关于3-点临界图的一个猜想的证明

设γ(G) 是图G的点控制数. 如果对任意的v ∈ V (G), 都有γ(G?v) < γ(G) 成立, 那么称G为γ-点临界图. 本文主要给出Ananchuen 和Plummer 提出的一个猜想的证明, 得到了如下的结果:若G是无K_1,7的3-点临界图, 且阶数为不小于18的偶数, 则除几类特殊图外, G 均有完美匹配.     

关于Sumner-Blitch猜想的一个注记

设G是一个图。G的最小度，连通度，控制数，独立控制数和独立数分别用δ，k，γ，i和α表示，图G是3－γ-临界的，如果γ=3，而且G增加任一条边所得的图的控制数为2.Sumner和Blitch猜想：任意连通的3－γ临界图满足i=3，本文证明了如果G是使α＝k 1≤δ的连通3－γ-临界图，那么Sumner-Blitch猜想成立。     

γ-稳定图

本文我们引进γ- 稳定图,γ 稳定图和γ稳定图的概念,图G是γ- 稳定图(γ 稳定图),若任意删去G(增加G)的一条边都不改变G的控制数γ(G).一个γ稳定图指既是γ- 稳定图又是γ 稳定图的图.我们给出一些γ-(γ ,γ) 稳定图的性质和实例.     

极大γt-临界图

如果对没有孤立点的图G的任何一个不相邻于一次点的点υ,子图G-υ的全控制数小于图G的全控制数,则称G是全控点临界的.这类图又被称为γt-临界的.进一步地,如此一个图的全控制数为k,则称它为k-γt-临界的.该文主要是给出一个满足n=△(G)(γt(G)-1)+1的图类的结构性的证明.     

极大非独立集可削去的因子临界图

如果对一个简单图G的每一个与G的顶点数同奇偶的独立集I，都有G-I有完美匹配，则称G是独立集可削去的因子临界图．如果图G不是独立集可削去的因子临界图，而对任意两个小相邻的顶点x与y，G xy足独立集可削去的因子临界图，则称G足极大非独立集可削去的因子临界图，本刻画了极大非独立集可削去的因子临界图。     

图的连通控制数与无赘数的一个不等式

设G是连通图,γ_C(G)和ir(G)分别表示G的连通控制数和无赘数。孙良于1990年证明了γ_c(G)≤4ir(G)—2,同时提出猜想γ_c(G)≤3ir(G)—2。本文进一步研究γ_c(G)与ir(G)的关系,并证得上述猜想成立。     

无爪3 -正则图的独立数

如果图G的一个集合X中任两个点不相邻, 则称 X 为独立集合. 如果 N[X]=V(G), 则称X是一个控制集合. i(G)(β(G))分别表示所有极大独立集合的最小(最大)基数. γ(G)(Γ(G))表示所有极小控制集合的最小(最大)基数. 在这篇论文中, 作者证明如下结论: (1) 如果 G ∈R 且G 是n阶3 -正则图, 则 γ(G)= i(G), β(G)=n/3. (2) 每个n阶连通无爪3 -正则图 G, 如果 G(G≠ K₄) 且不含诱导子图K₄-e, 则 β(G) =n/3.     

P3-支配图哈密尔顿性的两个充分条件

在文献[3]中介绍了一个新的图类-P3-支配图.这个图类包含所有的拟无爪图,因此也包含所有的无爪图.在本文中,我们证明了每一个点数至少是3的三角形连通的P3-支配图是哈密尔顿的,但有一个例外图K1,1,3.同时,我们也证明了k-连通的(k≥2)的P3-支配图是哈密尔顿的,如果an(G)≤k,但有两个例外图K1,1,3 and K2,3.     

关于图的连通DOMINATION的若干结果

设G是n阶连通图.γ_c(G),d_c(G),i(G)和ir(G)分别表示G图的连通Domination数,连通Domatic数,独立Domination数和Irredundance数,k(G)表示G的连通度.本文证明了下列结论. (1) 如n≥3,则i(G) γ_c(G)≤n [n/3]-2; (2) γ_c(G)≤4ir(G)-2; (3) γ_c(G)≤k(G) 1; (4) 如G≠K_n,则d_c(G)≤k(G). 此外,本文给出了满足等式γ_c(G) γ_c(G)=n和γ_c(G) γ_c(G)=n 1的图G的一个特征.     

关于给定控制数的连通二部图的极大图的刻画

本文研究了给定控制数的连通二部图的极大图的结构问题.利用分类讨论思想和数学归纳法,刻画了控制数等于3和大于等于4这两类边数达到极值时的连通二部图.本文所得结果可用于进一步研究给定全控制数的连通二部图的极大图问题.     

关于(ξ,k)-临界图

设 G为连通图 ,且ξ(G) =k≥ 1 ,若对 G中任意边 e,均有ξ(G\e) =k - 1 ,则称 G为 (ξ,k) -临界图 .本文刻划了ξ- 1 -临界图的若干性质 ,给出了一个图为ξ- 1 -临界图的一些充分或必要条件 ,以及一些ξ- 1 -临界图类 .     

关于图是(r,n)-临界图的一个邻域条件

设n，m和r是满足r≥2，n≥0，m≥3的整数，且当r是奇数时，假设r≥m-1．称一个图为K1,m-free，如果它不包含以Kt,m为导出的子图．称一个图G为一个（r,n）-临界图，如果在删去G的任意n个点后，剩下G的子图都有一个r-因子,设G是一个Kl,m-free的（n＋1）-连通图，且阶为｜G｜以及r（｜G｜≥n）是偶数,证明了：如果G的最小度至少是r＋n＋m-1，阶｜G｜≥8r5＋n，并且对V（G）的任意独立点集{x1，x2}都有｜NG（x1）∪NG（x2）｜≥（｜G｜＋n）／2，那么G是一个（r,n）-临界图．关于G的最小度和｜NG（x1）∪NG（X2）｜的下界是紧的。     

Hamilton连通图的一个充分条件

Let G be a3-connected graph with n vertices.The paper proves that if for each pair of verti-ces u and v of G,d(u,v)=2,has|N(u)∩N(v)|≤α（αis the minimum independent set num-ber),and then max{d(u),d(v)|≥n 1/2,then G is a Hamilton connected graph.     

关于图是(g,f,n)-临界图的充分条件

设G是一个图. 设g和f是两个定义在V(G)上的整值函数使得对V(G)所有的顶点x有g(x)f(x). 图G被称为(g,f,n)-临界图,如果删去G的任意n个顶点后的子图都含有G的(g,f)-因子. 本文给出了图是(a,b,n)-临界图几个充分条件. 进一步指出这些条件是最佳的. 例如,如果对V(G)所有的顶点x和y都有g(x)＜f(x), n+g(x)dG(x)和g(x)/(dG(x)-n)f(y)/dG(y),则G是(g,f,n)-临界图.     

关于图的上可嵌入性的一个充分条件

本文主要证明:设G是一个(k+1)-边连通的n阶简单图,其围长为g,如果对G的任意独立集I(G)={v_i|1≤i≤k~2+2},k=0,1,2,均满足那么图G是上可嵌入的,而且下界是紧的.     

关于临界图的一个定理的推广

叶宏博证明了当Δ≥５时没有度序列是２ｒΔ２ｒ的Δ－临界图．Ｋａｙａｔｈｒｉ推广了上述结果,证明了当Δ≥５时,没有同时满足下列两个条件的Δ－临界图：（ａ）Ｇ有一个２度点ｘ;设ｙ,ｚ是ｘ的两个邻接点;（ｂ）有一主项点ｙ１∈ＮＧ（ｙ）（ｙ１≠ｙ）与－２度点邻接．我们对上述结果进一步推广,证明了条件（ｂ）不是必要的;只要ｙ１与一个度数小于Δ－１的点邻接即可（可以不是２度点）．     

关于（ξ,k）—临界图

设G为连通图,且ξ（G）=k≥1,若对G中任意边e,均有ξ（G\e）=k-1,则称G为(ξ,k)-临界图。本文刻划了ξ-1-临界图的若干性质,给出了一个图为ξ-1-临界图的一些充分或必要条件,以及一些ξ-1-临界图类。     

(a,b,n)-临界图的几个充分条件

设G是一个图 .设g和f是两个定义在V(G)上的整值函数使得对V(G)所有顶点x有g(x) ≤f(x) .图G被称为 (g ,f,n) 临界图 ,如果删去G的任意n个顶点后的子图都含有G的 (g ,f) 因子 .本文给出了图是 (a ,b ,n) 临界图几个充分条件 ,即度和邻域条件 .进一步指出这些条件是最佳的 .     

临界h-边-连通图的临界度

图G称为k-临界h-边-连通的,若h=λ(G)且对每个k顶点集{u1,…,uk}有λ(G-{u1,…,ui})≤λ(G-{u1,…,ui-1})-1,I≤k.若G是k-临界h-边-连通但不(k 1)-临界h-边-连通,则记之为(h*,k*)λ.本文证明了:存在(h*,k*)λ图的充要条件是(1)1≤k≤[(h 1)/2],h≡0,1,2(mod 4);1≤k≤[(h-1)/2],h≡3(mod 4);或(2)k=h,G=Kk 1.     

关于△-临界图的构造

研究了△-临界图的构造,并且给出了一种由给定△-临界图构造新的△-临界图的方法。