat über mathematische Grundlagen der linearen Aktivitätsanalyse, wie sie inKoopmans [3], chap. III entwickelt wurde, in einem von Prof.W. Wittmann geleiteten Kolloquium an der Universität Heidelberg im S. S. 1964 und W. S. 1964/65 vorgetragen.

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Vorgel. v.:W. Wittmann.     

On the speed of propagation of waves in a deformed elastic material

The secular equation is obtained for small amplitude waves propagated in an arbitrary direction in a body of incompressible isotropic elastic material subjected to a pure homogeneous deformation. Conditions are obtained that the wave speeds be real.

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Zusammenfassung Es wird die Säkulargleichung für Wellen kleiner Amplitude gewonnen, welche sich in beliebiger Richtung in einem inkompressiblen isotropen elastischen Material fortpflanzen, das einer reinen homogenen Deformation unterworfen ist. Es werden Bedingungen dafür aufgestellt, dass die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten reell sind.

     

An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

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This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

Ein neuer Gesichtspunkt bei der Erfolgsplanung und -kontrolle

Zusammenfassung Ausgehend von einer praktischen Deutung fixer und variabler Kosten wird für kurz- und mittelfristige Planungen ein Rechenverfahren für die Erfolgskontrolle abgeleitet und das Schmalenbachsche Ertragsschwellendiagramm für eine fortlaufende graphische Erfolgs- und Kostenkontrolle umgestaltet. An Hand eines praktischen Beispiels wird der Rechenvorgang veranschaulicht.

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Summary The author gives a practical interpretation of fixed and variable costs leading to a method of calculation for profit control in case of short-term and middle term plans. The break-even diagram ofSchmalenbach is adapted for a current graphical profit- and costcontrol. The method of calculation is illustrated by a practical example.

     

A note on a boundary-layer collision on a rotating sphere

A recent study of the unsteady boundary layer near the equator of a spinning sphere provided strong numerical evidence that the solution develops a singularity a finite time after the motion is initiated. In this paper we reformulate and complete the asymptotic structure proposed to describe this singularity. It is then self-consistent and provides convincing evidence of the accuracy of the computations and of the existence of the singularity.

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Zusammenfassung Eine neuere Untersuchung über die nicht-stationäre Grenzschicht nahe am Äquator einer rotierenden Kugel ergab starke numerische Evidenz für das Auftreten einer Singularität in der Lösung nach einer endlichen Zeit, vom Beginn der Bewegung gerechnet. In dieser Arbeit wird die asymptotische Struktur zur Beschreibung der Singularität neu formuliert und ergänzt. Sie wird selbstkonsistent und gibt ein wichtiges Zeugnis für die Genauigkeit der Berechnungen und für die Existenz der Singularität.