恒等变换与圆锥曲线标准方程

椭圆、双曲线标准方程的推导,教科书采用了两次平方,以强调基础,保持了自身系统的完整性。为加强横向联系,利用学生熟知的恒等式简化推导过程,对于开拓学生思维大有好处,本文就是这样的一个探索:利用(x c)~2 y~2-(x-c)~2-y~2=4cx推导圆锥曲线标准方程。一、椭圆标准方程的推导由椭圆的集合p={M||MF_1| |MF_2|=2a}得方程     

小议圆锥曲线的另一极坐标方程

在六年制重点中学课本《解析几何》(平面)中,介绍了三种圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)。这里,谈谈中心在极点(抛物线的顶点在极点)、焦点(右)在极轴上的椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程与应用。 (一) 定理1 中心在极点、右焦点在极轴上的椭圆x~2/a~2+y~2/p~2=1(a>b>0)的极坐标方程为ρ~2=b~2/(1-e~2cosθ)(e为离心率) 证明:将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1得b~2ρ~2cos~2θ+a~2ρ~2sin~2θ=a~2b~2, ∴ρ~2=a~2b~2/(b~2cos~2θ+a~2sin~2θ)     

相似椭圆的一组性质

文[1],文[2]介绍和研究了相似曲线的概念和判定方法,由文[2]得椭圆(x~2)/(a~2) y~2/b~2=λ~2(0＜λ＜1)与椭圆(x~2)/(a~2) y~2/b~2=1相似(相似比为λ),本文将给出有关椭圆(x~2)/(a~2) y~2/b~2=λ~2(0＜λ＜1)与(x~2)/(a~2) y~2/b~2=1的一组性质．引理1如图1,设点P(aλcosθ,bλsinθ)为椭圆     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理:定理1椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A(a,0),直线l与椭圆交于C,D两点,则AC⊥AD(?)直线l过定点((a(a~2-b~2)/(a~2 b~2)),0).笔者受其启发,给出以下几个定理.定理2点P(x_0,y_0)在椭圆b~2x~2 a~2y~2= a~2b~2(a>b>0)上直线l交椭圆于C,D两点(C,D异于P),则:PC⊥PD(?)直线l过定点     

直线与圆锥曲线相切的充要条件的应用

直线y=kx+m与抛物线y~2=2px、椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1、双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1相切的充要条件分别为 k=p/2m,k~2a~2+b~2=m~2,k~2a~2-b~2=m~2。这几个命题在十年制统编教材中是作为习题出现的(见第二册155页和171页)。根据一元二次方程根的判别式很容易对它们作出证明,这里不再赘述。将它们作为定理直接应用,常能使一些复杂问题的解答过程得到简化,举例于下: 例1。抛物线y~2=4(2~(1/2))x与椭圆x~2/4+y~2/2     

一类方程的几何解法

本刊1983年2期问题征解1说的是求解方程(x~2+y~2)~(1/2)+((2-x)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(2-y)~2)~(1/2)+((2-x)~2+(2-y)~2)~(1/2)=42~(1/2)。对此,我们讨论下列问题。问题一求下列各方程的实数解1. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-m)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-m)~2)~(1/2) +((x-m)~2+(y-m)~2)~(1/2)=2(2~(1/2))|m|;2. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-b)~2)~(1/2) +((x-a)~2+(y-b)~2)~(1/2)=2(a~2+b~2)~(1/2);3. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+ ((x-b)~2+(y-c)~2)~(1/2)+((x-a-c)~2+(y-c)~2)~(1/2) =((a-b)~2+c~2)~(1/2)+((a+b)~2+c~2)~(1/2)(m、a、b、c均为非零常数,且a(?)b) 不难发现方程左边表示几个距离的和,这就     

关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积

(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两     

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

第九章 圆锥曲线

§1 椭圆一、选择题 1.动点M(x,y)到定点,F_1(-4,0)和,F_2(4,0)的距离的和为8,则点M的轨迹是( ) (A)x~2=8 (B)y=0(-4≤x≤4) (C)x=0(-4≤y≤4) (D)y~2=8 2.椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>>0)与曲线x~2/(a~2-k~2) y~2/(b~2-k~2)=1(a>b>0)有( ) (A)相等的短轴 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)有相同的准线 3.如果椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)两准线间的距离     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用.定理1如果直线l与离心率为e的双曲线C:x~2/a~2-y~2/b~2=1(或椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0)交于A、B两点,P为线段AB的中点,且l与双曲线C(或椭圆)的对称轴不平行,则k_(OP)·k_(AB)=e~2-1.本文仅证明双曲线中的公式,椭圆中的公式留给读者自证.     

椭圆焦半径的性质

椭圆=1(a>b>0)或ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数,(相似文献   

注意椭圆参数方程{x=acosθ y=bsinθ}中参数θ的意义

题目 A、B为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)上的两点,O为中心,OA⊥OB;求1/OA+1/OB的南的最大值和最小值。错解化椭圆的普通方程为参数方程x=acosθ y=bsinθ (θ为参数) 设A、B两点的坐标分别(acosθ_1,bs nθ_1),(cosθ_2,bsinθ_2)。由OA⊥OB得θ_2+θ_1±π/2,则B点坐标为(±asinθ_1,bcosθ_1)。可证 1/(OA)~2+1/(OB)~2=(a~2+b~2)/a~2b~2。则有 (1/OA)+(1/OP)~2=(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(OA·OB) =(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(a~2b~2+(a~2-b~2)/2))~2sn~2θ_1     

一元二次方程有根“1”的条件的应用续例

本刊1984年第二期发表了《一元二次方程有根“1”的条件的应用》一文,本文再举数例加以补充说明, 一、利用“若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0”的结论证题。例1、若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,求证:a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3证明:∵ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,∴a+b+c=0, 即有c=-(a+b)。∴a~3+b~3+c~3=a~3+b~3-(a+b)~3=-3a~2b-3ab~2=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc两边同除以abc得a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3。二、利用“若a+b+c=0,则方程ax~2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1”的结论证题,     

以静窥动 动中求静

我们在解决某些几何题时,可以把某一儿何图形看成是另一图形运动的结果。从这一思想出发,常能获得较为新颖或较好的解法。例1 证明:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接三角形的面积的最大值为3 3~(1/2)ab/4。证:我们把椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1看成是由圆:X~2 Y~2=a~2经均匀压缩变换 x=X y=bY/a 运动而得到的。设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)一是椭圆内接三角形三个顶点,它们在圆X~2 Y~2=α~2上的对应点为A′     

椭圆标准方程的推导及启示

课本中推导椭圆标准方程的计算量大而繁,若能抓住椭圆定义中|MF_1| |MF_2|=2a(a＞0),构造等差数列,则可巧妙而简捷地推导椭圆的标准方程。由椭圆的定义,按教材中的方法建立直角坐标系,得方程：(?) ∴ (?)成等差数列,设公差为d,则有①~2-②~2,得 4cx=4ad, 即 d=(c/a)x ③     

一道数学题的推广与应用

原题一个轴截面为椭圆的酒杯,经测量杯口为50mm,中间最宽处为(20)/3mm,最宽处距离底部5mm,如果将一个玻璃球放入杯中,玻璃球的半径r为多大时,玻璃球一定会触及这个椭圆形酒杯的底部?解以椭圆中心为原点建立直角坐标系,设椭圆方程为y~2/a~2+x~2/b~2=1.容易求得方程为y~2/(25)+(9x~2)/(100)=1;设圆心在椭圆长轴上且过椭圆下顶点的     

圆锥曲线焦点弦长度的三角形式及应用

圆锥曲线的焦点弦问题是解几教学的一个重点与难点，也是各类考试的热点．解答此问题，不仅演算繁长，而且稍不留心，就出差错．为此，本文利用极坐标推导出圆锥曲线在直角坐标系中的焦点弦长度的一种表达形式─—三角形式．现说明如下：定理AB是经过椭圆b~2x~2＋a~2y~2=a~2b~2（a＞b＞0）或双曲线b~2x~2-a~2y~2=a~2b~2或抛物线y~2＝2px工焦点F的弦，椭圆和双曲线的半焦距为c，若AB的倾斜角为a，则证明（1）以椭圆左焦点F为极点，Fx为极轴建立标系，则椭圆方。为P=关于双曲线与抛物线的证明与椭圆相仿，从略．运用这个公式解决圆锥曲线…     

从一道高考题谈轨迹方程的应用

轨迹方程的应用主要表现在(1)运用基本轨迹的方程探求其他轨迹的方程。(2)运用动点的轨迹方程研究几何图形的性质,而参变数的取值范围在刻画几何性质方面具有相当重要的特征值的作用。本文结合今年的高考题仅就应用轨迹方程来求或证一类问题的参数范围进行研究。例1 已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与X轴相交于P(x_0,0),证明 -((a~2-b~2)/a)相似文献   

一类三参数四次Thue方程的一个注记

给出一类三参数的四次Thue方程x~4-4sx~3y-(2ab+4(a+b)s)x~2y~2-4absxy~3+a~2b~2y~4=1,s≥1,当a=2,b=1时的所有整数解(x,y).     

对初中代数中整式一章教学的几点体会

初中代数里“整式”这一章是整个代数学的基础,它对学生以后的学习,关系是异常重大的。因此在教学中,必須要求学生要理解透彻,記忆牢固,运用正确,計算熟练。如所周知,在这一章的教学中,教师讲起来,学生多不感到难懂,但一当学生自己动手作起題来,有时就会感到似是而非,沒有把握,乃至錯誤百出。例如,开头时有的学生就不承认a 2a 5b=3a 5b已經算完了;有的认为a~0应等于0,而不应等于1;有的則算出:3x-2(x-5y)=3x-2x-5y,3x-2(x-5y)=3x-6x 30y,x~3·x~2=x~6,x~3y~2 x~2y~3=x~5y~5以及5ab 3ab=Sa2b,5a~2b 3a~2b==8a~4b~2等等錯誤的結果来;甚至有的还长期地把3a~2和(3a)~2,-a~2和(-a)~2,(a b)~2和a~2 b~2混淆不清;或者在教师强調了(a b)~2≠a~2 b~2之后,却連(ab)~2=a~2b~2又不敢承认了。笔者有鑑于此,深