经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

数学问题解答

2008年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1726 已知△ABC为锐角三角形,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于M、N,BC的中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于R点,△AMN、△BMR、△CNR的外心分别为O1、O2、O3.     

一道中考题新解

已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边分别为ＡＢ=2 ,ＢＣ =6,ＣＤ =ＤＡ =4,求四边形ＡＢＣＤ的面积 .解　如图 ,连接ＡＣ、ＢＤ .在ＣＢ上截取ＣＥ =ＣＤ =4并且连接ＡＥ ,ＤＥ .ＡＥ交ＤＢ于Ｆ .∵ＣＤ =ＤＡ =4,∴　∠ 1=∠ 2 .∵　ＡＢＣＤ四点共圆 ,∴　∠ 1=∠ 3 ,　∠ 2 =∠ 4.∴　∠ 3 =∠ 4.∴　ＢＦ为∠ＡＢＥ的平分线 .∵　ＢＥ =ＣＢ -ＣＥ =6-4 =2 ,∴　ＡＢ =ＢＥ =2 .∴　△ＢＡＥ为等腰△ .∵　ＢＦ为∠ＡＢＥ的平分线 ,∴　ＢＦ垂直平分ＡＥ .　　又∵　ＢＦＤ在一条直线上 ,∴　ＤＡ =ＤＥ =4.∴　ＤＥ =ＤＣ =ＣＥ =4.∴　△Ｃ…     

非直角三角形垂心的几条性质

<正>性质1如图1,锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,过垂心H作△HBC的外角平分线分别交AC、AB于点M、N,则△AMN是等腰三角形.证明∵MN是△HBC的外角平分线,∴∠BHN=∠CHM,易证B、C、E、F四点共圆,∴∠HBN=∠HCM,于是∠ANM=∠HBN+∠BHN=∠HCM+∠CHM=     

一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.     

一道中考题目的推广

<正>2017年山东省临沂市中考数学第23题如图1,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证:DE=DB.(2)略.从图1,我们可以看出,点E是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,所以点E为△ABC的内切圆的圆心,△ABC又有外接圆.本题是有关三角形外接圆和内切圆的一个特殊问题.它是一个定理型问题.本文给出它的严密的证明,并且分裂角平分线为等角线,并推广这个结论.     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

数学问题解答

2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH…     

等腰梯形底上一点的性质

<正>性质1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是BC上一点,若直线AE与☉ECD的另一个交点为F,则AB²=BE·EC+EF·AE.证明连结DF并延长交BC于点G,显然∠AEB=∠GDC,因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABE=∠GCD,于是△ABE∽△GCD,     

一道2015泰国数学奥林匹克题的拓展及简证

<正>题目~([1])如图1,在不等边△ABC中,∠ACB=90°,内切圆⊙I分别与边AB、BC、CA切于点D、E、F,直线AI、BI分别与直线EF交于点M、N.若G为边AB的中点,证明:M、N、D、G四点共圆.文献~([1])不仅用了多点共圆的知识,而且还用到了"根轴"的知识以及"九点圆"的知识,使证明顺利完成.     

由角平分线想到的

我们知道 ,等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 (三线合一 ) .反之 ,当题设中出现角平分线时 ,如能联想到等腰三角形 ,往往可以很快沟通思路 ,提高解题效率 .这里略举几例 .例 1在△ABC中 ,∠B的平分线交AC于D ,DE∥BC交AB于E ,EF∥AC交BC于F ,求证 :BE =FC .证明　∵　DE∥BC ,　∴　∠ 2 =∠ 3 .又∵　∠ 1=∠ 2 ,　∴　∠ 1=∠ 3 .∴　BE =DE (即△BDE为等腰三角形 ) .∵　DE∥BC ,　EF∥DC ,∴　四边形CDEF为平行四边形 .∴　FC =DE ,　∴　BE =FC .本例虽然比较简单 ,但有心的同学可以从中注意到一个有用的基…     

用旋转变换揭示一道平面几何题的结构本质

<正>(人民教育出版社八年级数学下册(2013年审定,2020年印刷)第十八章《平行四边形》第68页"拓广探索"第14题)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)根据提示,取AB的中点G,连接EG构造出△AGE,如图2.根据题意及构造条件知AG=EC,∠AGE=∠ECF,而∠BAE与∠AEB互余,∠AEB与∠FEC互余,     

一道关于圆的几何题的多解

<正>例已知△ABC内接于⊙O,(1)如图1,AD⊥BC,证明∠BAD=∠OAC;(2)运用(1)结论,如图2,H为△ABC的垂心,若∠ABC的平分线BE⊥HO,交⊙O于E,⊙O的半径为10,求弦AC的长.(1)证明如图1,延长AO交⊙O于K,连接CK.∵AK为⊙O直径,AD⊥BC,∴∠BDA=∠KCA=90°.又∠B=∠K,由三角形内角和知∠BAD=∠OAC.对于第二问,提供以下四种解题思路.思路1构造等边三角形(2)解如图3,连接BH,BO,连CH并延长交AB于G,交⊙O于F,连接BF,作直     

两圆相切的一个有趣性质

性质 如图1，若圆O1与圆O2外切于点G．四边形ABCD内接于圆O1，AD、BC分别与圆O2切于点E、F．     

一个古典几何定理的推广

统编教材《几何》二册有题: 内接于圆的四边形A刀CD对角线月c与刀D垂直相交于K.过K的直线与边摊D、BC分别相交于H和M.那么 (1)’若‘万土乃D,则c材一对B; (2)若C脚=MB,则式H土_月D. 其中(l)是卜拉美古塔(7世纪印度数学家)定理. 由于△B‘‘为直角三角形,所以M为△仪服的外心,因此可作如下推广: 定理过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边、以交点为一顶点的三角形的外心.悔 证明如图l,设圆内接四边形月刀‘刀对角线韶、BD相交于尸点,过p作直线PH土AB于H,作DP中垂线交IlP于口,交Dp于刀.我们来证明Q为△…     

数学问题解答

2013年7月号问题解答 （解答由问题提供人给出） 2031 如图,已知A、B是圆O上的两个定点,P是优弧AB上的动点．圆I与圆O内切于点L,且分别与PA、PB相切于点E、F．求证：直线EF恒与一定圆相切． 证明 连结PI并延长交圆O于点C,且与EF相交于点G．作圆O的直径CD和KL,则KL过点I．连结EI、AC、AD.     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①