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1.
定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形.在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径. 相似文献
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设P为△ABC内部或边界上任意一点,从P分别向三边BC、CA、AB所在直线作垂线,垂足分别为D、E、F.设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c,内切圆半径为r,PD=r1,PE=r2,PF=r 3.文[1]证得如下结论: 相似文献
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变换是数学中常见且十分重要的方法,几何变换已形成了完整、系统的理论体系,许多几何问题可利用各种变换作出漂亮的解答。本文给出关于三角形的一类几何不等式的几个变换原则,并举例说明其应用。一、变换原则及其应用为简起见,我们将本文介绍的三个变换原则一同综述于下的定理中定理设P为△ABC平面(非边界)上任一点,从P引BC、CA、AB的垂线,垂足分别是D、E、F,记PA=x,PB=y,PC=z;PD=u,PE=v,PF=w,△ABC的BC、CA,AB边与外接圆半径 相似文献
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本文将给出三角形中两个新的不等式,在本文中约定:△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,与其相应的三条角平分线长分别为t_b、t_a、t_c,为简便,∑表示循环和,如∑bc=bc ca ab等。 相似文献
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1966年,荷兰的O.Bottema建立了下述不等式:设P为△ABC内部任一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N,则其中s为△ABC的半周长。等号当且仅当P为△ABC的内心时成立。 (1)不仅形式简洁,证明不易,而且其等式成立的条件还表明:对任意给定形状的 相似文献
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以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC. 相似文献
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1935年,P·Erd(o)s提出如下猜想:
定理设P为△ABC内任一点,P到三边BC=a,CA=b,AB=c的距离分别记为PL=r1,PM=r2,PN=r3,则 相似文献
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1 厄尔多斯不等式
1935年,保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)提出了一个猜想[1]:
P是△ABC的内部或边界上任一点,又PD、PE、PF分别是P到△ABC三边BC、AC和AB的距离,则PA+PB+PC≥2.(PD+PE+PF)①,当且仅当△ABC是等边三角形,而且P为△ABC中心时①的等号成立. 相似文献
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三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形称为切点三角形.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R、r和s,ΔDEF外接 相似文献
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文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题 设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明 如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A… 相似文献
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“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”,这是一个为大家熟知的结论.它的证明不难且有多种方法.下面用面积法来证: 如图1,点P是边长为a 的正△ABC内任意一点,记P到BC、CA、AB 边的距离分别为h1,h2,h3,则h1 h2 h2=_.(三角形高为h). 证连结PA、PB、PC有 即, 相似文献
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涉及周界中点三角形的两个有趣的性质 总被引:2,自引:2,他引:0
若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分,人们则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形. 本文在文[1]、[2]的基础上,进一步研究周界中点三角形并得到了两个有趣的性质. 引理 设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=1/2(a+b+c),则 AE=BD 相似文献
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文[1]提出并证明了如下:
定理△DEF是△ABC的外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,△BCD,△ACE,△ABF的内切圆半径分别为rA,rB,rC,则
(a/rA)+(b/rB)+(c/rC)≥6(√3).(1)
笔者要指出的是,不等式(1)可以加强为: 相似文献
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等边三角形是最特殊的三角形,其内部任一点到三边的距离和为定值,这个定值被人们熟悉和重视.其实,与等边三角形有关的定值问题还有很多.现举几例予以说明,仅供大家参考.例1 如图1,点P是等边三角形ABC内任意一点,AB =a,过点P作三边的平行线,分别交直线AB,BC,AC于点D,E,F.求证:PD+ PE+ PF=a. 相似文献