“直角”三证

<正>贵刊2017年3月下课外练习栏目初三年级的第3题:已知:如图1,PO平分∠AOB,PA⊥PB,PA=PB,∠A≠∠B,求证:∠AOB=90°.参考答案证明设OA=a,OB=b,PA=PB=x,OP=m,S△POA=S_1,S△POB=S_2,且∠POA=∠POB=α,则S_1=1/2OA·OP·sinα=1/2am sinα,S_2=1/2OB·OP·sinα=1/2bm sinα.同时S_1=1/2OA·AP·sin∠A=1/2ax sin∠A,     

巧用角平分线的一个简单性质解赛题

一、角平分线的一个简单性质如图1,如果为OP平分∠MON,AB⊥OP于点C,交OM于点B,交ON于点A,则OA=OB,且点C为AB的中点．证明从略．     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

例谈角平分线上点的性质的应用

笔者在探究一类问题的过程中,发现角平分线上的点有如下性质:图1性质如图1所示,P为∠AOB的角平分线OC上一点,且满足OP=d,过P作直线l交OA,OB于M,N两点,若∠AOB=2θ,则O1M O1N为定值2cdosθ.证明设∠MPO=α,则∠NPO=π-α,∠OMP=π-θ-α,∠ONP=θ-α,在△OPM中,由正弦定理知sOin     

单位圆帮你解三角问题

利用单位圆解三角问题 ,既形象又直观 ,简单易行 ,操作方便 ,本文介绍给同学们 .(注 :单位圆———半径为 1的圆 )图 1如图 1,∠MON =90° ,以O为圆心 ,1个单位长为半径作圆 ,交OM、ON于点A、B ,射线OP交⊙O于点C ,过点C作CD⊥ON于D ,过点B作BE⊥ON于B ,交OP于E点 ,过点A作AF⊥OM于A ,交OP于F点 .由AF∥ON得∠AFO =∠FON .设∠FON =∠AFO =α ,则有sinα =CDOC=CD1=CD ,cosα =ODOC=OD1=OD ,tanα =BEOB=BE1=BE ,cotα =AFOA=AF1=AF .对于任意锐角α ,由图 1知 :(1)∵　 0 相似文献   

数学问题解答

20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 1　O为锐角△ABC的外心 ,AP⊥BC于P ,O到BC的距离为d ,且CO=2d ,∠ACO =∠ABC ,求证 :∠COP <30°.(四川荞窝农场宣教科　王承宣　 61 5 30 2 )证明　如图 ,设K、Q为点A、P关于BC垂直平分线的对称点 ,则OA =OB =OC =OK ,OP=OQ .因为四边形KQPA为矩形 ,所以PQ=KA .因为OC =2d ,所以∠OCQ=30° .又因为∠AOK=∠AOB -∠KOB =∠AOB -∠AOC =2 (∠ACO + 30°) - 2∠ABC =60° ,所以KA =QP=OK=OC ,因为OP+OC=OQ +OC>QC=PQ +PC ,所以OP>PC ,所以∠PO…     

有心圆锥曲线的一条重要性质

平面解析几何有一个著名的定值问题:“若O是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的中心,A、B是椭圆上两动点.满足∠AOB=90°,则|OA|~2/1 |OB|~2/1为定值”。 有人已经推广到:椭圆上有三点A、B、C且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.则:|OA|~2/1     

对一道课本习题的变式探究

原题(苏科版九上P136第7题改编)如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R,求证RP=RQ.分析考虑到"遇切点连圆心",故连结OQ,则OQ⊥RQ.要证RP=RQ,只要证明∠RPQ=∠RQP即可.证明连结OQ.     

角平分线性质的引申与应用

角平分线上的点到角两边的距离相等.这是角平分线的重要性质. 如图1,若∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,则PD=PE.     

三角形内外心连线的性质及推广

<正>性质如图1,I、O分别是△ABC的内心、外心、AD、BE、CF是三条高,直线OI分别交AD、BE、CF于点A′、B′、C′.则IA′/AA′=IB′/BB′=IC′/CC′.证明连结OA、OB、OC、IA、IB、IC,∵O是△ABC的外心,∴OA=OB=OC,于是∠OAB=∠OBA,∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∴∠OAB=90°-(1/2)∠AOB,而∠AOB=2∠ACB,     

一类图形的基本结论及其应用

<正>1.基本图形结论如图1,∠AOB+∠DCE=180°,∠AOC=∠BOC,则DC=CE.证明过C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N.因为∠AOC=∠BOC,所以CM=CN.因为∠AOB+∠DCE=180°,由四边形内角和知∠ODC+∠CEO=180°,所以∠MDC=∠CEN,所以△MCD≌△NCE,DC=CE.也可以在OA上取点P,使CP=CO,通过△PCD≌△OCE即可.其实问题可以看作在上述条件下∠DCE绕顶点C旋转,其结论依然成立;     

由两个简单结论引发的对一道竞赛题的探究

结论一:角平分线+垂线(→)等腰三角形(及底边的中点). 具体理解:如图1,OP是∠MON的平分线,AB ⊥OP,分别交OM、ON于点A、B.则有以下结论成立:①OA =OB;②点C是AB的中点.即△AOB是等腰三角形,垂足是等腰三角形底边的中点.特别说明:结论②用的更多一些.证明比较简单,这里从略. 结论二:直角三角形一个锐角的平分线与斜边上的高线以及该锐角的对边围成等腰三角形. 具体理解:如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的一条角平分线AM相交于点P.求证:CM=CP(△CMP是等腰三角形).     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

一组有趣的圆锥曲线轨迹方程

文[1]的结论令人赏心悦目,颇有趣味,现将该文中条件“|OA|2 |OB|2=|OP|2”改成“1/|OA|2 1/|OB|2=1/|OP|2”与“|OP|2=|OA||OB|”之后,结论同样喜人.定理1设椭圆C1:Ax2 By2=1(0相似文献   

巧用三点共线 妙解向量问题

<正>若两个向量OA、OB不共线,根据平面向量基本定理我们知道,向量OP与向量OA、OB共面的充要条件是:存在唯一实数对λ、u,使OP=λOA+μOB,在这个定理中,如果规定λ+u=1,则我们就有如下定理及推论成立.定理如果两个向量OA、OB不共线,并且向量OP=λOA+μOB,则P、A、B三点共线的充要条件是λ+u=1.     

由一道几何题的新证得出的结论

<正>文[1][2][3][4]中都有如下一道几何题.如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=1/2∠A,求证:BE=CF.证明作∠A的平分线交BC于点D,连结DE、DF,则∠DAF=∠DAE=1/2∠A,∵∠1=∠2=1/2∠A,∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2,∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分別共圆,于是BD=DF,DE=DC,     

各种概念的角

一题如图:P为复平面上一点3~(1/2)/2,-1/2)。 PA⊥平面XOY,且|AP|=3~(1/2)/2。试用反正切表示下面各有关角。一串(1)直线OP的倾角α; (2)点P所对应的复数z的辐角及其主值; (3)点P的极坐标的极角(O为极点,Ox为极轴); (4)OA与复平面所成的角; (5)H为P在x轴上的射影,OA与PH所成的角; (6)平面AOY与平面XOY′所成的角。答案 (1)OP的倾角α=π-arctg(3~(1/2)/3)     

道是无“形”却有“形”——2019年北京数学中考试卷第27题解法的几点思考

<正>1问题呈现已知∠AOB=30°,H为射线OA上一定点,OH=3+1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证:∠OMP=∠OPN;     

定角、定点三角形面积问题及应用

<正>问题如图1,∠BOA=α°(定角),点P是∠BOA内的一定点,现在过点P任意作一直线,分别交线于射线OA、OB于点M、N,问什么情况下,△MON的面积最小,并说明理由.探求过程出当直线旋转到点P是MN的中点时S_(△MON)最小,如图2,过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF相似文献   

对一道竞赛试题的解答和探究

题目如图1所示,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长.1巧妙的解法解如图2,∠AOP与∠OPH的角平分线的交点为I.图2∵∠PHO=90°,∴∠HPO ∠HOP=90°;∵PI