Some extremum theorems for the elastoplastic boundary value problem in the presence of large displacements

Summary The incremental boundary value problem for elastoplastic work-hardening continua, is discussed in the presence of large displacements but small strains, and allowing for distributed dislocations.Associated flow laws are assumed, as is the occurrence of interaction between yielding modes in singular points of the yield surface.Four extremum theorems are proved which reduce the problem to the optimization, under linear constraints, of convex quadratic forms (of a non linear form for the third theorem).Finally some results are specialized to small displacements and perfectly plastic (non hardening) cases.

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Sommario Si discute della soluzione incrementale del problema elastoplastico con incrudimento nel campo dei grandi spostamenti (ma con piccole deformazioni intrinseche), ed in presenza di distorsioni distribuite.Si assumono leggi costitutive del tipo associato, ammettendo la possibilità di interazione tra i modi plastici in corrispondenza dei punti singolari della superficie di snervamento.Si dimostrano quattro proprietà di minimo della soluzione; esse riconducono il problema alla ottimizzazione di funzionali convessi (quadratici tranne che nel caso del terzo teorema) vincolata da equazioni e diseguaglianze lineari.Si specializzano infine alcuni risultati al caso dei piccoli spostamenti e della elastoplasticità senza incrudimento.

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This study forms part of a research programme supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R., Gruppo Plasticità).     

An analytical approach to the dynamics of rotating shafts

An analytical procedure, based on the dynamic stiffness method, is proposed for the study of rotor dynamics problems. On the grounds of the governing differential equations of a continuous beam, the dynamic stiffness matrix of the rotating Timoshenko beam is derived, including the effects of translational and rotational inertia, gyroscopic moments and shear deformation of the shaft. Concentrated disks and isotropic, elastic bearings are taken into account in the element formulation. The results obtained by the proposed method are compared with both classical closed form solutions and finite element analyses taken from the literature.

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Sommario Nel presente lavoro viene esposto un procedimento analitico, basato sul metodo della rigidezza dinamica, per lo studio del comportamento dinamico dei rotori. In particolare, è ricavata la matrice di rigidezza dinamica della trave di Timoshenko rotante, che consente di tenere conto degli effetti dell'inerzia alla traslazione e alla rotazione, del momento giroscopico distribuito e della deformazione a taglio della trave. Nell'ambito della formulazione proposta, è possibile considerare, mediante inserimento diretto nella matrice di rigidezza dinamica, gli effetti dovuti alla presenza di dischi e di supporti elastici isotropi. Il metodo proposto è applicato alla determinazione delle velocità critiche di sistemi rotanti, con riferimento sia a casi semplici, per i quali è nota la soluzione analitica, sia al caso piu' complesso di un rotore già studiato in letteratura; per quest'ultimo esempio, in particolare, è presentato un confronto con i risultati delle analisi agli elementi finiti svolte da altri autori.

     

One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

A numerical shape finding procedure for very thin shells

The paper introduces a numerical shape-finding procedure for very thin continuous shells (thickness less than 10 cm): an assigned loading distribution is applied on a point-wise suspended membrane, which, after its deformation, is inverted to give the geometry of a reinforced concrete continuous shell. The procedure is an extension to the continuum case of previous ones introduced for gridshells. In the past it has been employed in an empirical way by several designers.The geometrically non-linear analysis of the membrane is carried out taking account of large displacements and finite rotations. Finally, the structural analysis of the shell, including stability aspects, is performed, for example, to check and control the membranal behaviour of the structure.

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Sommario Si introduce un metodo per la ricerca della forma di gusci sottili: un'assegnata distribuzione di carico è applicata a una membrana appesa per punti, che, dopo la sua deformazione, viene invertita per fornire la geometria di un guscio continuo in conglomerato cementizio armato. Il metodo è un' estensione al caso continuo di metodi precedenti introdotti per i gusci discreti. Nel passato è stato usato in modo empirico da molti progettisti.L'analisi geometricamente nonlineare della membrana viene eseguita in grandi spostamenti tenendo conto delle rotazioni finite. Infine viene eseguita l'analisi strutturale del guscio, considerando anche gli aspetti di stabilità, per verificare e controllare il comportamento membranale della struttura, che è confermato.

     

A large displacement formulation for anisotropic beam analysis

Summary The displacement of a beam can be conveniently resolved into a roto-translational section displacement and a section warping. The correct second order approximation of the strain is deduced accounting for large displacements and thus for large rotations. On the basis of displacement method, both linear and nonlinear formulations are given: the first one leads to the elastic section properties and to the correct characterization of section warping; the second one leads to the so-called geometric section stiffness, accounting for prestress. Both formulations are general with respect to elastic material properties, thus allowing to deal with aniso-tropic and unhomogeneous cross-sections. Elastic and geometric section rigidities here proposed can then be easily used in second order problems on beam frames: either initial buckling eigenvalue analyses, either large displacement incremental analyses.

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Sommario E' conveniente scomporre lo spostamento di un punto di una trave in una rototraslazione della sezione cui appartiene e in uno spostamento che deforma la sezione (in-gobbamento). Si deduce la corretta approssimazione al second'ordine della deformazione per grandi spostamenti e quindi grandi rotazioni. Vengono presentate sia la formulazione lineare che quella non lineare, basate sul metodo degli spostamenti: dalla prima si ottengono le caratteristiche elastiche della sezione e la corretta caratterizzazione dell'ingob-bamento; dalla seconda la cosiddetta rigidezza geometrica della sezione che tiene conto dello stato di presforzo. Entrambe le formulazioni sono generali per quanto riguarda le proprietà del materiale elastico, potendosi così considerare anche sezioni anisotrope e non omogenee. Le caratteristiche di rigidezza elastica e geometrica della sezione possono quindi facilmente essere usate in problemi del second'ordine su strutture a travi: sia analisi agli autovalori della stabilità, sia analisi incrementali con grandi spostamenti.

     

Generalized wavefront expansion properties and limitations

Summary The properties of an asymptotic method for the study of the propagation of weak shock waves in hyperbolic systems are examined in detail in the simple case of the single nonlinear wave equation in one space dimension. The general features of the method are briefly recalled and a comparison between the results obtained by this method and the exact solutions obtained by the shockfitting technique is made. Under appropriate regularity assumptions the method provides an approximation of the exact solution of the desired order for short times.

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Sommario Le proprietà di un metodo asintotico per lo studio della propagazione di onde d'urto deboli in sistemi iperbolici sono esaminate in dettaglio nel semplice caso della singola equazione d'onda non lineare in una dimensione spaziale. Sono richiamate brevemente le caratteristiche generali del metodo e viene fatto un confronto fra i risultati ottenuti con questo metodo e le soluzioni esatte ottenute con la tecnica dello shock-fitting, Sotto opportune ipotesi di regolarità il metodo fomisce una approssimazione della soluzione esatta, all'ordine desiderato per piccoli tempi.

     

Buckling of a cylindrical shell subject to a wrench

We examine the axisymmetric buckling of a generalized Kirchhoff cylindrical shell under an axial wrench. If the shell is non-linear elastic, we provide a boundary value problem amenable to the bifurcation theory of Poincaré. Using this theory we prove a non-uniqueness theorem and obtain the critical loads and critical states. In the hyperelastic case, by exploiting the variational character of the problem, a global existence and non-uniqueness theorem is also proved.

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Sommario Viene esaminato un problema di buckling per un guscio cilindrico, del tipo di Kirchhoff generalizzato, sotto un carico ai bordi di trazione-torsione. Nel caso elastico non lineare, si perviene ad un problema ai valori al contorno, cui si può applicare la teoria delle biforcazioni di Poincaré. In tal modo si dimostra un teorema di non unicità della soluzione e si ottengono i punti di biforcazione e i carichi critici. Nel caso iperclastico, facendo ricorso all'aspetto variazionale del problema, viene dimostrato un teorema globale di esistenza e non unicità della soluzione.

     

Coupled free,torsional and axial vibration of pre-twisted bars

Summary The present paper deals with the calculation of natural frequencies in a pre-twisted solid with constant cross-section.The axial and torsional displacements of cross-sections are taken into account, as well as the relative inertia forces and couples.The differential equations of the vibration are integrated and their general solution is given.In the paper, by such solution, among the possible cases only the three simplest ones are considered (free-free, fixed-fixed, fixed-free ends) and a numerical example is carried out which enables to evaluate the several orders of magnitude. Other more complex cases will be treated in other papers.

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Sommario Nel presente lavoro viene affrontato il problema della determinazione delle frequenze proprie di vibrazione di un solido svergolato a sezione uniforme.Il problema viene risolto tenendo conto degli spostamenti assiali e torsionali di ogni sezione e delle relative forze e coppie di inerzia.Le equazioni differenziali del moto vengono integrate e ne viene fornita la soluzione generale.Mediante tale soluzione vengono esaminati, fra tutti i diversi casi possibili, i tre casi pratici più semplici (estremità del solido entrambe libere, entrambe incastrate, una libera e l'altra incastrata) e viene inoltre svolto un esempio numerico che consente di ottenere i diversi ordini di grandezza.I casi di maggiore complessità verranno esaminati in successivi lavori.

     

Creep and relaxation in thick-walled shrink-fitted cylinders

Summary We deal with the problem of time dependent stresses and, particularly, of the contact pressure in two thick-walled coaxial shrink-fitted cylinders, when neither of the two elements is rigid.We apply Rabotnov's phenomenological theory of creep in such a way that the integral equation, which gives the time dependent ratio between the contact pressure at a given moment and the starting pressure, is linear. We assume no volume deformation and a plane state of strain.We give the explicit solution in three examples both for an elastic inner cylinder and for a viscoelastic one, solving the integral equations of the problem both by quadratures and by the Laplace transformation inverting the transforms by a numerical method[21].

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Sommario Si affronta il problema della ricerca dell'andamento nel tempo delle tensioni e, in particolar modo, della pressione di contatto in un accoppiamento forzato tra due cilindri cavi coassiali nel caso che nessuno dei due elementi sia rigido.Si applica la teoria fenomenologica per lo scorrimento viscoso del Rabotnov in un modo tale per cui l'equazione integrale, che dà l'andamento nel tempo del rapporto tra la pressione di contatto in un dato istante e la pressione iniziale, è lineare. Si considera nulla la variazione di volume e piano lo stato di deformazione.Si dà la soluzione esplicita in tre esempi per cilindro interno sia elastico sia viscoelastico, risolvendo le equazioni integrali del problema sia per quadrature sia con l'uso della trasformata di Laplace trovando l'antitrasformata con un particolare metodo numerico di inversione[21].

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Approximate solution of a time-dependent differential equation

In this paper an asymptotic analytic solving method for a differential equation with complex function, small nonlinearity and a slow variable parameter is developed. The procedure is an extension of the well known Bogolubov-Mitropolski method. The correctness of the procedure is proved by an example. The vibrations of a rotor on which a thin band is wound and on which a small linear damping acts are obtained. The analytical solutions are compared with numerical ones. They are in good agreement.

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Sommario Nel presente lavoro viene sviluppato un metodo asintotico per la risoluzione analitica di equazioni differenziali di variabile complessa con piccola non-linearità e parametro lentamente variabile. La procedura proposta è un'estensione del ben noto metodo di Bogolubov-Mitropolski. La correttezza di tale procedura è provata su di un esempio. Sono ottenute le vibrazioni di un rotore su cui viene arrotolato uno strato sottile ed agisce un piccolo smorzamento lineare. Le soluzioni analitiche sono comparate con quelle numeriche con cui sono in buon accordo.

     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.

     

Natural convection in a rectangular cavity. An analytic solution

Summary An analytic solution is given to a problem of natural convection in a rectangular cavity, by means of a Papkovich-Fadle series. The convergence of the method is numerically proven and the results are compared with those obtained by several other methods. The considered solution procedure shows definite advantages with respect to the other techniques.

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Sommario Si fornisce, per mezzo della serie di Papkovich-Fadle, una soluzione analitica per un problema di convezione naturale in una cavità rettangolare. La convergenza del metodo è numericamente provata e i risultati sono confrontati con quelli ottenuti con altri metodi. La soluzione proposta tramite la serie è in tal caso vantaggiosa rispetto alle altre tecniche.

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This work has been partially supported by C.N.R. through grant n. 81.01501.11.     

A note on planar kineto-elasto-dynamics

Summary Dynamic analyses of flexible linkages are generally performed by considering small displacements from a predefined reference configuration. A reference mechanism is commonly defined for this purpose. The definition of a reference mechanism is subjected to some restricting conditions which are analyzed here for planar articulated linkages. A second part of this note documents a simplified form of the equations of motion for flexible planar mechanisms. The virtual displacement is approximated in the same way as accelerations, when secondary terms are neglected. A comparison between experimental findings and results of numerical integrations shows that, in the present case-study, the introduced approximation only corresponds to a light stiffening of the mathematical model.

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Sommario L'analisi dinamica di meccanismi flessibili viene generalmente eseguita nell'ipotesi di piccoli spostamenti da una configurazione di riferimento. A questo scopo si definisce comunemente un meccanismo di riferimento composto da membri rigidi. La definizione di tale meccanismo é soggetta ad alcune condizioni restrittive che vengono qui analizzate nel caso di meccanismi articolati piani. La seconda parte di questa nota illustra una forma semplificata di equazioni del moto per meccanismi piani a membri flessibili. Lo spostamento virtuale é approssimato con lo stesso criterio con il quale si approssimano le accelerazioni nel caso che si trascurino i termini secondari. Un paragone tra dati sperimentali e risultati numerici evidenzia come, nel caso in esame, le approssimazioni introdotte corrispondano solamente ad un leggero irrigidimento del modello matematico.

     

Stress and strain fields produced by a heat source in a plane with an elliptic hole

Summary A report on the steady-state stress and displacement fields arising in an indefinite, elliptically-holed cilindrical body containing a line heat source. The case of an adiabatically-walled hole is examined and some numerical results are given for this as well as for the case of hole with a constant-temperature surface.

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Sommario Vengono determinate le tensioni e le deformazioni che nascono in un corpo cilindrico indefinito, con un foro ellittico, per effetto di una sorgente lineare di calore di intensità costante. Si esamina il caso del foro con parete termicamente non conduttrice e si danno alcuni risultati numerici sia per tale caso, sia per il caso del foro con parete a temperatura uniforme.

     

On plastic dynamics of discrete structural models

Summary This paper discusses the dynamic loading of rigid-perfectly plastic structures by adopting a structural model discretized with constant stress finite elements. This assumption together with the hypothesis of small displacements and of a piecewise linear yield surface leads to the formulation of a problem in linear inequalities, which is, implicitly, time discretized. It is shown how the non linearity of the associated plastic flow laws leads to an equivalent extremal formulation. A numerical algorithm for solving the problem is directly derived from the mechanical statements. Numerical examples illustrate this approach. In the appendix an approximate technique is developed, which takes into account the influence of the strain-hardening and the strain rate sensitivity of material.

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Sommario Il problema del caricamento dinamico delle strutture rigido-plastiche viene affrontato attraverso un modello discretizzato per elementi finiti a stato di sollecitazione costante. Tale assunzione insieme alle ipotesi di superficie di plasticizzazione lineare a tratti e di piccoli spostamenti, conduce alla formulazione di un problema retto da diseguaglianze lineari che si presenta discretizzato, implicitamente, nel tempo. Si mostra che la non linearità delle leggi del flusso plastico associato conduce ad una equivalente formulazione di estremo.È esposto un algoritmo risolvente affatto aderente alla formulazione meccanica. Alcuni esempi illustrano il procedimento. Una proposta di adattamento al caso di materiali incrudenti e sensibili alle velocità di deformazione è presentata in appendice.

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Research supported by the National Research Council (C.N.R. - P.A.d.I.S.) of Italy.     

A numerical solution of the nonlinear wave resistance problem for simple shaped submerged bodies

Summary This paper presents a numerical method to compute the nonlinear wave resistance of a body, submerged in a free stream of infinite depth. The solution is given in the form of a potential of single layer and the nonlinear boundary conditions on the free surface are fulfilled by means of an iterative procedure. Results are shown for the 2-D case of an elliptical cylinder and for the 3-D case of prolate spheroids. All the presented results are discussed taking into account some experimental data and analytical solutions available in literature.

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Sommario In questo lavoro viene sviluppato un metodo per il calcolo della resistenza ondosa di corpi immersi bidimensionali e tridimensionali, tenendo conto della non linearità delle condizioni sulla superficie libera. La soluzione cercata è posta nella forma di potenziale di strato semplice e la non linearità presente nelle condizioni al contorno viene trattata con un procedimento iterativo. Vengono presentati dei risultati numerici relativi al caso bidimensionale di un cilindro ellittico ed al caso tridimensionale di sferoidi prolati di diversa eccentricità. I risultati vengono discussi in relazione a soluzioni analitiche e dati sperimentali ottenuti dalla letteratura.

     

Diffusion of a velocity discontinuity according to kinetic theory

Summary The problem of describing the smoothing out and diffusion of an initial velocity discontinuity is solved analytically by means of the linearized Bhatnager, Gross and Krook model of the Boltzmann equation. The solution is compared with previous approximate solutions and with the solution arising from a continuum treatment based on Navier-Stokes equations.

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Sommario Si risolve analiticamente per mezzo del modello linearizzato di Gross, Bhatnagar e Krook dell'equazione di Boltzmann, il problema dell'evoluzione temporale di una discontinuità iniziale di velocità.La soluzione che così si ottiene viene confrontata con precedenti soluzioni approssimate e con la soluzione ottenuta dalle equazioni di Navier-Stokes che descrivono macroscopicamente il fluido.

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Research developed in the frame of the activity of the CNR group for Fluid Dynamics at the Istituto di Scienze Fisiche dell'Università di Milano, Grant N. 02/100/5/2001.     

A possible solution of a case of unsteady laminar plane flow for non-newtonian liquids

Summary After a few basic remarks on continuous media mechanics, equations of unsteady laminar flow for non-newtonian incompressible fluids are written; a solution for a particular plane flow (with zero hydraulic slope) is carried out, supposing that the components of the stress tensor T are polynomials in the components of the deformation rate tensor F. In particular if we adopt a cubic law, we recognize a second viscosity coefficient, which may be a positive or negative number; a way is then suggested for finding experimentally both viscosity coefficients of the fluid; a simple numerical example is also given.

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Sommario Dopo alcuni richiami sulla meccanica dei mezzi continui, si scrivono le equazioni del moto vario laminare per fluidi non newtoniani incomprimibili, e se ne trova la soluzione in un caso particolare di moto piano (a pendenza motrice nulla), supponendo di esprimere il legame fra le componenti del tensore degli sforzi T e quelle del tensore delle velocità di deformazione F con polinomi. Nel caso particolare di una legge cubica si presenta un secondo coefficiente di viscosità, positivo o negativo; si suggerisce allora un possibile metodo per determinare sperimentalmente il valore dei due coefficienti di viscosità del fluido, dando poi un semplice esempio numerico.

     

A study on the forced vibrations of a class of non linear systems with application to the duffing equation Part I: Analytical treatment

Summary A new approach for the general study of the equations of type (1.1) is developed, consisting in the determination of the periodical steady solutions in a suitable parametric form with which the equation is transformed into a non linear integral equation. The procedure is developed in details in the case of the Duffing equation, for which it is obtained an approximate solution valid even if the non-linearity of the system is very high, based on the study of a Volterra integral equation.

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Sommario Viene sviluppato un nuovo procedimento per lo studio generale delle equazioni del tipo (1.1), consistente nella determinazione delle soluzioni periodiche a regime in una opportuna forma parametrica con cui l'equazione di partenza viene ricondotta ad una equazione integrale non lineare. Il procedimento viene sviluppato nei dettagli nel caso dell'equazione di Duffing per la quale si ricava una soluzione approssimata valida anche quando la non linearità è molto elevata, fondata sullo studio di un'equazione integrale di Volterra.

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This work, conducted within Group of Mathematical Physics of the National Research Council (CNR), is an elaboration of a paper presented at the 2nd National Congress of AIMETA (Napoli, October 1974).     

Non linear analysis of space trusses

Summary A combined nonlinear analysis of spatial truss systems is per formed. Local buckling of elements is accounted for.The approach given herewith is able to describe the post buckling behavior of the system.

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Sommario Si effettua lo studio di sistemi reticolari spaziali considerando la non linearità di comportamento dovuta. sia ai grandi spostamenti sia ad una legge costitutiva non lineare.L'analisi si estende alla fase post-critica e tiene conto dell'instabilità locale di singole aste.

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This research has been carried out with the financial support of ENEL (Electricity Board of Italy).