不等式证明思路分析

利用基本不等式如平均值不等式、Cauchy不等式等证明不等式是不等式证明中的主要方法之一。而如何灵活运用基本不等式,却又奥妙无穷,特别是一些技巧性变形,常常是运用基本不等式的关键。本文介绍获取这些变形的两种分析方法。 1 指数分析 在均值不等式∑x_i≥n(πx_i)~(1/n)中,右边的根指数为n,根号下因子的个数亦为n,利用这一     

构造数列证明一类不等式

证明与自然数有关的一类不等式的常规方法是数学归纳法和放缩法,但数学归纳法的证明过程比较繁琐,而放缩法的技巧性很强,难度较大,笔者运用构造数列的方法证明此类不等式,可使证明过程思路清晰、简捷明快.例1证明对于一切大于1的自然数n,有(1 13)(1 15)(1 17)…(1 2n1-1)>22n 1     

重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的简洁证法

利用均值不等式(n∏i=1ai)1/n≤1/nn∑i=1ai给出了重要极限limn→∞(1 1/n)n存在性的一种简洁证明方法,特别是数列{(1 1/n)n}的有界性的证明非常简洁.同时给出了均值不等式的一种初等证法.     

构造对偶式证明不等式

不等式的证明方法很多 ,这里介绍构造对偶式证明不等式 ,也许在诸多证明方法中它别开生面、独具“风味”,给人一种赏心悦目的感觉 .1　“填充”对偶式例 1　求证 :12 . 34.… .2 n - 12 n <12 n 1 .分析　不等式的左边是几个分数连乘积 ,能不能在每两个相邻的分数之间插入另一个分数 ?因此 :设　 A =12 .34.… .2 n - 12 n ,B =23. 45.… . 2 n2 n 1 ,由于　 12 <23,　 34<45,… ,2 n - 12 n <2 n2 n 1 ,因此 A 相似文献   

重要极限limn→∞(1+(1n))n=e的注记

利用平均值不等式对重要极限limn→∞(1 1/n)^n=e给出一个较简捷的证明方法。利用证明过程中所得到的不等式还可求得e的任意精度的近似值。     

一类数列极限存在性的证明

<正> 关于数列{(1+(1/n)~n}的单调性及有界性,一般工科《高等数学》教科书中通常采用二项式展开定理的方法予以证明。文中曾利用一个简单的不等式证明了数列{(1+(1/n)~n}极限的存在性。本文将给出另外一个简单的不等式,来简建地证明(1+(1/n))~n     

平均值不等式和柯西不等式

平均值不等式和柯西不等式是两个极为重要的基本不等式,由于它们变化多,实用性强,可以充分展示受试者的机敏和能力,因此深受竞赛命题者的青睐,有关的问题在数学竞赛中频频出现,经久不衰。一、平均值不等式这里先介绍平均值不等式。设a_1、a_2、…、a_n为n个正数,记 A=a_1 a_2 … a_n/n,G=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 则 A≥C(1) 其中当且仅当a_1=a_2=…=a_n时等号成立。这个不等式通常称之为算术平均-几何平均值不等式,简称平均值不等式。平均值不等式证明方法很多,以下给出两种富有启发又很简捷的证明。     

证明不等式的几种特殊方法

文[1]给出了六种证明不等式的特殊方法.这里再给出四种,以解决一些不等式的证明问题.1　利用二项式定理证明对于有些不等式,可根据其结构特点,联想或构造二项式模型,利用二项式定理来证.例1　(第2 1届全苏数学竞赛)求证:对于任意的正整数n ,不等式(2n + 1) n ≥(2n) n + (2n - 1) n成立.证　由二项式定理,有　(2n + 1) n- (2n - 1) n=2 [C1n(2n) n -1+C3n(2n) n -3 +…]≥2C1n(2n) n -1=(2n) n,即(2n + 1) n≥(2n) n+ (2n - 1) n.例2　(1988年全国高中数学联赛)已知a ,b为正实数,且1a+ 1b =1.试证对于每一个n∈N都有(a +b) n-an-bn≥2 2n-…     

构造几何图形证明不等式

不等式的证明是中学数学的基本内容 ,证明不等式的方法也很多 :分析法、综合法、反证法、放缩法、判别式法 ,三角置换法等是常用的思路 ,而利用构造几何图形来证明不等式在教材中却不常见 .这是由于构造几何图形证明不等式技巧性比较强 ,以至于这种方法多应用于数学竞赛 .现举几例 ,以说明构造法的应用 .例 1　若 m >n >0 ,试证 :m2 - n2 2 mn - n2 >m.分析　由题设 m >n >0和 m2 - n2 >0的形式 ,可考虑构造一个 Rt△ ABC(如图1 ) ,使 AB =m,BC =n,C =90°,显然AC =m2 - n2 ,∴　 m2 - n2 n >m,又∵　 m >n >0 ,∴　 mn >n2 ,　 2 …     

关于lim from n→+∞(1+1/n)~n的存在性的又一明证

<正> 一般教科书通常是利用二项式展开定理来证明(1+1/n)~n 的单调有界性.下面只用一个简单不等式.就可以证明.(1+1/n)~n 的单调有界性先证明不等式     

n元均值不等式的应用

我们非常熟悉的 n元均值不等式a1 a2 … ann ≥ n a1a2 … an　 ( ai >0 ) ,当且仅当 a1=a2 =… =an 时取等号 ,若灵活运用此不等式 ,解决形如“和”大于等于“积”的多元不等式的证明 ,可使问题巧妙获证 .其思路自然、流畅 ,可培养学生观察问题的深刻性和思维的灵活性、创造性 .而且缩短了思维的回路 ,优化了解题过程 .1　直接运用 n元均值不等式有些不等式的问题由于其本身的特点 ,可直接运用均值不等式 ,或添、拆项后使用均值不等式 ,可迅速获得证明 .例 1　求证( 1 1n) n <( 1 1n 1 ) n 1　 ( n∈ N ) .分析　此问题与自然…     

平均值不等式的证明及其应用

n n n设 a1，a2，…，an为正数，若∏i＝1 ai ＝1或∑i＝1 ai ＝1，借助数学归纳法可相应地证明∑ai ≥ n或i＝1 n nn∏ai ≤1．这两个不等式可用于证明平均值不等式，并由此得出三者相互等价．实例说明平均值不等式在求数列极限方面的应用． i＝1     

由课本问题到欧拉常数的推广

1　引子高中《代数》下册复习题六第33题是:“用数学归纳法证明:1+ 12+ 13+…+1n>n (n>1,n∈N)”.此题很容易用数学归纳法证明,证明后我们自然会反思:此题是如何发现的?如何用推导的方法证明.使用放缩思想可得方法一:1+ 12+ 13+…+ 1n>1n+ 1n+…+ 1n=n·1n=n .由裂项求和的思想可想到方法二:n =(n - n- 1) + (n- 1-n- 2 ) + (n- 2 - n- 3) +…+ (2 - 1) +(1- 0 ) =1n + n- 1+ 1n- 1+ n- 2+…+12 + 1+ 11+ 0 .而n - n- 1=1n + n- 1,所以欲证原不等式,只需证1n>1n + n- 1(n>1) ,(当n=1时,取等号) .此不等式显然成立,所以原不等式得证.2　探索…     

妙用导数证明数列不等式

<正>最近在研究函数导数和不等式的综合问题时遇到一类题目,参考答案让人百思不得其解,发现这类题目有共同的解法,与大家分享.题目证明不等式1+1/2+1/3+…1/n>ln(n+1)+n/(2(n+1)(n∈N^*).证明要证原不等式,只要证明1+1/2+1/3+…1/n-ln(n+1)-n/(2(n+1)>0.构造数列{a_n},其前n项和为S_n,且S_n=1     

与自然数n有关的不等式的新证法

与自然数n有关的不等式的证明通常采用数学归纳法,本文独辟蹊径,介绍一种用比较f(n 1)与f(n)的大小证明这类不等式的新方法,简便可行,颇受同学的欢迎,关键在于构造函数f(n),通过下列各例可见一斑。     

对“切线法”证明不等式的一种新拓展

“切线法”作为不等式证明的一种常用方法,稍有解题经验的人都会有所了解,但笔者从以往的文献(如文[1]、文[2])中发现,用切线法处理的问题大多是形如“满足n∑i=1xi=s,证明n∑i=1f(xi)≥C(≤C)”的一类对称的条件不等式,那么不对称的不等式是否也可用切线法来证明呢?笔者通过探究发现是可行的,本文结合实例,对该方法介绍如下。     

一个数列单调有界性的一种证明

针对高等数学教材关于重要极限limn→∞（1＋1/n）^n的存在性证明过于繁琐的问题,提出运用均值不等式证明数列{（1＋1/n）^n}单调有界的方法,以使该重要极限的整个证明过程得以简化．     

一个无理不等式及其猜想的初等证明

文[1]给出了不等式:设a,b＞0,0＜λ≤2,则(√a/a+λb)+(√b/b+λa)≤2/(√1+λ)…………………(1) 文[2]类比给出了不等式:a,b＞0,0＜λ≤3,则3(√a/a+λb)+3(√b+b+λb)≤2/3(√1+λ)……………(2) 文[2]猜想:a,b＞0,n≥2,n∈N,0＜λ≤n,则n(√a/a+λb)+n(√b+b+λa)≤2/n(√1+λ)……………(3) 文[2]只给出不等式(2)的微分法证明,未能给出初等证明,并指出如何给出初等证明是一个值得继续研究的问题.本文将给出不等式(2)、(3)的一个初等证明;因为要用到不等式(1)证明过程中的一个结论,所以,先证不等式(1).     

分析结论 巧妙证明

题设n∈N且n≥3。试证明 2~(n(n+1))/2>(n+1)! 该不等式如果采用数学归纳法证明,其过程较繁杂,若仔细分析所证结论,不等式左边的指数中底数为2,联想到二项式定理推得的组合公式2~n=C_n~0+C_n~1+…+C_n~n>C_n~0+C_n~1=1+n。即2~n>n+1(n∈N 且n>1),就可使问题迎刃而解。     

一个不等式的加强

第13届普特南数学竞赛的A—1题为2n3n<∑nk=1k<4n 36n1文[1]利用Abel变换改进不等式为　2n 13n≤∑nk=1k≤4n 36n-162文[2]进一步改进为　2n 23-2-13≤∑nk=1k≤4n 36n-163本文将探讨比3式更强的不等式.定理　对任意正整数n,有　4n 36n 124n-524≤∑nk=1k≤4n 36n-164当且仅当n=1时式中等号成立.证明　这里我们仅证4式下界不等式,4式上界不等式的证明可见文[2].为证4式下界不等式,先证下列不等式:n>4n 36n 124n-　[4(n-1) 36n-1 124n-1](其中n>1)　5要证5式,只要证　4n-16n-1 124n-1>4n-36n 124n,即只要证　(16n2-20n 5)n>(16n2-12n 1)n-1,…