妙用不等式等号成立条件解题举例

等与不等是一对矛盾,从辩证法的角度看,它们在一定的条件下可以相互转化,有些数学题,如能利用重要不等式(或特殊不等式)取等号的条件求解,简洁、迅速、有独到之处,现分类说明如下:     

妙用不等式等号成立条件解题举例

等与不等是一对矛盾,从辩证法的角度看,它们在一定的条件下可以相互转化,有些数学题．如能利用重要不等式（或特殊不等式）取等号的条件求解,简洁、迅速、有独到之处,现分类说明如下：     

利用不等式取等号的条件解方程

文[1]结合几个例题详细介绍了利用不等式取等号的条件解方程的方法,笔者读后感觉受益匪浅.利用不等式取等号的条件解方程,关键是     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a₁,a₂,a₃,…,a_n,b₁,b₂,b₃,…,b_n是实数,则（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²,当且仅当b_i=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得a_i=kb_i（i=1,2,…,n）时,等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为"方和积不小于积和方"）,其应用十分广泛和灵活,善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能,可用于求代数式的值、解方程（组）、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.笔者分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

巧用基本不等式等号成立条件解题

基本不等式：√ab≤a＋b/2（其中a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时等号成立．     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

应用均值不等式的“技巧”

均值不等式槡(ab)～(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解某些函数最值问题的有效工具.应用均值不等式有三个必要条件:一正二定     

涉及三角形内部一点的几个不等式

在文[1]中,褚小光建立了下述几何不等式:设△ABC内部(包括边界,下同此)任意一点P到顶点A,B,C的距离分别为R1,R2,R3,三边BC,cA,AB的长分别为a,b,c.则 a2R1+b2R2+c2R3≥(R2+R3)(R3+R1)(R1+R2),①等号当且仅当P点位于△ABC的边上时成立.     

1624号问题的研究

1 问题的提出《数学通报》2006年7月1624号问题:若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2 +…+an=s,求证:1/a13(a2+a3+…+an)+1/a23(a1+a3+…+an)+…+1/an3(a1+a2+…+an-1)≥n5/s4(n-1).(1)在2008年,罗邦华老师[1]利用一个不等式引理给出(1)证明,并将其结果进行了推广:若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=s,|P|≥2,则n∑i=1 1/api(s-ai)≥np+2/sp+1(n-1).(2)在2010年,翁利帅老师[2]分别利用构造不等式和函数凹凸性给出(1)的两种证明,并将(2)的条件| P |≥2再次推广到P∈(-∞,-1]U[0,+∞),(2)仍成立,但其推广证明较为复杂且在文中结语写:在推广过程中留下一点遗憾,未能对P∈(-1,0)的情况作出进一步的探究,望能与各位同行共同完善之.     

一类条件不等式的统一证明

贵刊文[1]、文[2]给出了下列一类条件不等式.若a,b,c>0,且a+b+c=1,则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10.(1)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a3)+1/(1+b3)+1/(1+c3)+1/(1+d3)≤256/65.(2)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a2)2+1/(1+b2)2+1/(1+c2)2+1/(1+d2)2≤824/289.(3)笔者认为不等式(3)应改为:     

一类条件最小值问题的统一解法

本文给出一类条件最小值问题及其统一的解法,这类问题是:已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,k(k≠0,1)为整数,求(a+b)k+(b+c)k+(c+a)k的最小值.统一解法使用的工具是n(n≥2)元均值不等式:a1+a2+…+an≥nna1a2…槡an(ai>0,i=     

透过现象看本质——数列中的恒成立问题

数列从本质上讲是一种特殊的函数,其特殊性表现在定义域是正整数集或它的有限子集,函数值是相应数列中的项.因此,研究数列的图象和性质,应注意从函数的观点入手.在高中数学中,函数与不等式、方程是相互联系的,在一定条件下是互相转化的.于是,数列中的恒成立问题主要表现于数列与不等式、方程相结合的恒成立问题.     

对《不等式证明中“1”的巧用》一文的注解与补充

文[1]为证明不等式,巧妙地对"1"变形,使其符合运用均值不等式及等号成立的条件.为了使同学们更清楚地看到问题的本质,下面对原文给予注解(另解)与补充.     

对一道高考最值题的思考

自从高考分省命题以来,每年高考试卷都会出现新颖别致、个性鲜明、有一定的难度的最值问题.2010年高考四川卷中精彩的最值问题,给我们留下深刻的印象,在这里和大家一起来分享.