论同一法

同一法是几何中的一种间接证题方法,梁绍鸿在(1)中已有叙述,1965年贵阳师范学院黄明正在(2)中,1966年华中师范学院赵家鹏在(3)中又对此法作了若干阐明,这些论述的一个共同点,就是把同一法的逻辑根据归结为“同一原理”:一个命题的条件和结论都唯一存在。它们所指的概念是同一概念,这样的命题与其逆命题等效,就称这个命题符合同一原理”,(赵家鹏老师在(3)中订正为:这样的命题一定和它的某一个道命题等     

Steiner——Lehmus定理的代数证法

每个初学平面几何的学生都曾证明过这样一个十分简单的几何命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”,这个命题早在2000多年前欧几里得的《几何原本》中就已经出现.然而令人惊讶的是它的逆命题“如果一个三角形的两个内角的平分线相等,那么这个三角形一定是等腰三角形”,却要迟至1840年才由雷米欧斯(Lehmus)给瑞士著名数学家斯图姆(Sturm)的一封信中提出来,信中请求给出这个命题的纯几何证明,斯图姆竟然一下子解决不了,于是就在数学界广泛地征求解答,瑞士几何学家斯坦纳(Steiner)首先给出了它的证明,此后就把这个命题叫做Steiner-Lehmus定理.     

简易逻辑中应注意的几个问题

数学是一门逻辑性很强的学科,逻辑思维贯穿数学教学的始终,逻辑思维能力的培养也是数学教学的重要任务之一.学习数学时,处处涉及命题的逻辑关系和推理论证.其中有关复合命题的否定,在学习和应用中易犯一些逻辑上的错误.比如命题"所有相等的角都是对顶角"的否定,我们往往认为是"所有相等的角都不是对顶角",事实上这并不正确.所以,为了增强逻辑推理能力和后面课程学习的需要,在逻辑中应注意以下几个方面的问题.     

相交线、平行线目标检测(一)

一、判断题(每小题2分,共10分) 1.互补的角是邻补角。 ( ) 2.相等的角是对顶角。 ( ) 3.两条相交直线不能都平行于同一条直线。 ( ) 4.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 5.在同一平面内,不平行的两条线段必相交。 ( )     

充分条件和必要条件的判断

对于充分条件和必要条件 ,要能够正确地理解和判断 .1　概念1.1　若 p q ,则称p是 q的充分条件 ,q是p的必要条件 .1.2　若 p q ,则 p是q的充要条件 .1.3　若p q且 q 　q ,则称p是 q的充分不必要条件 .1.4　若 p 　q且 q p ,则称 p是q的必要不充分条件 .1.5　若p 　q且q 　 p,则称p是 q的既不充分也不必要条件 .2　概念的理解2 .1　从命题的角度理解设原命题为“若 p则q” ,则1)若原命题为真 ,则 p是q的充分条件 .2 )若逆命题为真 ,则 p是 q的必要条件 .3)若原命题和逆命题都为真 ,则p是 q的充要条件 .4 )若原命题为真而逆命题为假 ,…     

何时使用符号“(非汉字符号)”?

“ ”是数学推理中经常使用的符号 .命题“若ｐ则 ｑ”为真时 ,我们记作“ｐ ｑ” .可见 ,“ｐ ｑ”所表示的不是一个等待判断真假的命题 ,而是一个已经证明为真的命题 .但不少人甚至某些所谓权威资料 ,往往错误的使用这个符号 .如错例 1　ａ ,ｂ都是实数 ,写出命题“ａ =0 ａｂ=0”的逆命题、否命题和逆否命题 ,并分别判断它们的真假 .解　①逆命题 :ａｂ =0 ａ =0 .逆命题为假 .②否命题 :ａ≠ 0 ａｂ≠ 0 .否命题为假 .③逆否命题 :ａｂ≠ 0 ａ≠ 0 .逆否命题为真 .不妨看一看语句① .一方面 ,用“ ”表示该命题 ,另一方面又将它判…     

变教为导 逆向思维——“互逆命题”教学案例

一、教学背景(一)教学设计意图本节课是一节概念新授课,教学重点是互逆命题的概念、认识反例及其作用、探究互逆命题之间的关系.学习本节课前,学生已经知道一个命题由"条件"和"结论"两部分组成,会将一个命题改写成"如果……那么……"的形式,由此得出命题的条件和结论.在此基础上引入互逆命题的概念,让学生思考每个命题是否都有逆命题,能否写出原命题的逆命题,主动思考互逆命题之间条件和结论的关系,并判断     

高等数学中反例的构造及应用

数学中的反例既是对命题十分简明的否定,又是对命题极有说服力的肯定,它往往能起到正面的例子难以起到的作用．一个绝妙的反倒不仅能加深学生对概念的理解,而且有利于思维能力的培养,给人以深刻的印象．一般来讲,人们习惯于把注意力集中在摆出正确的命题和得到正确的解法,而忽视如何发现错误,举反例就是为了发现和纠正错误．高等数学中很多定理的逆命题都不正确,为了说明它的不正确性,往往需要构造反例来证明它．下面我们看一些反例的构造及应用的例子．例１若函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续,是ｆ（ｘ）在ｘ０处也可导．解这个命题是…     

关于“相似形”中有关教材两点处理意见

(一) 初中几何课本第二册“相似形”这一章的第四节写的是“三角形一边的平行线的判定”、它是在证明了“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例”这一命题的逆命题:“如果一条直线截三角形的两边,其中一边上截得的一条线段和这边与另一边上截得的一条对应线段和另一边成比例那么这条直线平行于第三边”。由于原命题的结论(比例线段)不只一种,从而其逆命题的条件(比例线段)也不只一种,即除上述一种形式外,还有如下形式。如图(1)在△ABC中。若AD/DB=AE/EC,则DE//BC由上述定理,根据比例性质易证后一种形式的逆命题为真。就得到了推论:若一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边。     

要"主体"、更要素质

笔者曾听过一节讨论课 ,课题是“四种命题 (二 )”,讨论的是原命题为真时 ,逆命题、否命题、逆否命题的真假 ,学生都做了充分的准备 ,侃侃而谈 ,虽观点基本上都是课本列出的 ,但考虑问题的角度有区别 ,所举例子也各不相同 ,气氛相当热烈 .从调动学生主动性、从学生投入来说 ,效果非常好 .然而 ,讨论在下列问题处受阻 :问题　原命题、逆命题、否命题、逆否命题中 ,正确的命题有几个 ?试举例说明 .绝大多数同学认同课本中“原命题与逆否命题同真同假”的观点 ,认为四命题中正确的命题或者没有、或者有二个、或者有四个 .独有一位同学坚持认为…     

用现代数学观把握教材

众所周知 ,教学大纲和教材是教学的主要依据 .教师能否通晓并驾驭教材 ,则是提高教学质量的一个关键 .实践证明 ,只有运用现代数学观 ,才能高屋建瓴把握教材 ,搞好中学数学的教学与研究 .平面几何课本有这样一个命题 :“在直角三角形中 ,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 .”有的教师片面理解课本中“每个命题都是由题设、结论两部分组成” ,以及一些参考资料中 :“‘如果’前面有题设”的说法 ,将上述命题的逆命题写成“如果三角形一个角的对边是另一边的一半 ,那么这个角是直角三角形的一个 30°的角” ,与课本中…     

初二几何第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题:(每小题3分,共24分)1.在△ＡＢＣ中,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ=1∶2∶3,那么△ＡＢＣ是三角形.2.如果等腰三角形的腰长为10ｃｍ,那么底边长的取值范围是.3.Ｒｔ△ＡＢＣ的两锐角的平分线交成的角是.4.“对顶角相等”的逆命题是.5.在一个钝角三角形中,已知一个锐角等于30°,则另一个锐角ｘ的取值范围是.6.在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中,ＡＢ=ＤＥ,∠Ａ=∠Ｄ,欲使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ,则根据边角边公理还需;根据角边角公理还需;根据角角边公理还需.7.如果等腰三角形两边长分别是8ｃｍ和13ｃｍ,那么它的周长为.8.在△ＡＢＣ中,∠Ｂ=70°,ＡＤ是…     

斯坦纳——雷米欧司定理的证明及推广

两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形.这就是著名的斯坦纳——雷米欧司定理.这是一个充满诱惑力的几何命题,是一道脍炙人口的几何名题.1840年德国数学家雷米欧司在给斯图姆的一封信中提到,几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形两底角平分线相等,初中生都会证明;可是反过来,已知三角形两内角平分线相等,要证它是等腰三角形却不容易了,我至今还没有想出来,斯图姆向许多数学家提到了这件事,请求给出一个纯粹的几何学的证明,首先回答这个问题的是瑞士的几何学家斯坦纳(1796—1863),所以这个问题就以斯坦纳——雷米欧司定理而闻名于世.     

“反例”在立几教学中的作用

我们通常把错误的命题,学生作业和考试答卷中的错误统称为“反例”。它是消极的东西,是必须克服的对象。任何事物都是“一分为二”的,“反例”也有的积极的一面,在教学中若能恰当地加以应用就能发挥这个“反面教员”的作用。下面谈谈在高一立几教学中应用“反例”帮助学生正确理解概念的几点做法。一用反例来衬托正确理解数学概念是学生学好数学的前提。抓好基本概念的教学,是提高数学教学质量的关键。因此,如何讲清基本概念是教研工作中研究的主要课题。以往教学中,只注意到如何从正面让学生形成正确的概念。往往忽视了“反例”的衬托作用,尽管教者在课堂上强调定义、定理、法则中关键性词语的作用,而学生体会不深,时间长了。就会把这些“关键”丢了,造成错误。例如空间射影定理学生只记住“斜线相等,射影相等;射     

空间四边形对角线垂直的充分条件

在本刊93年第10期《四边形的几个可逆命题》一文中,作者对下列命题;“四边形两条对角线互相垂直 对边平方和相等”。在将其推广到空间四边形时,文中仅证明了其必要性“空间四边形两条对角线垂直,则其对边的平方和相等”成立。对其充分性“若空间四边形的对边的平方和相等,则其对角线互相垂直”的成立与否留下了疑点。笔者认为其充分性也是成立的,现给出如下两种证法:     

关于“全等三角形”一节的教学

三角形是研究平面几何图形的基础。初中《平面几何》教材从这一章起要求学生逐步学会几何命题的推理论证.开始对学生进行严格的逻辑思维训练。全等三角形又是本章的重点,对今后的数学学习有着深远意义。本文就《全等三角形》一节的教学谈几点体会。一、奠定基础对三角形的各个元素的对应部份的认识是学好三角形全等的性质必不可少的基础。这是因为,两个三角形全等的判定公理和定理都是以“对应”为其条件的,离开“对应”条件,将不可能产生三角形全等的结论。其次,通过证明两个三角形全等进而证明两条线段相等或两个角相等,这两条线段或两个角也是对应     

脍炙人口的“斯坦纳——雷米欧司”定理

“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”,这是由雷米欧司提出面由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳——雷米欧司”定理．1840年,德国数学家雷米欧司(Lehmus)给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易．等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证．但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来．”此后,斯图姆又向许多数学家提出了这个问题,请求给出一个纯几何的证明．一年多后,瑞士大几何学家斯坦纳(Steiner,1796-1873)首次证明了它,于是,这个问题以“斯坦纳——雷米欧司”定理而闻名于世．     

初中平面几何头十六課的敎学(續)

第7課 这兩节課敎学“角”的概念。这节課敎学角的定义以及角的相等和不相等(§14—15)。在敎学角的概念时,要侭量就日常生活中最常見的角(小于平角的角)加以說明。以后講到角的概念的扩張以后,再扩充到平角、周角等,那时还須回顧角的定义,讓学生理解角的定义是概括了角的扩張的。按照課本敎学角的定义时,可以向学生指     

命题剖析

<正>命题这部分知识,既重要又抽象,要学好它,并非易事.本文从以下三个方面对命题进行剖析,望能对同学们有所帮助.一、命题的含义判断一件事情的句子叫命题.理解这个定义,应明确两点:第一,命题必须是一个完整的句子,如"直线"、"对顶角"、"整式"、"绝对值"等都是词语不是句子,都不是命题;第二,命题     

“两分角线相等的三角形必等腰”的三角证法

在平面几何中有一道几何题:“如果一个三角形的两条角平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.”它的证法已有多种,一般较烦难.这里介绍一种三角证法,比较简捷,容易掌握.