巧用1/(n(n k))=1/k((1/n)-(1/(n k)))解竞赛题

一、用来解方程例1(1999年河北省竞赛题)方程1/(x(x-1)) 1/(x(x 1)) … 1/((x 1997)(x 1998)) =(1999)/(2000)的根为()．(A)1999 (B)-2 (C)-1999或2 (D)1999或-2解根据公式原方程化为1/(x-1)-1/x 1/x-1/(x 1) … 1/(1/(x 1997))-1/(x 1998)=(1999)/(2000),1/(x-1)-1/(x 1998)=(1999)/(2000),(x 1998)-(x-1)=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),1999=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),     

反函数的几个性质及其应用

本文就反函数的几个重要性质作些归纳。然后举例说明这些性质在解题中的应用。性质1 若函数y=f(x)在其定义域D(值域为B)内有反函数y=f~(-1)(x),那么:f~(-1)[f(x)]=x,且f[f~(-1)(x)]=x。例1 设f(x)=(2x+1)/(4x+3)(x∈R且x≠-3/4),     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

值域内取不到的函数值

现行的参考书和许多数学刊物,都不时出现求值域的一种方法——根据反函数的定义域求原函数的值域,即:要求y=f(x)的值域,可先求出y=f~(-1)(x),y=f~(-1)(x)的定义域即为y=f(x)的值域。例求函数y=x+6(x-9)~(1/2)-1的值域。解 y=((x-9)~(1/2))~2+2·3·(x-9)~(1/2)+3~2-1=((x-9~(1/2))+3)~2-1 ∴ (y+1)~(1/2)=(x-9)~(1/2)+3, (x-9)~(1/2)=(y+1)~(1/2)-3,x=y-6(y+1)~(1/2)+19。所给函数的反函数为y=x-6(x+1)~(1/2)+19。其定义域[-1,+∞)即为所求值域。     

关于无理方程((a-x)~(1/2))+((x-b)~(1/2))=(a-b)~(1/2)

这是现行初中代数教材上的一道习题: 解关于x的方程 (a-x)~(1/2)(x-b)~(1/2)=(a-b)~(1/2)(A) 限制在条件a≥b,b≤x≤a下,将(A)两边平方,得 2(a-x)(x-b)~(1/2)=0。方程的两根是x=a或x=b。研究了(A)型方程的特点后来解这类无理方程是相当简捷的.现举数例如下。例1 解方程(100-x)~(1/2)+(x-64)~(1/2)=6。解:将原方程化为(A)型:     

高考数学模拟卷(一)

一、选择题: 　　1.(理)复数z=-1/2+ 3/2i,则z2= 　　A.-1/2+3/2i B.-1/2-3/2i C.3/2-1/2i D.3/2+1/2i 　　(文)函数f(x)=(x+4/2-x)的定义域为 　　A.(-2,4] B.[-4,2) C.(-4,2) D.[-4,2]……     

函数g(x)=(1+1/x)x+1的性质及其应用

近年高考时常出现与函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)有关的压轴题,如2007年四川理科卷的第22题及2001年全国理科卷的第20题,这两道题都涉及了函数f(x)的相关性质.有关函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)的两个重要性质以及结论,文献[1]中给出了总结和证明:     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

涉及函数f(x-1)与f~(-1)(x-1)的高考题随想

函数是中学数学的重要内容,而反函数是其中的一个难点,尤其是复合函数的反函数,从形式上又增加了难度,更使考生望而却步.今年陕西省的高考理科数学题中就涉及到了函数f(x-1)与f~(-1)(x-1)的图像问题.考生普遍反映这道题较难.本文就以分析这道高考题为机会来进一步探讨一下函数f(x a)与f~(-1)(x a)的关系问题,以期对考生在这方面能有帮助.     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

函数f(x)=[1+1/x]x的两个基本性质及应用

近年来,与函数f(x)=(1+1/x)x有关的试题在高考中时有出现,由于目前中学数学教材中,对函数f(x)=(1+1/x)x的性质介绍甚少,因此,学生们在求解这类问题时,常常束手无策、颇感为难.本文给出函数f(x)=(1+1/x)x在(0,+∞)上的两个基本性质及应用,供大家参考.     

一个重要函数不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x及其应用

在导数的应用里很容易得到这样一个重要不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x,(x＞-1,当且仅当x=0时取等号),通过利用这个不等式或者它的等价变形可以用来证明一些数列不等式或者函数不等式的问题,下面搜集了在近年来的部分省份高考试题中的一些应用.例1 (2008年山东理21)已知函数f(x)=1/(1-x)n+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.     

泰勒公式的拓广

<正> 按泰勒公式,用~(P(n—1))(x)=f(0)+ f′(0)x+f″(0)x~2/2!+…+f~(n-1)(0)x~(n-1)/(n-1)!近似f(x),余项为f~(n)(ξ)x~n/n!,其中ξ介于0与x间。     

一个等价的萊布尼茲定理

§1.设函数f(x),g(x)在区间ι上高阶可微,则下列恆等式成立: f′g十fg′=(fg)′, f″g十fg″=(fg)″-2(f′g′), f′″g+fg″′=(fg)″′-3(f′g′)′, f″″g+fg″″=(fg)″″-4(f′g′)″+2(f″g″),它们之间有关系 f~(n)g+fg~(n)=(f~(n-1)g+fg~(n-1))′--(f~(n-1)g′+f′g~(n-1))。§2.现在我们规定 f~(n)g+fg~(n)=A_0(fg~(n)+A_1(f′g′)~(n-2)+…++A_[n/2]~(f~([n/2])g~([n/2]))(n-2([n/2])),其中高斯记号[n/2]表示不超过n/2的最大正整数。由于未定系数A_0,A_1,…,A_[n/2]的数值函数f(x),g(x)无关,不妨选取 f(x)=e~(ax),g(x)=e~(bx),就有 f~(n)g+fg~(n)=(a~n+b~n)e~((a+b)x),以及 (f~(ι)g~(ι))~((n-2ι))=(a+b)~(n-2ι)(ab)~ιe~((a+b)x)(ι=1,2,…,[n/2])。代入规定的等式中,两边约去公因子e~((a+b)x)以后,立刻得到     

考点5 反函数

1.(江苏卷,2)函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log2x-23(B)y=log2x-23(C)y=log23-2x(D)y=log23-2x2.(山东卷,2)函数y=1-x x(x≠0)的反函数的图像大致是().(A)(B)(C)(D)3.(全国卷,3)函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是().(A)y=(x+1)3(x≥-1)(B)y=-(x+1)3(x≥-1)(C)y=(x+1)3(x≥0)(D)y=-(x+1)3(x≥0)4.(辽宁卷,5)函数y=ln(x+x2+1)的反函数是().(A)y=ex+2e-x(B)y=-ex+2e-x(C)y=ex-2e-x(D)y=-ex-2e-x5.(天津卷,9)设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为().(A)(a22-a1,+∞)(B)(-∞,a22-…     

不等式的非常规问题举例

<正>在现行教材中,只讲了解不等式的常规题,非常规题还很多,而且有一定的难度,这类题的解法灵活,技巧性强,常规方法根本不能求解,现解几例,供同学参考.例1解不等式(x+1)(x+3)(x-4)(x-7)+(x-1)(x-3)(x+4)(x+7)<96.分析若采取左边展开的方法非常繁,若构造函数结合奇偶性,解法妙不可言.解令f(x)=(x+1)(x+3)(x-4)(x-7)+(x-1)(x-3)(x+7)(x+4)     

新题征展(76)

A题组新编 1.已知函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x). (1)若方程f(x)-√4-x2+1=0有唯一的正根α,方程f-1(x-1)-√4-x2=0有唯一的正根β,则α与β间的关系为__.     

考点3 映射与函数

1.(湖南卷,2)函数f(x)=1-2x的定义域是().(A)(-∞,0](B)[0,+∞)(C)(-∞,0)(D)(-∞,+∞)2.(浙江卷,3)设f(x)=x-1-2,11+x2,x≤1,x>1,则f[f(21)]=().(A)21(B)143(C)-59(D)42153.(山东卷,6)函数f(x)=sin(πx2),ex-1,x-≥1<0.x<0,若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为().(A)1(B)-22(C)1,-22(D)1,224.(广东卷,11)函数f(x)=11-ex的定义域是.5.(江苏卷,15)函数y=log0.5(4x2-3x)的定义域为.6.(江苏卷,17)已知a、b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=.考点3映射与函数1.由1-2x≥0,得x≤0,选(A).2.∵f(12)=-23,∴f[f(21)]=f(-23)=143,故…     

Kantorovitch算子的L^＊M逼近

1.符号与基本结果对对[0,1]上的可积函数f(x),Kantorovitch算子定义为: K_n(f,x)=(n+1)sum from k=0 to n(p_(n-K)(x)integral from ?(f(t)dt)其中p_(n-K)(x)=(n K)x~K(1-x)~(n-K),I_K=[K/(n+1),(K+1)/(n+1)]。记M(u)是N-函数,N(v)是其young意义下的余函数,用M(u)∈△_2表示,存在正数c,u_0满足