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在全日制十年制学校高中课本《数学》第四册(以下简称“课本”)中,介绍了“导数与微分的应用”,主要是利用导数来研究函数:讨论函数的增减性与极值,函数的最大值与最小值的应用等等.本文将以这些研究为基础,介绍利用导数比较数的大小,证明某些不等式与恒等式.我们将会看到,利用导数这一工具,传统数学的某些问题可能比较简便地得到解决. 相似文献
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导数是新教材新增加的内容,是解决数学问题的重要工具,是高考数学的重点内容之一.笔者就05年出现的导数试题作以下点评:一、试题贴近基础,注重理解和推理以导数为背景或依托的试题,虽然有易有难,但通常总是紧贴着导数基础知识(如导数的概念、求导的公式和求导的法则)和导数的简单应用(包括求函数的极值和最值、单调区间),把考查理解能力和推理运算能力作为基本的要求.例1(广东卷)函数f(x)=x3-3x2 1是减函数的区间为()(A)(2, ∞)(B)(-∞,2)(C)(-∞,0)(D)(0,2)本题考查了导数的简单应用,只要根据连续函数在某区间上单调递减,则导数小于零,便… 相似文献
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[考试内容和考试要求]1.考试内容极限:数学归纳法.数学归纳法的应用.数列的极限.函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.导数:导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数.两个函数的和、差、积、商的导数.复合函数的导数.基本导数公式.利用导数研究函数的单调性和极值.函 相似文献
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2012年新课标全国卷理科数学第21题为:已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+12x2;(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥12x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.本题是函数、导数和不等式的综合题,立意新颖.第(2)小问以参数处理为主要特征,以导数应 相似文献
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台湾高中数学教材中初等微积分内容的处理和思考 总被引:2,自引:2,他引:0
初等微积分在世界各地基本上都已成为高中教学内容 ,在处理方法上则各有千秋 .美国是作为选修内容 ,考的学分可以带到大学 (也有的进了大学 ,经过考试 ,免修部分学分 ) ,因此 ,基本上是大学微积分的一个部分 .前苏联的教材 ,把初等微积分作为讲清初等函数的“工具”,分散到函数教学的各个部分 ,起到了减轻学生负担的作用 .台湾高中数学教材中 ,高三文理教材不同 .其中《理科数学 (上 )》就是全部的初等微积分内容 .1 总安排1 .1 全书分四章 :极限与导数 ,导数的应用 ,积分及其应用 ,其它的初等函数 .前三章介绍微分与积分的内容 ,其求导、… 相似文献
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如何判断分段函数在分段点处可导性,并求出导数?通常的作法(1)先判断连续性,若不连续,必不可导.(2)如果连续,再按导数的定义求导,由于在分段点两侧,函数表达式可能不同,则一般要通过计算分段点处左右导数来判断.实际上,在函数连续的基础上,可借助导函数在分段点处的极限,来判定并求出分段点的导数.这是因为有如下的定理: 相似文献
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题目(南通市2012届高三第一次调研测试数学第19题)已知函数f(x)=x+sinx.(1)设P,Q是函数f(x)图象上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0;(2)求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π2]上恒成立.本题主要考查函数、导数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运算数形结合、分类讨论的 相似文献
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二元函数极值的一种新判别方法 总被引:1,自引:0,他引:1
通常都是利用二阶偏导数来判别二元函数 z =f (x,y)的极值存在性 .本文将讨论如何利用一阶偏导数来判别二元函数的极值存在性 .我们知道 ,在利用二阶偏导数判别 z =f (x,y)的极值时存在着两方面的不便 :1°要计算三个二阶偏导数值 ;2°当 [fxx .fyy -f2xy]( x0 ,y0 ) =0时 ,不能确定极值是否存在 .下面我们受一元函数极值判别的启发 ,利用一元函数的性质 ,研究如何用一阶偏导数判别二元函数的极值 .设二元函数 z =f (x,y)在点 (x0 ,y0 )的 δ-邻域 B| ( x0 ,y0 ) ={ (x,y) | 0 <(x -x0 ) 2 (y -y0 ) 2 <δ}内有连续偏导数 ,(x,y)是该邻域… 相似文献
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<正>我们借助几何画板软件,较为深入地研究三次函数的图像与性质,并利用图像与性质解决2007年高考数学卷出现的一些部分试题.一、三次函数的图像与性质利用求导的方法,可以求得三次函数f(x) =ax~3+bx~2+cx+d的导数f′(x)=3ax~2+2bx 相似文献
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非光滑分析 总被引:11,自引:0,他引:11
最近十几年来,由于数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制等多方面的需要,正在形成一门新的数学分支——非光滑分析.顾名思义,它是研究非光滑函数的分析问题的;但实际上,它目前主要研究非光滑函数的极值问题. 所谓非光滑函数,是指这种函数无通常意义下的导数、微分可言.因此,研究这种函数的极值问题,就不能利用通常的Fermat原理或变分原理(梯度或变分为零),来求得极值点应满足的条件.非光滑分析的首要任务就是如何推广通常的导数、微分概念.尽管自从Schwartz的分布(广义函数)论问世以来,在某种意义下,任何连续函数,甚至任何局部 相似文献
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例谈导数法证明不等式 总被引:1,自引:0,他引:1
中学数学引入导数 ,使相应的数学方法、数学工具和数学语言更加丰富 ,应用形式更加灵活多样 .新课程试卷将导数与传统的不等式证明有机结合在一起设问 ,这是一种新颖的命题模式 ,它体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法 .以下介绍几道运用导数方法证明不等式的例题 ,供大家参考 .例 1 (2 0 0 3年江苏新课程高考试题 )已知 a >0 ,n为正整数 .( )设 y =(x - a) n,证明 :y′=n(x - a) n-1 ;( )设 fn(x) =xn- (x - a) n,对任意 n≥ a,证明 :f′n+1 (n +1) >(n +1) fn′(n) .证明 ( )因为(x - a) n =∑nk=0Ckn(- a) n-kxk,所… 相似文献
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导数是高中数学的基础知识,是高中考查的重点内容之一,以导数为工具研究函数的性质又是高考中的热点,由于对导数的概念、性质认识不清而导致的错误也时有发生,由于导数公式比较多,学生也容易运用不当,故学生在解决一些函数的导数问题时经常出现一些错误,现在将学生出错误的原因辨析如下:1.由于导数的概念缺乏理解致错例1(2003年黄冈)若f′(x0)=2,limk→0f(x0-k)-f(x0)2k等于()A.-1B.-2C.1D.21错误解法:f′(x0)=lki→m0f(x0-k2)k-f(x0)=-2,故选B.辨析:上述错误解法未能正确理解导数的概念中的Δy应该是相应于Δx的增量进行求值.正确解法:∵… 相似文献
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导数在高考中具有工具性的作用 ,主要表现在两个方面 :1)应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用 ;2 )应用导数确定曲线的切线斜率 .这样一来 ,原来用初等方法难以解决的问题显得轻松 ,从而使函数、曲线这两大考查重点的命题范围得以拓展 .比如 ,在解析几何中 ,我们一般只求圆的切线 ,有了导数 ,我们会很方便地求曲线 y =x3-a ,y =1-axx 在点M (x1,f(x1) )处的切线 (参见2 0 0 2年高考题 ) ;仅从不等式的内部考虑 ,我们很难证明当x >1时 ,不等式x >ln(1+x)成立 ,有了导数 ,我们就可以利用函数 f(x) =x -ln(1+x)的单调性来证… 相似文献
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函数与导数及其应用在高中数学的学习中占有举足轻重的地位,并且与其他知识点融合性强,近几年的高考中,对函数与导数及其应用的考题屡见不鲜且常考常新,较为全面地考查了数学学科核心素养.含参数的不等式恒成立,求解参数范围,解题的一个基本方法是以函数的视角来考虑与解决问题,本质上是将其转化为函数最值或函数值大小比较的问题.本文以2020年新高考I卷(山东卷)数学第21题为载体,探讨含参不等式恒成立问题中参数范围的常见解题策略. 相似文献
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函数是中学数学的主线,它像一条纽带把中学数学的各个分支紧紧地连在一起.中学生学习函数知识需经历四个阶段,第一阶段是在初中,第二阶段是在高一学习函数(数学1),第三阶段学习三角函数(数学4),第四阶段学习导数及其应用(选修1、2)等,其中,高一《函数概念与基本初等函数Ⅰ》是学生学习函数的重要一环, 相似文献