偶函数的一个性质

我们知道奇函数f（x）如果在x=0处有定义，那么就有f（0）=0．其实偶函数也有一个对偶形式的性质：     

偶函数的一个性质

在学习函数的奇偶性时,我们经常会遇到已知函数为偶函数,求参数取值范围等的逆问题.这时若能灵活利用偶函数的特性,巧添绝对值,则能简化解题.若f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x),于是可巧添绝对值,则有性质f(x)=f(-x)=f(-|x|)=f(|x|).下面例谈在解题中的应用.     

偶函数的一个性质及其应用

在学习函数的奇偶性时,我们经常会遇到已知函数为偶函数,求参数取值范围等问题,这时若能灵活利用偶函数的特性,巧添绝对值,则能简化解题过程。     

奇偶函数一个性质的妙用

学了奇函数与偶函数后 ,我发现它们的定义中x和 -x均同时出现 ,联想公式|x|=x ,x≥ 0 ,-x ,x <0 ,我发现奇函数与偶函数具有以下两个新的性质 :性质 1　若 f(x)是定义在M上的奇函数 ,则当x <0时 ,有f(x) =- f(|x|) .性质 2　若 f(x)是定义在M上的偶函数 ,则对任意的x∈M ,都有f(x) =f(|x|) =f(-x) =f(- |x|) .这两个性质的证明一目了然 ,这里略去 .这两个性质虽简 ,但在解某些数学题时 ,却起着重要的桥梁作用 .例 1　已知 f(x)是奇函数 ,且当x >0时 ,f(x) =x(1+x) ,求当x <0时 ,f(x)的表达式 .解　当x <0时 ,知 |x|>0 .又 f(x)是奇函数 ,…     

巧用偶函数的一个性质解题

性质若f(x)是偶函数,则f(-X)=f(x)=f(|x|)=f(-|x|)。巧用这一性质可避免讨论、优化解题。例1 已知偶函数f(z)在[0, ∞)上是增函数,且满足厂f(2m 5)相似文献   

偶函数的一个简单性质及其应用

偶函数的一个简单性质及其应用４１７６００湖南新化三中曾思江众所周知，如果对于函数ｆ（ｘ）定义域内的任何一个ｘ，都有ｆ（—ｘ）＝ｆ（ｘ）成立，则称ｆ（ｘ）为偶函数．根据偶函数的这一定义，不难得出下面的性质：若函数ｆ（ｘ）是偶函数，则都有ｆ（ｘ）＝ｆ（｜...     

巧用偶函数的一个重要性质解题

性质妙用 偶函数有一个重要性质：若ｆ（ｘ）是偶函数,则下面巧用这一重要性质,简化一类求参数问题的讨论． 例１ 设偶函数ｆ（ｘ）在区间上单调递增,且满足试求实数ａ的取值范围． 解 由ｆ（ｘ）为偶函数知上单调递增, 例２ 已知偶函数ｆ（ｘ）在是增函数,且满足ｆ（２ｍ＋５）＜ｆ（ｍ２＋２）,试求实数ｍ的范围． 解偶函数上是增函数, 例３ 已知定义在上偶函数在区间［０,２］ 上单调递减,且求实数ｍ的范围． 解 由ｆ（ｘ）是偶函数知 例４ 若偶函数ｆ（ｘ）在上单调递增且,试求不等式的解集．０,又由ｆ（ｘ）为偶函数知上单…     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

奇偶函数的分析性质

<正> 函数的奇偶性是函数的重要性质之一,具有奇偶性质的函数的许多特性在理论上和应用上都具有重要的意义。为了下面叙述上的方便,不妨给出定义如下: 一、函数奇偶性的定义对于给定的函数f(x),若f(-x)=-f(x),则f(x)称为奇函数;若f(-x)=f(x),     

一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数的方程

研究一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数方程的可解性,利用初等及组合方法给出了该方程的一系列正整数解,并证明了该方程的所有奇数解必为奇素数p（≥5）的方幂.     

一类多目标非线性规划广义Lagrange对偶函数的几个性质

本文对多目标非线性规划问题（VP）：minf(x)s.t. β（x)∈-P,x∈C引起了一种广义的Lagrange对偶函数Q（ω）=inf{f(x)+&;lt;ω，β（x)&;gt;|x∈C}，并讨论它的性质，得到了类似文献[1]中的结果。     

一类多目标非线性规划广义Lagrange对偶函数的几个性质

本文对多目标非线性规划问题（ＶＰ）：ｍｉｎｆ（ｘ）ｓ．ｔ．β（ｘ）∈－Ｐ，ｘ∈Ｃ引进了一种广义的Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶函数Ｑ（ｗ）＝ｉｎｆ｛ｆ（ｘ）＋〈ｗ，β（ｘ）〉｜ｘ∈Ｃ｝，并讨论它的性质，得到了类似文献［１］中的结果．     

怎样编制奇偶函数

怎样编制奇偶函数曾令伶（湖南新宁第一中学４２２７００）１由任意函数编制奇偶函数命题１设ｆ（Ｘ）是一个函数，若ｊ（Ｘ）士ｊ（一Ｘ）有意义（即ｆ（ｘ）的定义域非空，且定义域在数轴上关于原点对称），则Ｆ（一一ｊ（Ｘ）个ｊ（一。）是偶函数，以。）一人。）一ｆ...     

深入理解偶函数概念

本文帮助同学们深入理解偶函数概念 .1　形象化感受作出函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象如图 1,你觉得这个图 1　ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象图象与 ｙ轴之间有什么关系吗 ?若把 ｙ轴形象地看成“平面镜” ,把图象右支看成一个物体 (比如弯曲的铁丝 ) ,那么左支就可以看成什么 ?图象左右两支关于ｙ轴对称 .当把 ｙ轴看成平面镜时 ,那么图象左支可看成右支的像 ,左右两部分成双成对 ,我们不妨把它比喻作一对“配偶” .请同学们自己作出函数 ｆ(ｘ) =- |ｘ|的图象 ,再作类似如上的思考 .数学家就把图象关于 ｙ轴对称的一类函数通称为偶函数 ,“偶”就是“配偶…     

关于Smarandache对偶函数

定义Smarandache对偶函数S*(n)为最大的正整数m使得m!|n.定义另一种双阶乘函数S**(n)为最大的正整数2m-1使得(2m-1)!!|n,其中2 n;且当2|n时,为最大的正整数2m使得(2m)!!|n.本文的主要目的是利用初等方法研究一个包含S**(n)的无穷级数的收敛性,并给出一个有趣的恒等式.     

构造奇偶函数解题

函数的奇偶性是函数的重要性质之一 .在平时的教学中 ,我们对于判断函数的奇偶性 ,或直接由函数的奇偶性解题 ,都比较熟悉 .但对于构造函数 ,再利用函数的奇偶性解题 ,却没有引起人们的注意 .1　求值例 1　设ｘ ,ｙ为实数 ,且满足关系式 ;(ｘ- 1 ) 3 1 997(ｘ - 1 ) =- 1(ｙ- 1 ) 3 1 997(ｙ- 1 ) =1 .,则ｘ ｙ=( 1 997年全国高中数学联赛试题 ) .解 :令ｆ(ｔ) =ｔ3 1 997ｔ,易知ｆ(ｔ) =ｔ3 1 997ｔ是奇函数 ,且在 ( -∞ , ∞ )上是增函数 .又由已知条件有 :ｆ(ｘ- 1 ) =ｆ( 1 -ｙ) ,所以ｘ - 1 =1 -ｙ ,由此得ｘ ｙ =2 .故ｘ ｙ=2 .例 …     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

三角形的一个性质

1性质的叙述性质已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.(即S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3)2性质的证明图1证明如图1,设PF=λ2PB,PD=λ3PC,由平行四边形法则可得PF PD=λ2PB λ3PC=P     

椭圆的一个性质

性质　如图 1 ,T1 (-t,0 ) ,T2 (t,0 ) (0 b >0 )的长轴A1 A2上关于椭圆中心O对称的两定点 ,P是椭圆上的动点 ,当点P沿着弧A2 PB2　图 1　椭圆从A2 向B2 运动时 ,则∠T1 PT2 逐渐变大 ,并且当点P与点B2 重合时 ,∠T1 PT2 达最大值 .证　连结OP ,记|PT1 |=r1 ,|PT2 | =r2 ,|OP|=r,在△POT1 中 ,由余弦定理知　　　　r21 =t2 +d2 - 2tdcos∠POT1 (1 )同理　　r22 =t2 +d2 +2tdcos∠POT1 (2 )由 (1 ) +(2 )得r21 +r22 =2t2 +2d2 .又在△PT1 T2 中 ,由余弦定理知cos∠T1 PT2 =r21 +r22 - 4t22…     

圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线有许多优美的性质,本文介绍圆锥曲线的一个与直线方向有关的有用的性质。先看如下命题: