争鸣

问题107 课本第30页例1中把命题“负数的平方是正数”写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”，教参第10页说也可以写成“若一个数是负数的平方，则这个数是正数”．     

中国——最早认识并应用负数的国家

华罗庚说:“数学是中国人民擅长的学科”. 东汉初(公元1世纪),我国第一部有名的数学书《九章算术》中出现了“正负术”.我国魏晋时期著名数学家刘徽为“正负术”作注解释说:“今两算得失相反,要令正负以名之,正算赤,负算黑,否则邪正为异”.这里的“算”是指小竹棒,表示数.注释的大概意思是:两个得失相反的数,要用正负来表示,规定正数用红色小竹棒,负数用黑色小竹棒;若用同色小竹棒的话,则正数正放,负数斜放,用以区别.     

初一(上)半期综合测试(一)

一、判断题（每小题１分，共１０分）１．整数和分数统称有理数．（　）２．设甲数为ｘ，若乙数比甲数的一半小２，则乙数是１２（ｘ－２）．（　）３．若ａ、ｂ互为相反数，则１３（ａ－ｂ）＝０．（　）４．若ａ＞０，ｂ＜０，则１ａ＞１ｂ．（　）５．没有最大的负数．（　）６．两个有理数的差一定小于被减数．（　）７．任何有理数都有倒数．（　）８．两个有理数的和与积都是正数，则这两个数必都是正数．（　）９．如果（－ｘ）２＝９，那么ｘ＝３．（　）１０．一个数的平方一定是正数．（　）二、填空题（每小题２分，共２０分）１…     

“隐负数”的教学小议

至今,我还记得在初中第一次上代数课时老师讲的第一句话:“代数,代数,就是用字母代表数”。直到大学,老师给我们讲解代数的定义时,才觉得这句话是极不正确的。然而,在怀着极大的好奇心进入初中的学生心里,它却留下了深刻的印象。至少,它说明了代数比算术更为抽象。每个中学生都要经历从算术到代数的飞跃,从正数到负数的扩展,而且总是不那么容易。所以我们常常给初中生提这样的问题:“-a是负数吗?”由于引进负数概念时,课本上是“用以前学过的数”的前面放上“ ”“-”号来定义正负数——“带有负号的数叫做负数”,不少学生总是习惯的认为a表示正数,“-a”表示负数。因此,我们要反复强调:“当a<0时,a表示负数”。提醒学生要特别注意这种“看不见负号的负数”。     

巧用“不妨设”解题

当题目中的一些元素之间的关系具有多种可能性,并且不同的可能性并不影响题目结论和多功能解题方法时,我们便可通过“不妨设”选择其中一种可能性解题.请看一些例子.例1求代数式的值.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x=|aa|+|bb|+|cc|+|aabb|+|aacc|+|bbcc|,求ax3+bx2+cx+1的值.分析:由已知可得a、b、c三数中有两个为正数,一个为负数,在x的表达式中a、b、c三数任意互换其中两个,原式不变,a、b、c具有同等地位,不失一般性,可不妨设a、b为正数,c为负数.解:由abc<0,a+b+c>0,得a、b、c中有两个正数,一个负数.在x的表达式中,不妨设a、b的正数…     

正数、零、负数共话平方根

正数、零、负数三类数聚在一起,七嘴八舌,讨论平方根的问题.零说,正数和负数你们成员多,你们各取一个发言人发言。     

浅谈比较两数大小的处理方法

比较两数大小是高考中常见的一类探索性问题,解这类问题常用的基本方法是比差(商)法,但在使用过程中,往往还要采用一些技术处理的手段,才能达到“比较”的目的。下面就比较两数大小中常用的一些技术处理的方法,向读者作一些介绍。 1 通过“平方”运算比较 众所周知,对于两个正数a、b,则有a>ba~2>b~2。根据此性质,把比较两个正数的大小转     

注意严密准确的数学语言

“不是正数则必定是负数。”“绝对值总归是正的。”“x~2总大于零。”“求函数定义域时要根号内为正数。”“方程ax~2+bx+c=0有实根,则判别式△≥0。”“要使一元二次不等式ax~2+bx+c>0对于任何实数x恒成立,则判别式△<0。“a的零次幂为1”“R=R~+∪R~-”其中R表示实数集合,而R~+与R~-分别表示正数集合与负数集合。     

用非负数解题

实数的平方非负是实数的重要属性.显 然,对实数x,有|x|是非负数,x2n(n为正整 数)是非负数.非负数的算术根是个非负数. 非负数有以下性质: (1)有限个非负数的和仍是非负数;有限 个非负数的积仍是非负数.即 若a1,a2,…,an都是非负数,则 a1+a2+…+an≥0; a1a2…an≥0.     

争鸣

问　题问题 2 5　 在高中新教材《数学》第一册 (下 )中 ,第 95页有“平行向量也叫共线向量” .这样 ,对向量ｂ与非零向量ａ共线 (或平行 )的充要条件有两处 :见 1 0 4页用到“有且只有一个实数λ” ,而第 1 1 1页用到“存在一个实数λ” .我们的问题是 :为什用两种逻辑意义的语句叙述 ,可否统一为“有且只有一个实数λ” ?问题 2 6　 判断命题“若ａ∥ｂ ,则ａ与ｂ的方向相同或相反”的真假 .观点一 :　当ａ∥ｂ时 ,ａ与ｂ的方向相同或相反 ,否则 ,ａ与ｂ不平行 ,故此命题为真 .观点二 :　由于规定了 0与任一向量平行 ,故 0的方向是任意的 …     

等比数列各项的符号规律

设数列 {an}是等比数列 ,首项为a1 ,公比为 q ,由它的通项公式an=a1 qn - 1 ,容易得到 :(1)若 q >0 ,则当a1 >0时 ,数列 {an}的各项都是正数 ;当a1 <0时 ,数列 {an}的各项都是负数 .(2 )若 q <0 ,则当a1 >0时 ,数列 {an}的奇数项都是正数 ,偶数项都是负数 ;当a1 <0时 ,数列 {an}的奇数项都是负数 ,偶数项都是正数 .综上还可得到 :在等比数列 {an}中 ,不管公比 q是正数还是负数 ,它的奇数项和偶数项的符号分别相同 .这表明 ,等比数列各项的符号构成具有一定的规律 ,这对于正确地求解等比数列的有关问题具有一定的指导意义 .然而 ,许多同学在…     

谈谈数的平方根及其应用

对于数的平方根 ,首先要理清知识点 ,系统地掌握好 ,才能利用其应用 .一、知识点1 .平方根的定义一个数的平方等于a ,这个数就是a的平方根 .即如果x2 =a ,那么x就叫做a的平方根 (或二次根式 ) .在这里a是x的平方数 ,它是一个正数或零 (即非负数 ,即a≥ 0 ) .例如 :∵ 3 2 =9,(-     

重视“0”的作用

<正>在数学中,"0"不仅表示没有,而且有着丰富的内涵,七年级许多题型中,"0"就初露锋芒,重视了它,不仅能使问题迎刃而解,还可帮助理解相关的数学概念.一、帮助理解非负数例已知|x+2|+(y-3)2=0,求xy的值.分析大于或等于零的数称为非负数.某数的绝对值、平方均为非负数.若几个非负数的和为零,则每一项皆为零.故本题每一项等于0即可求出x、y的值.     

北京市中学1962年数学竞赛高三第一試高二第一試試題解答

高三第一试試题解答 1.当m真是什么实数的时候,方程x~2 (m 2)x (m 5)=0的两个根都是正数? [解]希望方程的两个根都是正数,首先要求它們是实数,这就需要方程的根的判別式是正数:既然两个根都是正数,那么它們的和与积必然都是正数,这就需要方程(已知其首項系数是1)的一次項的系数是负数,而常数项是正数。将以上三个条件写出来,就是:     

一个函数最小值问题的“研究性学习”

问题求函数 的最小值. 探究1 在解决代数问题时,往往根据数或式的特点,挖掘代数问题的几何意义,使代数问题几何化,从而达到解决问题的目的.解析式变形为 ,如果把12,22写成两个数的差的平方,解析式就具备了平面直角坐标系中两点间的距离公式 的结构. 探究2 12,22写成两个数的差的平方有无数多种形式,12=(0-1)2=(2-1)2=(1-2)2=……,22=(0-2)2=(1-3)2=(2-4)2=…… ,表明“点”不是唯一的,这就提出了一个问题:什么样的“点”才是最“好”的.     

一道2000年IMO试题的高等数学背景

我们首先给出 2 0 0 0年第 41届 IMO之第2题及其解答 [1] :设 a、b、c是正数 ,满足 abc =1 .证明( a- 1 1b) ( b- 1 1c) ( c- 1 1a)≤ 1 .证明　令 a =xy、b =yz、c =zx,其中x、y、z为正数 ,则原不等式变为( x - y z) ( y - z x) ( z - x y)≤ xyz ( 1 )显然 x - y z、y - z x、z - x y里最多又有一个是负数 .如果恰有一个是负数 ,那么 ( 1 )式显然成立 ;如果这三个数都非负 ,那么根据算术平均—几何平均可得　 ( x - y z) ( y - z x)≤ 12 [( x - y z) ( y - z x) ]=x　 ( y - z x) ( z - x y)≤ 12 [( …     

一道易错的最值题

例题设0相似文献   

如何寻找《线性规划问题》的整点最优解

试验教材高二数学 (上 )增加了《简单的线性规划》的内容 ,利用图解法解答线性规划的两类问题 .对此 ,大纲要求“会简单的应用”.学生对线性规划的基本概念、基本方法在两类实际问题中的应用 ,基本可以达纲 ,但对寻找《线性规划问题》的整点最优解的问题 ,感到不好入手 ,完成作业困难较大 .在这个问题上 ,试验教材安排了一个例题 ( P76页例 4) ,两个习题 ( P79页第 3、4题 ) ,一个复习题 ( P10 7页第 17题 ) .针对学生从认知到应用这一过程存在的问题 ,笔者在教学实践中归纳整理了三种基本方法 ,现举例说明如下 :例 1　 ( P79页习题第 4题…     

解读数的绝对值的概念

<正>数的绝对值是初中数学中的重要而难以理解的概念,多数同学理解不深、应用不力.为帮助学生解决这个问题,本文对数的绝对值进行解读,供同学们参考.一、绝对值定义三种形式1.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.2.绝对值的几何定义:一个实数的绝对值是数轴上表示这个数     

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我在教学中．发现初学除法者，对小数除整数或整数除小数的定位是一大难点。经实践现舟绍一种较简单的定位方法．小数陈整数或整数陈小数．商数均以被除数为准．被除数是什么数，商就是什么数。如被除数是正数，除数是负数．商就是正数：被除数是负数．除数是正数，商就是负数。按照数学中有理数的加减法来决定；“减负等于加正”、“减正等于加负”、“加正等于减负”的法则，对正负数进行加减速，一看(心算)便商的位数。