Laminar free convection flow of an electrically conducting fluid from a vertical plate with uniform surface heat flux and variable wall temperature in the presence of a magnetic field

Zusammenfassung Das Problem der freien Konvektionsströmung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit im Bereich einer senkrechten Platte ist in zwei Fällen gelöst: a) Die Platte hat einen gleichförmigen Oberflächenwärmefluss. b) Die Platte besitzt eine veränderliche Temperatur. Es wird festgestellt, dassähnliche Lösungen dann zustande kommen, wenn das Magnetfeld, das senkrecht zur Platte wirkt, im Falle a) proportionalx ^–1/5 und im Fall b) proportionalx ^(n-1)/4 ist, wox der längs der Platte gemessene Abstand von ihrem niedrigsten Punkt ist. Es wird weiter festgestellt, dass die Nusselt-Zahl mit zunehmender magnetischer eldstärke geringer wird, während die Grenzschtdichtigkeit zunimmt.     

An oscillating plate in a binary mixture of hemihedral fluids

Summary The sinusoidal oscillations of an infinite plate in a mixture of two incompressible Newtonian hemihedral fluids are investigated. The solution is compared with the previously derived corresponding one for holohedral fluids.

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Zusammenfassung Es werden die sinusförmigen Schwingungen einer unendlichen Platte in einer Mischung von zwei inkompressiblen Newtonschen hemiedrischen Flüssigkeiten untersucht. Die Lösung wird mit der früher erhaltenen entsprechenden Lösung für holoedrische Flüssigkeiten verglichen.

     

Magnetohydrodynamic free convection flow about a semi-infinite plate at whose surface the heat flux is uniform

Summary The magnetohydrodynamic free convection flow of an electrically conducting fluid past a vertical, semi-infinite plate in a strong cross field has been examined when a uniform heat flux is present at the plate. Formulation in terms of a characteristic length has enabled a full numerical solution to be obtained providing details of skin friction and heat transfer at all stations along the plate for a range of Prandtl numbers appropriate to liquid metal coolants. Series solutions are also presented which give good estimates of the skin friction and heat transfer coefficients.

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Zusammenfassung Die magneto-hydrodynamische Strömung mit freier Konvektion in einer elektrisch leitenden Flüssigkeit entlang einer vertikalen halbunendlichen Platte mit einem gleichförmigen Wärmefluß ist in einem starken Querfeld untersucht worden. Die Einführung einer charakteristischen Länge hat eine vollständige numerische Lösung ermöglicht, die die Reibungskraft und den Wärmeübergang entlang der Platte ergibt, für einen Bereich von Prandtlzahlen geeignet für Flüssigmetallkühler, Reihenlösungen, die gute Schätzungen von Reibungskraft und Wärmeübergangs-Koeffizienten ermöglichen.

     

Friction and heat transfer of compressible flow into an infinite lattice of flat plates

Zusammenfassung Es wird eine Analyse vorgelegt, die erlauben soll, die Bestimmung der Reibungs-und Wärmeübergangs-Kenngrössen einer kompressiblen, laminaren Strömung in einem unendlich grossen Gitter flacher Platten vorzunehmen.Die Ergebnisse weichen für niedrige Reynoldssche zahlen bedeutend von jenen einer einzelnen flachen Platte ab. Die Rechnungen führen zu vergrössertem Reibungswiderstand, verminderter Rückbildung und für den Fall, dass die Flüssigkeit die Wand erwärmt bzw. abkühlt, zu vergrösserter bzw. verkleinerter Nusselt-Zahl.     

A series method for the solution of laminar boundary layers on moving surfaces

Summary A general series method is reviewed for the solution of laminar, two-dimensional boundary layers on moving surfaces. Various methods for the determination of the radius of convergence of such series are discussed. Three illustrative examples are given, namely the vapour boundary layer induced by film condensation on a vertical plate and the outer layer boundary layers produced by natural convection at high Prandtl number on horizontal and vertical plates.

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Zusammenfassung Eine allgemeine Reihenmethode wird für die Lösung der laminaren zweidimensionalen Grenzschichten entlang einer bewegten Fläche geprüft. Verschiedene Methoden werden für die Bestimmung des Konvergenzradius solcher Reihen diskutiert. Drei Beispiele werden angegeben, nämlich die Dampfgrenzschicht, die durch Filmkondensation auf einer senkrechten Platte erzeugt wird, und die äussere Grenzschicht, die durch natürliche Konvektion bei höheren Prandtl-Zahlen auf vertikalen und horizontalen Platten erzeugt wird.

     

Slow rotation of a sphere in a slightly viscoelastic fluid contained in an infinite cylinder

Zusammenfassung In den letzten Jahren haben viskoelastische Strömungen an Bedeutung gewonnen. Wegen des nichtlinearen Charakters dieser Probleme ist es notwendig, vereinfachende Verfahren zu verwenden.Langlois undRivlin haben eine Anzahl solcher Aufgaben mit besonderen mathematischen Verfahren gelöst. In der klassischen Dynamik viskoser Flüssigkeiten ist das Problem der langsamen Bewegung einer Kugel in einem unendlichen Kreiszylinder durchBrenner undSonshine behandelt worden. In der vorliegenden Arbeit wird die Aufgabe verallgemeinert und die durch eine rotierende Kugel erzeugte Strömung einer schwach viskoelastischen Flüssigkeit in einem unendlichen Kreiszylinder untersucht. Die Bewegung wird so langsam vorausgesetzt, dass Trägheitsglieder vernachlässigbar sind. Das Geschwindigkeits- und das Druckfeld werden analytisch untersucht; ferner wird ein anschauliches Beispiel durchgerechnet und die Strömung im Bilde dargestellt.     

Thermally driven acoustic oscillations,part V: Gas-liquid oscillations

Summary Thermally driven gas oscillations are considered which drive a liquid column at the cold open end. The frequency of the oscillations is lowered by the inertia of the liquid and the Stokes boundary layer is thick. Optimal conditions for thermal driving in the gas occur at correspondingly big tube radii. Experiments conducted inN ₂ confirm the theoretically calculated stability limits. With hot air driving a water column, a low critical temperature ratio for the oscillations of about 1.5 was observed.

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Zusammenfassung Thermisch getriebene akustische Schwingungen werden untersucht die eine Flüssigkeitssäule am kalten offenen Ende antreiben. Die Frequenz der Schwingungen wird durch die Trägheit der Flüssigkeit vermindert und die Stokes'sche Grenzschicht ist dick. Die optimalen Bedingungen für thermisch getriebene Schwingungen im Gas werden bei entsprechend höheren Rohr-Radien auftreten. Experimente mitN ₂ haben die theoretisch berechneten Stabilitätsgrenzen bestätigt. Bei einer Anordnung, in der heisse Luft eine Wassersäule angetrieben hat, wurde ein tiefes kritisches Temperaturverhältnis von etwa 1.5 beobachtet.

     

Axially-symmetric stagnation point flow of power law fluids

Zusammenfassung Mit Hilfe von Ähnlichkeitsbetrachtungen wird in der Gegend eines Staupunktes die rotationssymmetrische Strömung einer nicht Newtonschen Flüssigkeit mit Potenzgesetz diskutiert. Es zeigt sich, dass im Gegensatz zu der Newtonschen Flüssigkeit die Dicke der Grenzschicht mit dem Abstand vom Staupunkt variiert. Die Bewegungsdifferentialgleichungen werden mittels der Kármán-Pohlhausen-Methode integriert. Es stellt sich heraus, dass die Schubspannung an der Platte mitn, dem charakteristischen Index der Flüssigkeit, zunimmt.     

Magnetohydrodynamic free convection about a semi-infinite vertical plate in a strong cross field

Summary The magnetohydrodynamic free convection flow of an electrically conducting fluid past a semi-infinite plate in a strong cross-field has been examined. Formulation in terms of a characteristic length has enabled a full numerical solution to be obtained providing details of skin friction and heat transfer at all stations along the plate. An estimate of an indeterminacy in asymptotic solutions allows favourable comparison to be made between series solutions estimates of these quantities and their exact numerical values.

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Zusammenfassung Die magneto-hydrodynamische Strömung mit freier Konvektion in einer elektrisch leitenden Flüssigkeit entlang einer halbunendlichen Platte ist in einem starken Querfeld untersucht worden. Die Einführung einer charakteristischen Länge hat eine vollständige numerische Lösung ermöglicht, die die Reibungskraft und den Wärmeübergang entlang der Platte ergibt. Eine Abschätzung von einer Unbestimmtheit in den asymptotischen Lösungen erlaubt einen Vergleich zwischen den durch Reihelösungen erhaltenen Werten dieser Grössen und ihren exakten numerischen Werten.

     

Mixed convection similarity solutions on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer on a horizontal plate is considered for the two separate cases when there is a uniform free stream with the plate held fixed and when there is no outer flow but the plate is moving continuously with a uniform velocity along its length. In both cases we assume that power law temperature distribution on the plate which enables the governing equations to be reduced to similarity form. For the first problem we consider the range of buoyancy parameter for which there are dual solutions, showing how these dual solutions arise from a bifurcation and how the lower branch of solutions terminate as the buoyancy parameter tends to zero. For the second problem we show that there is a unique solution for all positive values of the buoyancy parameter and that for negative values the solution terminates at a singular solution with algebraic decay.

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Zusammenfassung Die Grenzschicht an einer horizontalen Platte mit gemischter Konvektion wird für zwei Fälle untersucht: Für eine ruhende Platte bei gleichförmiger Außenströmung und für eine Platte, die sich kontinuierlich mit konstanter Geschwindigkeit in ihrer eigenen Ebene bewegt, ohne Außenströmung. Für beide Fälle wählen wir ein Potenzgesetz für die Temperaturverteilung entlang der Wand, für welche die Grundgleichungen eine Ähnlichkeitslösung zulassen. In der ersten Problemstellung betrachten wir einen Bereich des Auftriebsparameters, für den zweifache Lösungen existieren. Wir zeigen, wie diese doppelten Lösungen aus einer Bifurkation entstehen und wie der untere Lösungszweig endet, wenn der Auftriebsparameter gegen Null strebt. Für die zweite Problemstellung zeigen wir, daß eine eindeutige Lösung existiert für alle positiven Werte des Auftriebsparameters und daß für negative Werte eine singuläre Lösung mit algebraischem Zerfall erreicht wird.

     

Flow of an electrically conducting fluid past a porous flat plate in the presence of a transverse magnetic field

Zusammenfassung Für die Strömung einer inkompressiblen, zähen, elektrisch leitenden Flüssigkeit über eine poröse Platte werden die Gleichungen vonNavier undStokes, vonMaxwell und die Wärmeübertragungsgleichung integriert. Dabei wird vorausgesetzt, dass Flüssigkeit aus der porösen Platte austritt oder durch sie abgesogen wird. Man findet, dass sowohl die Geschwindigkeiten als auch die Schubspannungen mit steigender magnetischer Druckzahl für Absaugen und Ausblasen anwachsen. Das induzierte Feld an der Plattenoberfläche wird kleiner, wenn die Ausblasegeschwindigkeit abnimmt. Für den Grenzfall unendlicher elektrischer Leitfähigkeit wächst der Wärmeübergang mit der magnetischen Druckzahl im Falle des Ausblasens.     

Thermohaline convection with finite amplitude in a rotating fluid

Zusammenfassung Die Stabilitätseigenschaft einer von unten erwärmten, unendlich ausgedehnten, horizontalen Flüssigkeitsschicht wird untersucht in dem Fall, wenn ein stabilisierender Salz-Konzentrations-gradient gegeben ist und die Flüssigkeitsschicht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Achse rotiert. Die Untersuchung infinitesimaler Störungen zeigt, dass das System zuerst gegenüber oszillierenden Störungen instabil wird. Darüber hinaus wird an dem Beispiel von Strömungen in der Form von Rollen gezeigt, dass die Schicht gegenüber Störungen endlicher Amplitude instabil wird, bevor infinitesimale Störungen anwachsen. Die Rotation übt eine stabilisierende Wirkung aus. Der Einfluss von Rotation und Salz-Konzentrationsgradient auf den Wärmetransport wird diskutiert.     

Interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer at high transonic speeds. Part II: Wall shear stress

Summary Asymptotic methods are used to calculate the shear stress at the wall for the interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer on a flat plate. A mixing length model is used for the eddy viscosity. The shock wave is taken to be strong enough that the sonic line is deep in the boundary layer and the upstream influence is thus very small. It is shown that unlike the result found for laminar flow an asymptotic criterion for separation is not found; however, conditions for incipient separation are computed numerically using the derived solution for the shear stress at the wall. Results are compared with available experimental measurements.

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Zusammenfassung Die Schubspannung entlang einer ebenen Platte wird mit asymptotischen Methoden gerechnet für den Fall, dass ein senkrechter Stoss auf die turbulente Grenzschicht einwirkt. Für die Rechnung wird ein Mischweg-Modell benützt. Der Stoss ist von solcher Stärke, dass die Schallinie tief in der Grenzschicht liegt, und so die Wirkung stromaufwärts sehr klein ist. Im Gegensatz zu der laminaren Strömung kann man in diesem Fall eine asymptotische Bedingung für Grenzschicht-Ablösung nicht finden. Aber die Bedingungen für den Beginn der Ablösung kann man von der Lösung für die Schubspannung an der Wand numerisch erhalten. Die Ergebnisse der Theorie werden mit den vorhandenen experimentellen Messresultaten verglichen.

     

An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

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This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

Asymmetrical slow viscous fluid motions caused by the translation or rotation of two spheres. Part I: The determination of exact solutions for any values of the ratio of radii and separation parameters

Zusammenfassung Für die Probleme der langsamen zähen Flüssigkeitsbewegung, die durch die Bewegung von zwei sphärischen Begrenzungen verursacht warden, sind exakte Lösungen angegeben worden. Die Bewegung der Kugeln kann entweder eine Translation entlang oder eine Rotation um die Achse sein, welche senkrecht zur Verbindungslinie der Mittelpunkte geht. Die Kugeln können sich ausserhalb von einander in einer unbegrenzten Flüssigkeit befinden, oder die Flüssigkeit kann zwischen zwei exzentrischen Kugeln eingeschlossen sein. Die Theorie ist anwendbar für alle Werte der Radienverhältnisse (k) und der minimalen Distanz () zwischen den Kugeln.     

The vertical plate in laminar free convection: Effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature

Summary For laminar free-convection flow past a heated vertical plate of finite length, the local asymptotic flow structure is studied in regions where the boundary-layer equations do not provide a correct approximation at large Grashof numbers. The leading-edge region is shown to contribute a secondorder term to the integrated heat transfer. An integral form of the energy equation permits calculation of this correction in terms of the second-order boundary-layer solution away from the edge, without knowledge of the flow details near the edge, which can be obtained only by solution of the full Navier-Stokes equations. Near the trailing edge and near a jump in the prescribed plate temperature the longitudinal pressure gradient is found to be important in a thin sublayer adjacent to the plate, and the transverse pressure gradient is important in the remainder of the boundary layer, each for a distance along the plate which is slightly larger in order of magnitude than the boundary-layer thickness. At the trailing edge the sublayer problem is nonlinear and cannot be solved analytically, but it can be shown that the local correction to the total heat transfer is of slightly larger order of magnitude than the leading-edge correction. It is pointed out that the trailing-edge flow is identical in form to the flow near the edge of a rotating disc in a stationary fluid. The temperature-jump problem is linear and a solution is given which shows how the singularity in streamline slope predicted by the boundary-layer solution is removed.

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Zusammenfassung Bei laminarer natürlicher Strömung längs einer senkrecht stehenden endlichen geheizten Platte bei sehr grossen Grashof'schen Zahlen gibt es kleine Bereiche, bei denen die Grenzschichtgleichungen keine echte asymptotische Darstellung liefern. Im Vorderkantenbereich findet man ein Zusatzglied zweiter Ordnung für die gesamte Wärmeübertragung. Die Berechnung dieser Korrektur erfolgt durch eine Integralform der Energiegleichung, wobei nur die Lösung der Grenzschichtgleichung zweiter Ordnung fern von der Kante benützt wird, während die Kenntnis der Strömung in der Nähe der Kante nur durch eine Lösung der exakten Navier-Stokes'schen Gleichungen gefunden werden könnte. In der Nähe der Hinterkante und in der Nähe einer Diskontinuität der gegebenen Plattentemperatur wird das Längsdruckgefälle in einer dünnen Unterschicht wichtig; das Querdruckgefälle wird in dem restlichen Teil der Grenzschicht berücksichtigt, für eine Länge, deren Grössenordnung etwas grösser ist, als die der Grenzschichtdicke. Bei der Hinterkante ist das Unterschichtsproblem nicht linear, und es gibt keine analytische Lösung, aber man kann zeigen, dass die Grössenordnung der Korrektur der gesamten Wärmeübertragung etwas grösser ist als die Korrektur bei der Vorderkante. Die Strömung bei der Hinterkante ist dieselbe wie die Strömung bei der Kante einer rotierenden Scheibe in einer sonst ruhenden Flüssigkeit. Das Temperatur-Diskontinuitätsproblem ist linear, und eine Lösung ist hier gefunden worden, wodurch die von der Grenzschichttheorie gegebene Singularität (unendliche Quergeschwindigkeit) entfernt wird.

     

Excitation of waves and mean currents in a stratified fluid due to a moving heat source

Zusammenfassung Wenn eine Wärmequelle, z. B. eine Flamme, unter einer Schicht homogener Flüssigkeit bewegt wird, so kann eine mittlere Geschwindigkeit in der Flüssigkeit verursacht werden, und zwar entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der Flamme.Hier wird eine geschichtete Flüssigkeit betrachtet. Besondere Aufmerksamkeit wird den Verhältnissen gewidmet, bei denen Wellen in Resonanz entstehen. Die mittlere Geschwindigkeit wird dann von den Wellen beherrscht und hat im Wesentlichen die gleiche Richtung wie die Bewegung der Wärmequelle. Die Möglichkeit einer Strahlstruktur der Bewegung ist vorhanden.     

The injection from a half plane in the Oseen approximation

Zusammenfassung Die Strömung einer zähen Flüssigkeit längs einer ebenen Platte mit Ausblasen wird im Rahmen der Oseenschen Theorie behandelt. Die Lösung, welche mittels des Verfahrens von Wiener-Hopf erhalten wurde, zeigt, dass unter Umständen eine negative Schubspannung bei der Vorderkante erscheinen kann.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

Combined effects of turbulence and roughness on transition

Zusammenfassung Eine Betrachtung der vorhandenen Messungen über die Wirkungen eines zylindrischen Rauhigkeitselementes auf die Umschlag-Reynolds-Zahl der Grenzschicht einer Platte in Str?mungen mit verschiedenem Turbulenzgrad weist darauf hin, dass die Wirkung eines solchen Rauhigkeitselementes mit gegebenem Verh?ltnis seiner H?he zur Verdr?ngungsdicke der Grenzschicht als ein ?gleichwertiger? Turbulenzgrad betrachtet werden kann. Auf empirische Weise wird festgestellt, dass der ?gleichwertige? Turbulenzgrad 4·4 (k/δ _k ^*)³% ist. Die physikalische Bedeutung dieses Verh?ltnisses wird er?rtert. Die zusammengesetzte Wirkung von Turbulenz und Rauhigkeit wird berechnet und mit ver?ffentlichten Versuchsergebnissen verglichen.