2-Spanned surfaces of sectional genus six

Sunto Un fibrato lineare olomorfo su una superficie algebrica proiettiva complessa non singolare S è detto k-spanned se le sue sezioni separano opportuni 0-cicli di S di lunghezza k + 1 — da (k + 1)-uple di punti distinti sino a getti di ordine k — e forniscono pertanto una immersione proiettiva di S di ordine superiore. Si fornisce un contributo alla classificazione proiettiva delle superfici determinando quelle di genere sezionale 6 immerse da un fibrato 2-spanned e quelle di genere sezionale 7 immerse da un fibrato 3-spanned.     

Curve aritmeticamente Buchsbaum su superfici di grado 3 e 4 dello spazio proiettivo

Riassunto Si studiano curve aritmeticamente Buchsbaum nello spazio proiettivoP ³, tali che l’ordine minimo di una superficie che le contiene è 3 o 4. Per tali curve si determinano l’ordine, il genere aritmetico, il carattere numerico connesso, il modulo di Hartshorne-Rao e la curva legata di ordine minimo. Nel caso di curve situate su superfici cubiche lisce si determinano anche i multigradi corrispondenti.

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Summary In this paper we study arithmetically Buchsbaum curves in the projective spaceP ³, such that the minimal degree of a surface containing them is 3 or 4. For such curves we determine the degree, the aritmethic genus, the connected numerical character, the Hartshorne-Rao module, and the linked curves having minimal degree. For curves lying on smooth cubic surfaces ofP ³ we determine also the associated multidegrees.

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Lavoro eseguito sotto gli auspici del G.N.S.A.G.A. del C.N.R.     

Sulle curve analoghe al circolo osculatore quando si passa da tre a quattro punti infinitamente vicini

Sunto. Due punti infinitamente vicini di una curva individuano la tangente, che ha comune colla curva il cosiddetto intorno di prim'ordine, e ne porge quindi una caratterizzazione geometrica; tre punti infinitamente vicini determinano il circolo osculatore, il quale si comporta nello stesso modo rispetto all'intorno di secondo ordine. Nella presente Memoria si prende in considerazione una quaderna di punti infinitamente vicini, cioè l'intorno di terz' ordine, esaminando i var? tipi di curve, nonchè una configurazione (Blaschke), atte a rappresentare l'intorno in modo geometricamente espressivo.     

Sulle curve multiple risolubili prive di punti di diramazione

Sunto. In questo lavoro si presenta la costruzione di tutte le curve algebriche multiple risolubili di ordine primon, prive di punti di diramazione, cioè di tutte le funzioniz(xy), an valori, senza punti di diramazione su una curva dataf(xy)=0, che sono soluzioni di un'equazione algebrica, risolubile per radicali. Tale costruzione viene fatta determinando una funzione ausiliaria (risolvente)w(xy), senza punti di diramazione suf(xy)=0, a gruppo di monodromia risolubile, la qualew ha un numero di valori uguale all'ordine del gruppo. Si costruisce anzitutto, con relativa semplicità, una particolare classe di queste curve multiple; quindi, in base ad alcune considerazioni topologiche, notevoli per loro stesse, si mostra che la soluzione del problema si riduce alla costruzione fatta.     

Sulle superficie di ordine 2n con una conica multipla di ordinen.

Riassunto Costruzione della immagine di una involuzione ciclica appartenente ad, una superficie di ordine 2n con una conica multipla di ordinen.

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Résumé Construction de l'image d'une involution cyclique appartenant à une surface d'ordre 2n ayant une conique multiple d'ordren.

     

The Dirichlet problem for second order elliptic equations with coefficients in the Stummel class in unbounded domains

In this note we prowe existence and unicity of solution of a Dirichlet problem for second order elliptic operator in the divergence form, with the coefficients of the lower order terms belonging to a variant of the Stummel-Kato class, in an unbounded domain, extending the works [6] and [2].

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Sunto In questa nota proviamo un Teorema di esistenza e unicità per la soluzione di un problema di Dirichlet relativo ad un operatore ellittico del secondo ordine in forma di divergenza, con i coefficienti dei termini di ordine inferiore appartenenti ad una variante dello spazio di Stummel-Kato, in un dominio non limitato, estendendo i lavori [6] e [2].

     

Curves with nodes,cusps and ordinary triple points

Summary We prove a ?virtual connectedness? theorem for plane curves with nodes, cusps and ordinary triple points. Irreducible curves are so obtained from virtually connected arrangements of lines.

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Riassunto Viene dimostrato un teorema di ?virtuale connessione? per curve piane con nodi, cuspidi e punti tripli ordinari. Tale teorema viene poi applicato alla costruzione di curve irriducibili a partire da configurazioni di rette virtualmente connesse.

     

Convergenza in variazione e convergenza in lunghezza

Riassunto Viene stabilita, per le trasformazioni continue di una regione piana pluriconnessa, una maggiorazione per il numero delle imagini reciproche di un insieme dik punti del piano-imagine. Dalla disuguaglianza discende una limitazione superiore per il numero dei punti ?eccezionali?, ossia aventi un numero di modelli minore a quanti ne comporterebbe l'indice topologico.

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Résumé On établit, pour les transformations continues d'une région plane à plusieurs contours, une majoration du nombre des points de l'ensemble image-inverse d'un ensemble dek points du plane-image. Il en ressort une borne supérieure pour le nombre des points exceptionnels, c'e.-à-d. ayant moins d'images inverses qu'on s'attendrait de l'indice topologique.

     

Défaut de postulation et singularités du schéma de Hilbert

Résumé Le résultat principal de cette Note est le Th. III.6 qui donne un procédé général pour exhiber des points singuliers de HilbP ³, situés sur une composante irréductible, génériquement lisse du schéma de Hilbert. Ces points singuliers représentent des courbes lisses, irréductibles deP ³. On étudie, plus en détail, le schéma de Hilbert des courbes lisses, irréductibles de dégré 18 et genre 39.

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Riassunto Il risultato principale di questa Nota è il Teorema III.6 che dà un procedimento generale per esibire punti singolari di HilbP ³, situati sopra una componente irriducibile, genericamente liscia dello schema di Hilbert. Questi punti singolari rappresentano delle curve liscie, irriducibili di ordine 18 e genere 39.

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Pendant la préparation de ce travail le premier auteur était ?professore visitatore del CNR? à l'Istituto Matematico, Università di Ferrara.     

Significato proiettivo di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine

Sunto. Ogni elemento di 2^o ordine di curva di una superficie (ad asintotiche distinte e non rettilinee) determina duequadriche asintotiche osculatrici. Gli elementi di 2^o ordine tali che queste quadriche abbiano, in ogni punto della superficie, un contatto assegnato con una retta, conica o cubica sghemba associata al punto appartengono alle curve integrali di equazioni differenziali del tipov″P _i (v′)=P _i+3(v′) (i=1, 2) oveP _k (v′) è un polinomio di gradok inv′=dv/du a coefficienti funzioni diu ev. Determinazione della configurazione geometrica a partire dall'equazione.     

Sulla simmetria obliqua ed ortogonale delle curve algebriche piane

Riassunto In questa Nota si perviene alla determinazione del numero massimo degli assi reali di simmetria obliqua (in particolare ortogonale) che una curva algebrica reale può possedere, attraverso ad un ciclo di teoremi (in gran parte completamente nuovi) riguardanti la simmetria in generale, la simmetria delle curve di ordine dispari e la simmetria delle curve di ordine pari. Si procede poi alla ricerca effettiva degli assi reali di una curva, nota mediante la sua equazione cartesiana, e si dà un metodo costruttivo per curve reali ed irriducibili soddisfacenti a certe condizioni di simmetria trovandone anche, in questo caso, la relativa equazione.

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Summary In this note the author determines the greatest number of the real axes of oblique symmetry (in particular orthogonal), that an algebraic real curve can have, through a cycle of theorems (a great part of them are quite new) concerning the symmetry in general, the symmetry of curves of odd order and the symmetry of curves of even order. Then the author proceeds to the effective research of the real axes of a curve, known through its Cartesian equation, and a constructive method for real and irreducible curves satisfying certain conditions of symmetry is given and in this case the relative equation is found too.

     

Sul contatto fra superficie e coniche. Una caratterizzazione differenziale della superficie romana di Steiner

Sunto Data una superficie analitica Σ dello spazio proiettivo ordinario ed un suo punto O, si considera il cono inviluppo K dei piani passanti per O e secanti la superficie Σ secondo curve per le quali O è sestattico. Si dimostra che le uniche superficie analitiche non rigate per cui K è riducibile in ogni punto sono: la superficie romana diSteiner e la sua duale (superficie cubica diC. Segre), e le superficie che sono inviluppate da una famiglia ∞¹ di quadriche, ciascuna delle quali è osculatrice in tutti i punti di una conica. Si tratta poi l’analoga questione per le superficie rigate.     

On the Boltzmann system for a mixture of reacting gases

Exact analytical solutions to the nonlinear spatially homogeneous integro-partiaS differential Boltzmann system, governing the distribution functions of the rarefied gases of a given mixture in the presence of scattering, removal and chemical reaction effects, are derived upon the hypothesis of constant collision frequencies, BGK-type scattering and creation laws, and particles possessing only translational energy. Four classes of second-order chemical reactions are investigated together with the relevant continuity system for the number densities of the participating species.

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Sommario In questo lavoro vengono riportate soluzioni analitiche esatte del sistema integro-differenziale non lineare di Boltzmann, che definisce le funzioni di distribuzione di una miscela di gas rarefatti in presenza di effetti di scattering, di rimozione e di reazioni chimiche. Tre sono le ipotesi invocate, a precisamente: i) la costanza delle frequenze di collisione; ii) il modello di BGK per le leggi di scattering e di creazione, e iii) le particelle costituenti i gas considerati sono dotate di sola energia di traslazione. Vengono cosí studiate quattro classi di reazioni chimiche del secondo ordine insieme al corrispondente sistema di continuità per le densità delle specie partecipanti.

     

Sul contatto di terz’ordine di due superficie algebriche lungo curve

Sunto Si dànno delle condizioni necessarie affinchè due superficie algebriche F, G d’una V ₃ algebrica non singolare possano presentare contatto d’ordine assegnato q −1 lungo una curva priva di punti multipli. Si approfondisce sopratuito il caso q=3, con applicazione al problema di determinare le superficie algebriche G_n di S ₃ che presentano contatto del 3^o ordine lungo una ⁿ con una superficie quartica F ₄ .     

Invarianti e ipoellitticità per una classe di operatori pseudodifferenziali

Riassunto In questa nota si introduce un invariante, mediante il quale si danno condizioni sufficienti di ipoellitticità e propagazione delle singolarità per operatori pseudo-differenziali, degeneri di certi ordini ≥2 su una varietà chiusa conica involutiva di*R ^R. Si utilizzano risultati ottenuti per operatori quasi-omogenei [5], [7], [8], [9], provando che, almeno microlocalmente, gli operatori considerati sono di questo tipo.

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Summary In this paper we shall introduce a class of pseudodifferential operators for which we define an invariant and we obtain sufficient conditions for the hypoellipticity and propagation of singularities. Our approach here is to consider the operators as P.D.O. which are anisotropic (quasi-homogeneous) with respect to some weight: for the definitions and the relevant properties of quasi-homogeneous P.D.O. we refer to [5] or [7].

     

On the moduli space of ’t Hooft bundles

We describe the moduli spaceM ₁ (c ₂) of 't Hooft bundles onP ³, that is instanton bundles having sections at the first twist. We prove that such a moduli space is a rational variety whose singular locus is the moduli space of special 't Hooft bundles studied in [HN]. It turns out thatM ₁ (c ₂) possesses a canonical desingularization provided by the projectivized of a vector bundle on the Hilbert schemeH of the space curves which correspond to 't Hooft bundles in the Serre construction. Moreover, we show that the connected components of such curves are lines or multiple lines, which are scheme-theoretically a product. On such multiple lines every vector bundle splits, and we are able to determine their normal bundle. This allows to reprove the smoothness ofH, already known from [C], and the smoothness ofM ₁, shown in [C] and [NT].

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Sunto Si descrive lo spazio dei moduliM ₁ (c ₂) dei fibrati vettoriali di 't Hooft suP ³, cioè dei fibrati istantoni che ammettono una sezione lineare. Si dimostra che tale spazio è una varietà razionale il cui luogo singolare è costituito dai fibrati di 't Hooft speciali studiati in [HN]. Si trova, inoltre, una desingolarizzazione diM ₁ (c ₂) data da un aperto di un fibrato proiettivo sullo schema di Hilbert delle curve che sono luoghi degli zeri di sezioni lineari di fibrati di 't Hooft. Le componenti connesse di tali curve sono rette o rette multiple isomorfe a un prodotto. Questo risultato è conseguenza del fatto che ogni retta multiplaZ di genere aritmeticop _a (Z)≤1—deg (Z) fibrata in punti multipli curvilinei è schematicamente isomorfa al multiplo di una sezione di una opportuna superficie rigata razionale.

     

Wave features of a hodograph-like transformation for quasilinear hyperbolic systems

We study the properties of a variables transformation for a 2×2 quasilinear hyperbolic nonhomogeneous system of first order, related to wave propagation. The considered variables transformation transforms characteristic curves of the original system, into characteristic curves of the transformed system. We make use of this property to study the propagation of weak discontinuities (acceleration waves) compatible with the quasilinear system (1.1). Finally a special class of rate-type media is considered and asymptotic solutions are investigated.

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Sommario Si studiano le proprietà di una trasformazione di variabili per un sistema quasilineare iperbolico del primo ordine non omogeneo. La trasformazione considerata trasforma curve caratteristiche del sistema originale in curve caratteristiche del sistema trasformato. Utilizzando queste proprietà si studia la propagazione delle onde di discontinuità (onde di accelerazione) compatibile con il sistema quasilineare iperbolico considerato e si cercano soluzioni asintotiche.

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This work was supported by the C.N.R. through the G.N.F.M. and partially under contract No. 88. 01855.01.     

Subbundles of maximal degree of the normal bundle of algebraic space curves almost complete intersection of special type

Summary LetX⊂P ³ be an irreducible smooth curve which is not a complete intersection. The main result of this paper shows that whenX is an a.c.i. of special type, i.e. its homogeneous ideal is generated by three polynomial of the same degreem, and additionallym>2, the subbundles of maximal degree of the normal bundle ofX inP ³ correspond to the singular points of maximal multiplicity of a plane curve which is the image ofX by a map (the linear system of the surfaces of minimal degree throughX). In particular this normal bundle is stable. The initial case of this family of curves, i.e. form=3, has been studied by E. Ballico-Ph. Ellia with different methods.

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Riassunto SiaX⊂P ³ una curva irriducibile e liscia che non è una completa intersezione. Il risultato principale di questa Nota mostra che quandoX è una almost completa intersezione di tipo speciale, cioè il suo ideale omogeneo è generato minimamente da 3 polinomi dello stesso gradom, e, inoltre,m>2, i sottofibrati di grado massimo del fibrato normale diX inP ³ corrispondono ai punti singolari di molteplicità massima di una curva piana che è l’immagine diX tramite una mappa (il sistema lineare delle superficie di grado minimo passanti perX). In particolare questo fibrato normale è stabile. Il caso iniziale di questa famiglia di curve, i.e. perm=3, è stato studiato da E. Ballico-Ph. Ellia con differenti metodi.

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This research is supported by GNSAGA (Italy).

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The main results of this paper have been the object of a talk at the meeting on ?Curves in Projective Space? held at Rocca di Papa in june 1985.     

On the topology of the joined point-pairs of an algebraic variety

Sunto Data una varietà complessa non singolare V, si può definire unacoppia congiunta di punti di V. Nel caso ove V è una varietà razionale, di un tipo molto ristretto (§ 2), si considerano le proprietà topologiche dell'insieme di coppie congiunte. Questo è uno spazio fibrato, il che rende possibile la determinazione dei suoi gruppi di omologia. Si costruisce esplicitamente una base per questi gruppi.      

Inequalities for eigenvalues of homogeneous boundary value problems

Sunto Il limite inferiore classico per i valori propri di una equazione differenziale lineare del secondo ordine nel caso dei punti coniugati è un caso speciale di disuguaglianze per problemi auto-aggiunti generali. Per equazioni auto-aggiunte a coefficiente positivo e parametro moltiplicativo possiamo determinare il segno dei valori propri ed otteniamo una serie completa di limiti inferiori, con esempi nei quali i limiti sono raggiunti. Si mostra che, senza ipotesi speciali sul coefficiente, esistono limiti superiori soltanto per qualche caso del vaiore proprw d'ordine zero. Anche questi limiti sono raggiunti in esempi.

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Dedicated to ProfessorBeniamino Segre

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Entrata in Redazione il 12 Febbraio 1973.

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Research partially supported by NSF Grant GP-27960.