Duality for non-linear programming in aBanach space

Summary A constrained maximization problem in a realBanach space is considered, where the objective function is a non-linear pseudo concave functional and constraints are given bym non linear quasi convex functionals. The optimality conditions and converse duality theorem, given byRitter, have been extended to this class of programming problems.

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Zusammenfassung Die Maximierungsaufgabe in einem reellenBanachraum mit nichtlinearerpseudo konkaver Zielfunktion und endlich vielen nichtlinearen quasi konvexen Nebenbedingungen wird untersucht. Die vonRitter aufgestellten Optimalitätskriterien sowie der Dualitätssatz werden für diese Klasse von Programmen als gültig erkannt.

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Vorgel. v.:J. Nitsche.     

Zur Frage des Zuverlässigkeitgrades von Maschinen

Zusammenfassung Für die Abschätzung der Ausfallkosten von Maschinen sowie für die Beurteilung ihrer Betriebssicherheit ist der Zuverlässigkeitsgrad ein notwendiger Begriff. Es wird versucht, das Wesen der Maßzahlen, Durchlaufwahrscheinlichkeit, wahrscheinlicher Nutzungsgrad und Bereitschaftswahrscheinlichkeit zu beschreiben und ihre Bedeutung für den Zuverlässigkeitsgrad einer Anlage unter Berücksichtigung wesentlicher Einflußgrößen darzustellen.

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Summary Dependability is an important conception in order to consider the cost of breakdown and the safety in operation. This may be an attempt to define the possible measures-reliability, interval availability and pointwise availability. Furthermore their signification to dependability in regard to other quantities is shown.

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Mitteilung aus dem Institut für Bergbaukunde und Bergwirtschaftslehre der Bergakademie Clausthal-Zellerfeld (Institutsdirektor: Prof. Dr.-Ing.G.Dorstewitz).

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Vorgel. v.:G. Dorstewitz     

Lineare kontrollprobleme

Zusammenfassung Es wird eine große Klasse von linearen Kontrollproblemen unter einem einheitlichen Gesichtspunkt betrachtet. Wir geben hierfür ein allgemeines Lösungsprinzip an. Wichtige Spezialfälle werden näher erläutert und die resultierenden Rechenvorschriften angegeben.

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Summary The paper treats a vast number of linear control problems under one unifying aspect. A general principle of solution as well as a certain number of interesting special cases together with their computational algorithms will be given.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

Design of circular plates for minimum weight

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit dem Problem der Bemessung einer elastischplastischen Kreisplatte veränderlicher Dicke von minimalem Gewicht. Die Platte ist am Rand frei drebhar gelagert oder eingespannt und trägt eine rotationssymmetrische, sonst beliebig verteilte Last. Es wird das vonDrucker undShield entwickelte Verfahren zur Dimensionierung verwendet, welches ein absolutes Minimum für das Gewicht einer Sandwichplatte und ein relatives Minimum für dasjenige einer homogenen Platte liefert.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research work sponsored by Watertown Arsenal Laboratory under Contract DA-19-020-ORD-2598-DA-19-020-501-ORD-3984.     

Zur Bestimmung des optimalen Standortes eines Einkaufszentrums

Zusammenfassung Zur Bestimmung des optimalen Standortes eines (überregionalen) Einkaufszentrums kann ein Modell konstruiert werden, das dem Ansatz zur Bestimmung des mechanischen Schwerpunktes einer mit Massen bewichteten Fläche ähnlich ist. Eine Besonderheit ist die einzubauende Entfernungsfunktion. Es werden das Modell und zu berücksichtigende Grundgegebenheiten diskutiert, es wird auf rechentechnische Probleme hingewiesen, es wird ein Anwendungsfall erwähnt und es werden Beispiele konstruiert.

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Summary A model is constructed to determine the optimum geographical position of a shopping-center. This model is similar to the statement for fixing the center of gravity of a weighted area. A special property is the consideration of a function of distance. The facts and the model are discussed and computational problems, examples and the application to a case are mentioned.

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Vorgel. v.:H. Albach     

An application of least cost acceptance sampling schemes

Summary A technique is described for determining most economical single sample inspection schemes in the situation where costs associated with inspection and failure to detect defective items can be estimated. A computational procedure is outlined, and a comparison made between the schemes determined by this method, and those previously in use. A least-cost decision rule is also derived for sequential sampling schemes.

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Zusammenfassung Ein Verfahren zum Aufstellen wirtschaftlichster einfacher Stichprobenverfahren wird für den Fall beschrieben, in dem die Kosten für das Überprüfen und das Nichtentdecken fehlerhafter Stücke geschätzt werden können. Es wird ein numerisches Verfahren aufgezeigt und ein Vergleich zwischen dem hier beschriebenen Verfahren und den früher verwendeten durchgeführt. Eine Entscheidungsregel für geringste Kosten wird ebenso für sequentielle Stichprobenpläne hergeleitet.

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Now with the Operations Research Section of B.O.A.C., Comet House, London Airport, Hounslow, Middx., England.

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Vorgel. v.:M. Sasieni     

Equazioni differenziali in uno spazio di Banach. Teorema di esistenza e struttura del pennello delle soluzioni in ipotesi di Carathéodory

Sunto Si stabilisce un teorema di esistenza per equazioni differenziali in uno spazio diBanach sotto ipotesi diCarathéodory. Viene studiata la struttura del pennello delle soluzioni pervenendo a teoremi che estendono quelli, noti nel caso degli spazi euclidei, diH. Kneser eM. Hukuhara.

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Summary An existence theorem for differential equations in aBanach space is proved under hypothesis ofCarathéodory type. The set of solutions issued from a given point is studied and results analogous to those valid in case of a euclidean space, byH. Kneser andM. Hukuhara, are obtained.

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L'A. fa parte del 6° gruppo di ricerca del C. N. R..     

On rotational viscous flow through a tube

Zusammenfassung Für die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines Eigenwertproblems, auf dasL. Collatz undH. Görtler im Zusammenhang mit einer kürzlichen Untersuchung [3] über Rohrströmung mit schwachem Drall geführt worden sind, werden asymptotische Näherungsformeln angegeben, die insbesondere die höhern Eigenwerte mit grösserer Genauigkeit als in [3] zu berechnen gestatten. Auch zur Ermittlung der niedrigen Eigenwerte wird ein einfaches Verfahren vorgeschlagen. Die Ergebnisse werden numerisch mit denen von [3] verglichen.

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This paper was prepared under a National Bureau of Standards contract with American University and was supported by the Office of Naval Research.     

A note on the secular equation for Rayleigh waves

Zusammenfassung In der klassischen Elastizitätstheorie wird die Säkulargleichung für Rayleighsche Oberflächenwellen für diejenigen Werte der Poissonschen Zahl im einzelnen besprochen, für welche die Quadrate der Geschwindigkeiten der divergenzfreien und der irrotationalen Wellen positiv ausfallen.Rayleigh vermutete, dass komplexen Wurzeln der Säkulargleichung unannehmbare Verschiebungskomponenten entsprechen, welche nicht im Unendlichen verschwinden. Er bewies diese Vermutung für ein unzusammendrückbares Material. In der vorliegenden Arbeit wird diese Vermutung allgemein bestätigt.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Naval Research under Contract No. 562(10) with Brown University.     

Dynamic risk programming with learning adjustment

Summary Risk allows the objective function of a linear program to be determined only up to a known probability distribution. In the case studied, however, the evolution of the distribution over time conforms to a simple learning model reflecting the increasing (decreasing) precision of executive response. If the stochastic extremand is replaced by the truncated minimax-maximax preference functional the optimal dynamic path is shown to be a geodesic in Riemann space with the standard deviation of the objective function as metric. Surprisingly, the path is independent of the risk attitude adopted.

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Zusammenfassung Risiko erlaubt es nur, die Zielfunktion eines linearen Programms bis auf eine bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen. Im hier untersuchten Fall stimmt die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Zeit mit einem einfachen Lernmodell überein, das die zunehmende, (abnehemende) Präzision der Ausführung des Betriebsplanes ausdrückt. Wenn der stochastische Extremand durch ein beschränktes minimax-maximax Präferenz-Funktional ersetzt wird, kann gezeigt werden, daß die optimale dynamische Trajektorie eine Geodätische in dem Riemannschen Raum mit der Standardabweichung der Zielfunktion als Metrik ist. Überraschenderweise wird die Trajektorie nicht durch die Risikoneigung des Unternehmers beeinflußt.

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This research has been carried out in association with, and with partial support from the National Science Foundation, Project No. 401-04-70 at Iowa State University.

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The author is indebted to ProfessorsTjalling C. Koopmans (Cowles Foundation at Yale University) andGerhard Tintner (University of Pittsburgh) for advice and criticism.

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Vorgel. v.: G.Tintner     

Optimal transfer policy for a production line with learning curve

Summary A multi-stage production line is to be transferred to a new location. The production process is subject to a sensitive learning curve. The learning process after transfer must be started from scratch. For this reason abrupt transfer of the line would call for substantial additional capacity and cost. This paper is concerned with finding the cost-minimizing transfer policy.

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Zusammenfassung Eine mehrstufige Produktionslinie soll in ein neues Werk verlegt werden. Der Produktionsprozeß unterliegt einer empfindlichen Lernkurve, die bei Verlegung von vorn durchlaufen werden muß. Aus diesem Grunde würde eine abrupte Verlegung erhebliche Mehrkapazität und damit Mehrkosten erfordern. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Auffindung der kostenoptimalen Verlegungsweise.

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Vorgel. v.:H. Albach     

A simple proof of a general duality theorem of convex programming

Summary The first part of this note presents concisely and partially proves in logical terms the relations betweenUzawa's andKuhn andTucker's equivalence theorems of nonlinear programming. In the second part we give simple mathematical proofs of two lemmata linking theKuhn-Tucker conditions and dual solutions and use them to establish a nonlinear duality theorem of considerable generality.

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Zusammenfassung Im ersten Abschnitt dieses Beitrags demonstrieren wir in kurzer, symbolischlogischer Form die Relationen zwischenUzawas undKuhn undTuckers Äquivalenzsätzen des nichtlinearen Programmierens. Im zweiten Teil geben wir mathematische Beweise zweier Lemmata, die dieKuhn-Tucker-Bedingungen und duale Lösungen in Zusammenhang bringen, und benützen sie und die logische Struktur des ersten Teils, um ein nichtlineares Dualitätstheorem von besonderer Allgemeinheit zu beweisen.

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The author is indebted toP. Van Moeseke for teaching him programming theory some time ago, and toD. Bent for helpful comments and criticism.

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Vorgel. v.:G. Tintner.     

Zur Theorie und Praxis der dynamischen Optimierung

Zusammenfassung Für eine große Klasse kontinuierlicher dynamischer Optimierungsprobleme, bei denen es sich um die Optimierung eines Integralausdrucks unter gewissen nichtholonomen Nebenbedingungen handelt, wird nach der Untersuchung der Existenz von Lösungen und der Ableitung einer Funktionalgeichung in Teil I dieser Arbeit in einem II. Teil (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) ein Verfahren zur Lösung mit Hilfe eines iterativen elektronischen Analogrechners einschließlich der zugehörigen Konvergenzbetrachtungen angegeben. Das Lösungsverfahren ist auch für Digitalrechner verwendbar, als besonders geeignet erscheinen die gerade jetzt in der Entwicklung begriffenen hybriden Rechenanlagen.

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Summary We treat a large class of problems of continuous dynamic programming. We have to optimize a certain integral expression restricted by some nonholonomic secondary conditions. We investigate the existence of solutions, and derive a functional equation. In a second part of this paper (being published in the next number of this journal) we give a method for the solution of this problem by means of an iterative analogue computer, and study the convergence of this method. For our procedure we can also use digital computers, especially hybrid computers.

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Diese Arbeit ist ein Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation des Dipl.-Math.Klaus Neumann, Institut für Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule München, Dir. Prof. Dr.J. Heinhold, 8 München 2, Arcisstraße 21. Tag der Promotion: 18. 12. 1964.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

Radiation heat transfer in an absorbing medium bounded by a specular reflector

Zusammenfassung Die Wärmeübertragung durch Strahlung wird untersucht für eine Anordnung bestehend aus zwei parallelen Platten, zwischen denen sich ein absorbierendes Medium befindet. Die eine Platte ist ein grauer diffuser Strahler und ein spiegelnder Reflektor, während die andere ein schwarzer Körper ist. Die Rechnung zeigt, dass der Unterschied zwischen diffuser und spiegelnder Reflexion äusserst klein ausfällt.

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This work was supported by the National Science Foundation through Grant No. G-19 189.     

A duality theorem for continuous-time linear programming problems

Summary In dealing with dynamic economic policy models one encounters optimization problems whose objective function is an integral of a linear function of a finite number of continuous variables and whose constraints are linear integral inequalities. A set of intertemporal efficiency conditions (equilibrium conditions) yielding the optimal policy are given. By approximating the continuous problem by a set of discrete problems and appealing to a well known convergence theorem in functional analysis a continuous analog of the duality theorem is proved.

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Zusammenfassung Bei der Beschäftigung mit dynamischen Modellen der ökonomischen Politik stößt man auf Optimierungsprobleme, deren Zielfunktion ein Integral einer linearen Funktion von einer endlichen Anzahl stetiger Variablen ist und deren Beschränkungen lineare Integral-Ungleichungen sind. Eine Menge intertemporaler Effizienz-Bedingungen (Gleichgewichtsbedingungen), die zur optimalen Politik führen, sind gegeben. Durch Approximation des kontinuierlichen Problems mittels einer Menge von diskreten Problemen und Berufung auf einen wohlbekannten Konvergenzsatz aus der Funktionalanalysis wird ein stetiges Analogon des Dualitätstheorems bewiesen.

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The author is indebted to Mr.Arnold Faden for helpful suggestions and to ProfessorKarl A. Fox andGerhard Tintner for encouragement during the preparation of the paper. This research has been partially supported by a grant from the Ford Foundation to the School of Business Administration administered by the Center for Research in Management Science, University of California, Berkeley.

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Vorgel. v.:G. Tintner.     

Untersuchung von Fragen der Betriebskonzentration mit Hilfe eines Simulationsprogramms für den untertägigen Förderbetrieb

Zusammenfassung Um die Förderkreise — Gewinnung, Hauptstreckenförderung, Schacht — aufeinander abzustimmen, ist ein Programm entwickelt worden. Es wird zunächst die Arbeitsweise des Programms erläutert.Infolge notwendiger Rationalisierungsmaßnahmen werden im Bergbau Betriebe räumlich zusammengelegt. Mit Hilfe des Programmes läßt sich der erwartete Betriebsablauf, der sich nun stärker behindern kann, simulieren. Auf Grund der Ergebnisse können die richtige technische Ausrüstung und eine geeignete Organisationsform gefunden werden.

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Summary For coordinating single haulage regions in mines—fronts, roadways, shaft—a programme was developped. First of all its working method is cleared up in this issue.Caused by necessary rationalising arrangements, coal getting is concentrated on few faces. This programme allows to simulate the expected new haulage problems. By these results the best technical equipment and an appropriate organization can be found.

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Mitteilung aus dem Institut für Bergbaukunde und Bergwirtschaftslehre (Institutsdirektor: Prof. Dr.-Ing.G. Dorstewitz) der Bergakademie Clausthal.

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Vorgel. v.:G. Dorstewitz     

Zwei Algorithmen zur Lösung eines komplexen Reihenfolgeproblems

Zusammenfassung Bei der Ordnung von Input-Output-Matrizen treten Kriterien auf, die wesentlich komplexer sind als die Ordnungsbedingungen bei klassischen Reihenfolgeproblemen (z. B.Traveling-Salesman-Problem). Ausgehend von den Arbeiten vonHelmstädter werden im folgenden die mathematische Formulierung eines solchen Reihenfolgeproblems sowie zwei Algorithmen zu dessen Lösung angegeben. Ein Verfahren ist ein lexikographischer Suchalgorithmus, das andere eine Modifikation des bekanntenJacobi-Verfahrens zur Berechnung von EigenwertenHermitescher Matrizen.

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Summary On the ordering of input-output matrices we use some criteria which are more complex than the order conditions of classical sequencing problems (e. g.Traveling-Salesman-Problem). Basing on the papers ofHelmstädter we will give a mathematical formulation of this sequencing problem and two algorithms solving them. One procedure is a lexicographic searching algorithm, the other one a modification of the well knownJacobi-method which calculates the eigenvalues ofHermiteian matrices.

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Ein Teil dieser Arbeit wurde als Referat auf der Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Unternehmensforschung (DGU) am 23. September 1968 in Dortmund vorgetragen.

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Vorgel. v.:W. Krelle.     

A property of convex piecewise linear functions with applications to mathematical programming

Summary It is proved a lemma on convex piecewise linear functions and there are given some applications of this result to non-linear and parametric programming.

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Zusammenfassung Es wird ein Hilfssatz über konvexe stückweise lineare Funktionen bewiesen und einige Anwendungen des erlangten Ergebnisses bei nichtlinearer und parametrischer Programmierung werden gegeben.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi     

On thermal effects in viscoplasticity

Zusammenfassung Das Ziel der Arbeit bildet die Beschreibung der elasto-viskoplastischen Materialien im Rahmen der Thermodynamik von Materialien mit inneren Parametern. Als die thermodynamischen Variablen wurden der Deformationstensor und die Temperatur, als die inneren Parameter die Komponenten des Tensors der inelastischen Deformation eingeführt.Von den konstitutiven Voraussetzungen für elasto-viskoplastische Materialien ausgehend, wurden die Beschränkungen, die das zweite Prinzip der Thermodynamik einführt, untersucht. Der Tensor der inelastischen Deformation wird durch eine linearisierte gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben. Es wurde weiterhin der Relaxationsprozess für ein elasto-viskoplastisches Material diskutiert.

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To ProfessorHerny Görtler on his sixtieth birthday     

Die HOWARDsche Berechnung optimalen Anschaffungs- und Betriebsalters für Kraftwagen: Ein ergänzender Befund mit deutschen Daten

Zusammenfassung Mit Hilfe des Iterationsverfahrens vonHoward wird das optimale Anschaffungs-und Betriebsalter für ein deutsches PKW-Fabrikat bestimmt. Diese Zeiten liegen unterhalb der entsprechenden Werte, dieHoward auf Grund amerikanischer Daten erhalten hat.

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Summary By aid of theHoward-Algorithm the optimal purchase- and operating age for a German automobile is determined. These time-spans are lying below the corresponding values which were received byHoward on account of American data.

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Vorgel. v.: H.P.Künzi.