一类极限问题

这里讨论一类以递推关系x_n=f(x_(n-1))确定的数列{x_n}(n=1,2,…)的极限问题,其中x_0是给定的。我们要利用f(x)的性质来解决这个问题。为此建立如下定理。定理:设f(x)是定义在(a,c)内的单值连续函数,且x=f(x)在(a,c)内有唯一解b,又当x(?)b时,f(x)(?)b,则有结论: 1.若在(a,b)内b>f(x)>x,在(b,c)内x>f(x)>b,则任给x_0∈(a,c),令x_n=f(x_(n-1)(n=1,2,…)恒有x_n收敛于b。若在(a,6)内f(x)x,则x_n=f(x_(n-1))(n=1,2,…)对任给x_0(?)b绝不收敛于b。     

(二)一个等比数列问题

高中代数有这样一道习题: 已知a,b,c,d成等比数列,求证a+b,b+c,c+d成等比数列。 .这是一个错题,如取a=1,b=一1。c=7,d=-1,显然a,b,c,d成等比数列,但a+b,b+c,c十d都为0,即不成等比数列。因此,须将条件改为:a, b,c,d是公比不为一1的等比数列。     

关于Golomb尺子的长度

令x_1,x_2,…,x_n为首项为0的递增整数序列,满足下列条件:如果|x_i-x_j|=|x_p-x_q|,则{i,j}={p,q}。我们的目标是对任意正整数n,求得最小x_n的幂次。显然,O(x_n)≥n~2。我们将证明O(x_2)≤n~3。且该序列不可能被任何二次多项式x_i=ai~2 bi c,i=1,2,…,n,产生出来,其中a,b,c为任何有理数。     

线性表示在解题中的应用举例

<正>首先我们来看线性表示的概念:定义若a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=b(其中x_1,x_2,…,x_n是未知量,a_1,a_2,…,a_n,b是不全为零的常数,n∈N*)则b称为数组x_1,x_2,…,x_n的一个线性组合.当b=0时,x_1,x_2,…,x_n称为线性相关,此时令a_n=-1,则有x_n=a_1x_1+a_2x_2+…+x_(n-1)a_(n-1),称变量x_n是变量x_i(i=1,2,…n-1)的一个线性表示.本文的"线性表示"是指用给定的某些量     

四阶算子样条插值余项的渐近式及其超收敛点

设Δ为[a,b]的一个等距分划 Δ:a=x_0相似文献   

分式线性迭代数列的敛散性及收敛速度

若a_i,b_i0(i=1,2),|a_1 a_2b_1 b_2|≠0,则数列x_10,x_(n+1)=a_1x_n+a_2/b_1x_n+b_2收敛.若迭代过程中,xn(n=1,2,…)全不是φ(x)=a1x+a2/b1x+b2的不动点,则迭代数列{xn}线性收敛.     

关于一个积分不等式的Djokovi(?)''''s猜想(英文)

在1965年,Djokovi,D.Z提出[1]:设x_0(1-α_1)(x_2-x_0)时,(4)不成立,一般说,(4)式是否成立和点x_0相似文献   

两道高考题的源的探求

八四年理科高考数学最末一道题为:设x_1=a(a>2),x_(n+1)=x~2_n/2(x_n-1),n=1,2,…,求证:(1)x_n>2,(x_n+1)/x_n<1;(2)a≤3,则x_n≤2+1/2~(n-1);(3)a>3,则当n>lg(a/3)/lg(4/3)时,x_(n+1)<3。八六年理科高考数学最末一道题为:已知x_1>0且x_1≠1,x_(n+1)=x_n(x_n~2+3)/3x_n~2+1(n=1,2,…)。试证:数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n-1)。由于给出的参考答案回避了求通项,故有不少同志围绕怎样求通项而进行了探讨,从而得到了不少巧妙的解法,其中较显著的要算下列的解法。     

算术平均数的一个简单性质的应用

n个实数x_1、x_2、…x_n的算术平均数(x_1+x_2+…+x_n)/n有如下简单性质: 若A≤x_1、x_2…、x_n(≤B),则 A≤(x_1+x_2+…+x_n)/n(≤B) 当且仅当A=x_1=x_2=…=x_n(=B)时等号成立。作为性质1的推论,特别地有推论1若x_1、x_2、…、x_n是n个实数,则min{x_f|i=1,2,…,n}≤≤(x_1+x_2+…+x_n)/n≤max{x_f|i=1,2,…,n} 当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立。推论2 若A≤x_1+x_2+…+x_n(≤B),则至少有一个x_k(x_e),使A/n≤x_k(x_a≤B/n),当x_1、x_2。…,x_n互不相等或A相似文献   

利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

一类三阶有理差分方程的奇点集和解的渐近性

研究三阶有理差分方程x_(n+1)=ax_(n-1)+x_(n-1)x_n/bx_(n-2)+cx_n,n=0,1,2,...的奇点集和解{x_n}_(n=-2)~∞的渐近性,其中a,b,c∈R,初始值x_(-2),x_(-1),x_0∈R.由a,b,c的取值的不同,而得到解的不同的渐近性.     

等比数列的一个性质

文 [1 ]给出了等差数列的一个性质 :设 {an}是以 d为公差的等差数列 ,则有a1+ a2 +… + ann =am+ 1+ am+ 2 +… + an-mn - 2 m .本文运用类比的方法 ,得到等比数列的一个类似的性质 .性质　设 {an}是公比为 q( q>0 )的等比数列 ,则有( a1a2 … an) 1n =( am+ 1am+ 2 … an-m) 1n-2 m,其中 n >2 m.证明　当 n为奇数时 ,n- 2 m也为奇数 .( a1. a2 .… . an) 1n　 =( a1. a1q . a1q2 .… . a1qn-1) 1n　 =( an1. q1+ 2 + 3 +… + n-1) 1n,　 =( an1. qn( n-1)2 ) 1n =a1. qn-12 .( am+ 1. am+ 2 .… . an-m) 1n-2 m　 =( a1qm . a1qm+ 1.… . a…     

复旦大学1984年硕士研究生入学考试试题

1.设x_0,x_1,…,x_n,x是n+2个相异点,证明 f(x_0,x_1,…,x_n,x)=sum from i=0 to n(f(x_j,x)/(multiply from (?) to n(x_j-x_1))) 其中f(xj,x)和f(x_o,x_1,…,x_n,x)分别表示函数f(x)的一阶和n+1阶差商。 2.设n阶线性方程组Ax=b中n×n矩阵A的顺序主子式det(A1)≠0(i=1,…n),令(n+1)×(n+1)矩阵B为     

求解两点边值问题的样条方法

将区间[a,b]N 等分,步长 h=(b-a)/N,x_0=a,x_j=a+jh,j=1,2,…,N-1,x_n=b.对应于分划Δ:x_0=a相似文献   

等比数列前n项和S_n的一个性质的两个补充

1.等比数列前n项和Sn的一个性质命题首项为a1,公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.对命题1,可以利用等比数列的性质和整体代换来判定真假.当q=1时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=na1,且都不为0,命题为真;当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnSn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n     

复系数二次方程判断题七则

关于x的方程ax~2+bx+c=0 (a,b,c∈C)≠0,有下面七个判断题,对的打“√”,错的打×”: 1.b~2-4ac>时方程有二不等根 2.设x_1,x_2是方程的两根,则x_1+x_2=     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

四阶Λ-插值样条的逼近度和渐近式

设-∞相似文献   

三次样条用端点值估计时的几个准确常数

设Δ_n(n=1,2,…)是把[a,b]分成n段的各种分划的全体,也即 Δ_n{(x_0,x_1,…,x_n):a=x_0相似文献   

综合练习

1.设a∈R,A={x|1≤x≤4},B={x|x~2-2ax+a+2≤0},当AB时,求a的取值范围。 2.(1)讨沦函y=arcctgax(a>0,a≠1)的增减性 (2)求函数的反函数 3.已知x>0,x≠1,n为大于1的自然数,试比较1/log2x+1/log3x+…+1/log~nx与n/log2x的大小。 4.(1)已知a、b、c是互不相等的复数,试求a+b/b=b+c/c=c+a/a的值。 (2)设z_1、z_1是复数,且满足|z_1|<1,|z_2|<1,求证|(z_1-z_2)/(1-z_1z_2)|<1。 5.设等比数列z_1,z_2,z_3,…,z_n,…中的