捉妖记——最值问题(一)

<正>在数学中有这样一类问题,它常常以动态的形式存在,弄得我们眼花缭乱,不知所措.这个时候,我们如果能够拥有“火眼金睛”,看出它是何方“妖孽”,就能轻而易举地将其捉住了.动点不断地运动形成点的轨迹,现出“原形”,就可以降服它了.本文我们就在寻求动点的轨迹中解决几何中常见的最值问题.     

數學中的無窮

“數學的無窮雖然是不自覺地從現實中假借來的,却不能從它自身,不能從數學的抽象中來說明它,而只有從現實去說明它”(恩格斯:“辯證法與自然科學”,人民出版社1953年版,第145頁),數學的無窮的物質基礎只有在它與有限的辯證統一中去考慮時才能被理解。每一數學理論都要求它自身貫串着內在的形式上的一致性。因此也就產生如何把這種要求與現實中無窮性在實質上的矛盾結合起來的問題。“這種矛盾的排除將是無窮性的終結”(恩格斯:“反杜林論”,三聯書店中譯本,1951年版,第54頁),此     

提高数学教师数学史素养途径韵探讨

数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,及其与社会政治、经济和一般文化的联系的一门学科,它是数学学科体系中重要的组成部分．作为数学学科体系中的一门学科,“数学史”一词对于多数中学教师来说并不熟悉,毕竟绝大多数教师在读大学时或在职学习时都未曾把它当作一个学科来研究或学习过．不过,如果把它作为一般的名词“数学的历史”来理解当然不会陌生．     

充要条件的理解与应用

充要条件是重要的数学概念 ,它揭示了命题的条件与结论之间的逻辑关系 .充分条件与必要条件的判定一直是教学的难点 ,对于初学者来说 ,主要原因一是对概念的理解不够深刻 ,二是解决问题的方法不够恰当 .下面结合个人多年的教学实践 ,从不同角度给出充要条件概念的两种理解方法 ,供同学们学习时参考 .1　概念一般来说 ,一个命题都可以写成“若 p则q”的形式 ,即“条件”和“结论”两部分 .命题有真也有假 .如果“若 p则 q”为真 ,是指由p经过推理可以得出 q ,记作 p q ,称 p是q的充分条件 ,q是p的必要条件 ;如果“若 p则q”为假 ,是指由 p推…     

例谈函数应用问题中的“误区”

函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题,就是“数学建模”,它是解决数学应用题的重要方法．在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”等几种解题误区,下面就函数应用问题中的这几个误区进行举例分析：     

数学教学中创造性思维能力的培养

创造性思维是各种思维方法的综合运用。它可导出新颖、独特的思维成果。有一种观点认为,“创造者”所创造或发现的新东西,即使早已为别人所完成,但对于“创造者”来说是新颖独特的,这种思维就可以称为创造性思维。由此看来,在数学教学中培养创造性思维,应把着眼点放在学生解决数学问题和探索各种规     

我对“預定准确度的計算”这节課教法的意見

在每次讲过“预定准确度的計算”这节課后,大部分同学都感到它难于接受。本期征求各班对教学学习的意見时,几乎每班都提到这节“不懂”、“摸不着头脑”。此次我在讲这节課时,沒有被书本束縛,讲的虽不很成功,但反映不懂的現象沒有过去那么普遍了。由于这节課是近似計算的一个重点,透彻理解与学会“预定准确度的計算”不仅有实用价值,通过它,还可以使同学进一步理解近似計算的目的与激发同學的学习兴趣。因此本节課的教法探討就很必要,本刊1958年11期謝乃全同志的文章是着重理論方面的意見,我現在是談談这节課教法的体会。     

利用几何画板探究面积最小原理

几何画板被称为21世纪的动态几何.它是一个很小(只有909KB)的数理软件,其功能却非常强大.“动画”是它主要功能之一,实时度量出几何对象的数量(长度、距离、面积、方程、坐标、角度等)有别于其它教学软件的特点.我们可以利用几何画板解决“运动变化之中的不变问题”,观察分析图形变化的规律,从运动中把握不变性.本文论述的“面积最小原理”即是研究中发现的一个结论,这一结论可用来解决一大类问题,用途广范,具有一般性.写出来与同学们探讨.     

中外中小学数学教育的几点比较

从 5 0年代至今 ,世界各国的数学教育改革运动一直是风起云涌 ,一浪高过一浪 .而中小学数学教育改革总是首当其冲 ,被当作改革的“弄潮儿”.40多年来 ,这种改革的探索一直没有中断过 .如美国从 5 0年代至今就经历了四次较大规模的改革运动 :5 0年代到 70年代初的“新数学运动”;70年代后期的“回到基础中去”;80年代开始提出的“要以问题解决为中心”;80年代末至今提倡“要面向新世纪 ,适应信息时代的需要”等等 .这些变革从总体上看 ,都是反映社会发展对数学教育提出了新的要求 ,从另一个角度看 ,也反映出我们数学改革的目的应该是培养适应…     

浅谈三角函数线在《三角函数》教学中的作用

三角函数线是单位圆中用来表示三角函数值的有向线段.中学课本中讲了正弦线、余弦线和正切线,这些在单位圆中的线段的长度表示三角函数值的绝对值,它们的方向表示三角函数值的符号(向上或向右为正,向下或向左为负),即这些三角函数线的数量就等于其对应角的三角函数值.课本中三角函数的图象就是用“三角函数线法”即“几何法”作出的,其好处除了课本中阐述的两点之外,还可以培养学生运动变化的观点.所以,三角函数线在《三角函数》的教学中运用很广,其特点是形象、直观、易于理解,对学生理解和记忆相应的公式和解决有关问题,特别是快速解选择…     

2003年全国高中数学联赛将于10月份举行

早在五十年代 ,以华罗庚教授为代表的老一辈数学家就十分重视培养青少年优秀人才 ,倡导并组织了多次数学竞赛 ,吸引了大批数学爱好者 ,对科技人才的成长和科学研究的开展做出了贡献 .1 981年中国数学会开始举办“全国高中数学联赛” .它是群众性的数学课外活动 ,是大众化、普及型的数学竞赛 ;“试题所涉及的知识范围不超出现行教学大纲”这一命题原则 ,得到了广泛的理解 .在全国高中数学联赛中的优胜者将被邀请参加全国中学生数学冬令营 .2 0 0 1年教育部文件规定高中阶段在“全国高中数学联赛”省赛区中获得一等奖的应届高中毕业生具有保送…     

主动反思——提高学习效果

反思即再认识,是人们以自己的认识活动过程及结果为认识对象的认识活动,是人们的一种自我反省行为;对学生来说它表现了一种积极的探索活动和富有个性化的创新精神;从心理品质上来说,它具有挑战性,是一种自我超越、自我完善;从思维品质来说,它可以培养学生高度的概括力、深刻的洞察力和完美的整合力,因此说反思是探索、是发现、是再创新.反思是调控学习的基础,荷兰教育家弗赖登塔尔指出:“反思是数学思维活动的核心的动力.”反思可深化对概念、性质、法则和公式的理解,揭示问题的本质属性,并进一步优化思维过程,探索和发现规律以达到沟通新旧…     

一堂开发“创造力”的习题课

开发学生的“创造力”,一般是指开发学生自身潜在能力意义上的“自我实现的创造力”。这种创造力所发现与解决的事物和问题,相对于学生本人来说,是属于新的、前所未有的。尽管它与发明家、科学家等杰出人物在发明创造时所具备的“特殊才能的创造力”不同,但是灵活运用科学的训练方法,从小就培养学生的这种“创造力”,仍然有着十分重要的意义。因为它不仅有助于学生将来     

说，是双语教学的关键

在珠算的双语教学中不仅要解决好学生的“听力”问题，而又还要排除学生怕开口说英语的心理障碍。因为“听”只是解决了上课时学生对珠算学科的理解，而“说”是理解的重要途径，是实现理解相互转换的重要机制，并又它是实现课程内容中师生、生生间交流的关键。     

中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

初等数学中的定义和証明

在学习数学的过程中,如果能自覺地运用正确的思維形式,那末对于透澈理解与牢固掌握数学的基础知识和提高应用数学方法解决实际問題的技能都将获得显著效果。因此在数学教学中,教师不但应当自觉地运用正确的思維形式,而且必須通过数学內在的逻輯因素,有意識地向学生介紹邏輯方法。下面就通过初等数学的內容对定义和証明作簡略的論述。 給数学概念下定义,通常是采用“种属定义”。所谓“种属定义”,是指通过揭露邻近的种和属差来給概念下定义,即首先找出被下定义的概念的邻近种,然后再找出它与同一种概念中其他概念的差别。“种属定义”的公式是     

“简易逻辑“学习摘要

《全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学》以下简称新教材 )第一册 (上 )的第一章新增了简易逻辑知识 ,其中逻辑联结词“或”、“且”、“非”,以及从逻辑角度理解 4种命题的相互关系、从命题角度理解反证法的证题原理 ,对于高一新生来说较为抽象 ,在理解上尚有一定的难度 ,本文结合自己参与新教材的教学实践 ,对简易逻辑知识及相关问题的要点给出学习辅导 ,供高一新生及参与新教材实验的教师参考 .1　对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解( 1 )对“或”的理解 ,可联想到集合中“并集”的概念 .逻辑联结词的“或”,可以两者都选 ,但…     

探求动态图形面积与运动变量的函数关系

动态几何题是近几年来中考试题的热点题型,而其中探求动态图形面积与运动变量的函数关系问题更是备受命题者青睐,它涵盖的知识面广,综合性强,对分析问题、解决问题的能力要求较高,解决这类问题的关键在于把握图形的运动规律,寻求图形运动的一般与特殊位置关系,在“动”中探求“静”的本质,在“静”中发现“动”的规律.     

基于初中数学核心概念及其思想方法的概念教学设计——“翻折与轴对称图形”的实践

一、教学选题背景 “翻折与轴对称图形”是上海教育出版社九年制义务教育数学课本七年级第一学期第十一章“图形的运动”第三节第一课时,教学内容属于直观几何与实验几何的过渡阶段.翻折运动是现实生活中广泛存在的一种基本运动,也是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个重要内容.它不仅是认识和描述物体运动前后的空间位置关系和探索图形运动性质的必要手段之一,而且也是解决现实世界中的具体问题、进行交流的重要工具.     

对“几何基本概念和簡單圖形”的几点意見

中国青年出版社出版的“几何基本概念和簡單圖形”一書。書中把几何概念和簡單圖形用通俗的語言叙述出来,是可以帮助初二学生理解敎材內容的。但是,我觉得还有几个問題是值得商榷的。請大家考虑。一.关於“线段的运算”我認为提法不清,書中写道:“…綫段是可以作加、減、乘、除等运算的。”綫段的加法运算在初中几何范圍內是一定成立的,而“减法”就要受到限制,那就是:必須大綫段減去小綫段,否則学生就要搞不清了。至於綫段的“乘法”和“除法”可以說沒有什么意义,因为綫段乘线段的結果不是一条綫段了,在高中时才把它定义为“面积”。这当然不合於这本書的要求的,綫段和綫段的“除法”,我們更無法指出它的含义,是否可把它理解为“比”呢?那只有在学到綫段的比和比例之后才可以,而該書著者所說的“乘”、“除”还不是这个意思,而是一个綫段和某一个自然数的乘或除。“除法”就是把某一綫段分成若干等分;至於“乘法”,則是“除法的还原,或加法的变形,…线段的乘法就是把等長的几条綫段相接而成一