微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考

数学成果通常具有三种不同的形态.第一,数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表,写在论文里、教科书里的学术形态.最后,则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.国际数学教育委员会前主席、数学家H·弗赖登塔尔H.Freudenthal(1908-1990)有一句名言:“没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后,相应地发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”(Freudenthal,Hans.1983.D idacticalPhenomenology ofMathematical Structures.Dordrecht:Reidel.P.9)事实上,教科…     

从微积分的发展看微积分的教学(续一)

积分学的历史比较微分学早得多,古希腊时代的穷竭法(还有中国的割圆术和祖（日桓）原理)都是早期的积分学。关于积分的理解,同样也因什么是无穷小,什么是不可分量而遇到困扰。即令我们把这些问题暂时放在一边,古代的穷竭法也只能用于一些最简单的曲线所成图形的面积。例如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到了不定积分     

从微积分的发展看微积分的教学

本文中我们想回顾一下微积分的发展 ,但本文不是一篇数学史的论文。尽管它涉及一些历史事实 ,但有不少事实并未经过专门的考证。而且一些重要的历史事实与历史人物全未涉及。我们希望说明的只是一点 :数学发展归根结底是为了探索大自然规律。为了实现这个目的 ,数学不可能只是某些经验事实的积累 ,也不可能仅仅依靠哲学的思辨。在人类文化的各个分支中 ,数学成了可能是唯一的依靠逻辑规则建立自己的分支。这是它对人类的发展的伟大的 ,不可代替的贡献。如果这个论点是站得往脚的 ,则它的教学过程也应该充分考虑到这一点。但是本文是关于数学…     

从微积分的发展看微积分的教学(续二)

麦克斯韦指出,为了认识例如电场这样的向量 A =(Ax,Ay,Az) ,重要的是要知道两个积分,一是 A经过某一曲面S的通量F= sAnds= s A·d s= sAxdydz Aydzdx Azdxdy,(9)另一个是 A沿某曲线L之环流C=∫L A·d s=∫LAxdx Aydy Azdz。(1 0 )尽管它们是由 A生成的,却是两类不同的物理量。(9)和(1 0 )的被积表达式称为二阶与一阶的微分形式ω2 与ω1 。(9)和(1 0 )本来都是很常见的第二型曲线积分与曲面积分。但是正如我们刚才说到的,人们开始研究向量是从代数的、形式的角度来考察的,所以我们现在也从形式的角度来看待它们,所以说它们是“微分…     

美国的微积分教学:1940-2004

美国的微积分教学在近六十年来经历了巨大的变革。其中一些变革是高等院校扩招所引起的。另外一些变革,特别是二十世纪八十年代后期的“微积分改革”,从一定程度上来说,是1965年以后需要教授更多学生而探索新的教学方法的结果。这篇调查中所采取的方式,是将教学与招生联系起来,同时还对不同时期所采用的教材进行评估。另外,在讨论中我还要引用来自其他一些数学家的评论,     

从微积分的发展看微积分的教学（续三）

我们可能有一些不适宜的习惯。其一是：例如，在讲到积分学的应用时，总是用很大的精力讲面积体积等等。其实这些问题都属于前牛顿时期的微积分，是科学上老早解决了的问题。作为引入积分概念的例子还可以，此外很难说有什么作用。对于工科学生，也很难设想哪一门后续课     

数学教学中建模能力的培养——化“冰冷的美丽”为“火热的思考”

以提高学生数学能力为目标,加强数学教学中对学生建模能力的培养,要端正学生学习态度、培养数学兴趣,倡导开放式的数学建模教学形式,以应用为驱动、采用案例教学,并注重学生软件应用能力的培养,在建模竞赛中提高学生建模能力.     

从PPT到动态几何超级画板(续)

(三)函数及其图象,是数学课程的重要内容.《超级画板》提供了制作动态函数图像的丰富的功能,并具有辅助教学和学习的一些附加的功能,例如在函数曲线上取点,作函数曲线的切线,列出函数值的表格,对曲线和x轴之间的面积填充或作细分,等等.另外,还有许多办法作出教学所需要的特殊效     

TI图形计算器辅助高中数学教学的实践与思考(续)

“探索是数学的生命线”．培养学生的质疑精神和探究能力是数学教育的主要目标之一，是学生终身发展的必备素质，TI图形计算器强大的计算机代数系统、交互式动态几何功能等构成了一个探索数学奥秘的理想实验室，给学生的发现提供了巨大的探究与实验空间．     

新概念:用问题驱动的数学教学(续)

实例1：用导数研究函数的讨论。问题1：世间万物在变化,变量无处不在。那么变量之间的关系有几种类型?     

王国维到陈建功—中国数学教育研究50年的回顾与反思(续)

3.3.4 1934年北平师范大学暑期讲习班--以刘亦珩的观点为例 按照国家教育部的指示,1934年到1944年间,北平师大、西北师院和陕西省举办过五次中学理科教员暑期讲习会①.1934年,北平师范大学主办了首次"中等教员暑期理科讲习班",为期5天,关于教学法方面的讨论包括:混合与分科、天性与兴趣、函数概念的培养、预习问题与家庭作业、作业的处理问题.主要讲演教师为傅种嘉(即:傅种孙)和刘亦珩.傅种孙的讲演内容<教材的实际补充及实际数学方面>包括:(1)自然数与遗传性;(2)扩张与因袭;(3)零之特性及其所引起的纠纷;(4)比例与相似性;(5)求积术与割补法;(6)圆.刘亦珩讲演题目为<教材的理论方面问题>,该年的10月以<中等数学教育改造问题>②为题目正式发表,包括四个方面的内容:现在中等数学教育之通弊、数学教育之意义、教材之选择与改良、教学法之讨论,这也是讲习班学习讨论的主要理论问题.     

从融合到创新:基于GeoGebra的数学深度教学

面对“怎样培养人”、“如何让核心素养落地”等关键问题,数学课堂教学变革需向纵深推进,以深度教学为抓手,让学生的深度学习真正发生在数学课堂之上.鉴于高中数学学科的抽象性与概括性,为实现数学课堂教与学的良性互动,让学习在抽象的数学与生动的现实间构建联系通道,高中数学教学离不开现代教育技术的支持和助力.本文以GeoGebra为例,谈谈如何创生追求品质与意义的深度教学课堂,促进学生的深度学习,发展学生的数学学力.     

关于在大学数学教学中加强几何教学的几点意见(续)

3.关于大学数学教学中几何内容的建议关于解析几何学和微分几何学 ,在大学非数学专业的现行数学课程的设置中已经有所体现 ,特别是在以萧树铁先生为主编的“面向 2 1世纪课程教材”—《大学数学》五卷本中的第 2本和第 3本中作了生动的叙述。如果在教学实践中 ,注意强调几何观念、强调培养学生的空间想象能力和直觉能力 ,将会取得很好的效果。但是 ,从当代数学取得的成就和发展前景 ,以及数学在各个学科中日益广泛和深入的运用来看 ,在大学数学教学中还需要增加一些几何内容。我认为 ,那就是关于拓扑学、微分流形、黎曼几何的初步知识。拓扑…     

“一元二次方程的应用(2)”教学实录与评析

<正>这是2013年3月13日嵊州市"高效课堂"八年级数学主题教研活动的一节研究课,重点放在教师正确理解和把握教学内容,突出数学教学的本质,关注数学知识的形成过程.课堂教学要体现新课程的基本理念,具有创新性、活动性、实效性、愉悦性和成就感.教学内容是浙教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第2章第3节"一元二次方程的应用(2)".     

统计学:二十一世纪的挑战和机遇(Ⅳ)

(接上期)6统计教育6.1综述显然,解决统计学者的短缺问题必须改进教育系统,使它能够吸引、培养、维持并奖励那些有天分的下一代学生。这种改进需要从小学到就业人员再教育这样大的范围内进行。必须增加能胜任统计教学的K-16教师队伍。AP 统计学的飞速增长以及把大学水平的教学内     

从激活到升华:积累数学活动经验的基本路径——探索三角形相似的条件(3)教学片断赏析与思考

《义务教育课程标准·数学》(2011年版)[1](以下简称"课程标准")指出:"数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标,是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀,是在数学学习活动过程中逐步积累的."江苏省"十二五"重点规划资助课题《基于积累初中生"数学基本活动经验"的教学设计研究》正是从积累数     

从一个案例引发对解题教学的思考

前苏联数学教育家奥涅加相说过"必须重视很多习题潜在着进一步扩展其教学功能,发展功能和教育功能的可能性……".习题是教学必不可少的载体,认真钻研习题,拓展其教学功能,不仅是教师组织教学探究的重要素材,也是学生高考复习的有效途径之一,更是减轻学生负担,跳出题海的重要渠道.本文将要谈到2010年的一道高考选择题,它属于中档常规题,但在学生的解法中,我们可以发现很多问题.     

回归本色:从导学案到导学笔记的实践与思考

新一轮课改以来,课堂教学研究掀起课堂重建、模式迭出的热潮,"先学后教,以学定教,当堂训练"模式风行一时,为此模式服务的各种名异实同的课堂教学载体如导学案、讲学稿、活动单、任务单等(以下统称导学案)繁花似锦.但随着课程改革的深入和《义务教育数学课程标准(2011年版)》的正式发布,一线教师自发对课堂教学实践进行深刻反思,回归本色的数学教学思潮隐隐出现,导学案的使用在全国范围内步入低潮.笔者所在     

从(a1+a2+…+am)n项数的探究——谈点数学教学的看法

在“培养创新精神与实践能力”的教育理念下，研究性学习已成为新课程改革中重要内容之一，而研究型试题在前两年高考的基础上以更高的质量、更新的面貌出现在2003、2004年高考数学试卷中，并将思维品质的优劣和各种数学能力的考查融人其中，许多考生不适应这种“新题”，“2003年高考数学让尖子生考哭了”，面对这种新情况、新问题，作为教学第一线的教师准确把握新动态以及研究性教学的发展方向显得尤其重要．本文通过对一个例子的探究，提出对教学的一点看法．