由k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的证明所想到的

本刊1984年第8期《不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法》一文(以下简称文〔1〕中,对不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)作出了六种证法。其实,这个不等式还有一种更简单的证法,现补充如下,我们姑且叫它为〔1〕的第七个证法吧: g) 间接证法:     

关于n~(1/k)的不等式猜想的研讨

文 [1 ]给出了一个关于kn的不等式猜想 ,猜想的右侧不等式是 :正整数n ,k >1 ,则nk 2时 ,( 1 )式成立 .为证明上述结论 ,先给出两个引理引理 1　 [贝努利 (Bernoulli)不等式 ]若x >- 1且k是正整数 ,则 ( 1 +x) k≥ 1 +kx .等号当且仅当x =0时成立 .利用二项式定理易证引理 1 .引理 2 [2 ] 　若 - 1 相似文献   

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

常见累进数列n{(n+1)…(n+m))的求和方法

大家知道1·2+2·3+3·4+…n(n+1)的求和可利用通项公式来求,即: 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=(1~2+2~2+3~2+…+n~2)+(1+2+3+… +n)=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(1+n)-(1/3)n(n+1)(n+2) 但是用这种方法求和涉及到数列1~2,2~2,3~2…n~2的求和,如果给出累进数列的每项乘积因子则又涉及数列{n~3},{n~4},…的求和,所以利用通项求常见累进数列     

关于Minc-Sathre不等式的两个初等证明

H .Minc和L .Sathre利用Stirling公式证明了对一切自然数n ,有nn + 1 nnn ! ( 2 )　　当n =1时 ,不等式 ( 2 )显然成立 .假设当n =k(k≥ 1 )时 ,( 2 )成立 ,即( 1 + 1k) k2 >kkk ! .　　根据数学归纳法只须证明( 1 + 1k+ 1 ) (k+1) 2 >(k+ 1 ) k+1(k+ 1 ) ! .　　利用不等式( 1 + 1k + 1 ) (k+1) >( 1 + 1k) k和归纳假设 ,我们得到　 ( 1 + 1k + 1 ) (k +1) 2 >( 1 + 1k) k(k +1)=( 1 + 1k…     

证不等式a+b+c/3≥(abc)~(1/3)的几种方法

命题设a、b、c≥0,(a+b+c)/3≥abc~(1/3), 证明显然当a、b、c中至少有一个为零时,不等式恒成立,所以我们只就a、b、c全不为零时给出证明。方法1应用基本不等式m~2+n~2≥2mn来证明。设P>0、q>0、r>0 ∵p~2+q~2≥2pq, q~2+r~2≥2qr,r~2     

关于n~(1/k)的两个不等式

文 [1 ]中给出了一个涉及n的不等式 :设正整数n >1 ,则2n + 23·n - 2 (n - 1 ) + 23·n - 1≤n <4n + 36 ·n - 4(n - 1 ) + 36 ·n - 1 ( 1 )由不等式 ( 1 ) ,可推出2n + 23·n - 2 - 13≤∑nk=1k≤4n + 36 ·n - 16 ( 2 )当且仅当n =1 ,2时 ,式中等号成立 .本文给出类似于不等式 ( 1 )的关于 kn的两个不等式 ,并提出一个猜想 .定理 1　设正整数n >1 ,则1 2n + 71 6 ·3n - 1 2 (n - 1 ) + 71 6 ·3n - 1 <3n <3n + 24 ·3n - 3(n - 1 ) + 24 ·3n - 1 ( 3)证　要证上限不等式 3n <3n + 24 ·3n- 3(n - 1 ) + 24 ·3n - 1 ,只要证( 3n - 2…     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

The series sum from(n=1) to ∞(1/(n~(k 1))e(-z~(2k))/(n~(2k)))(oddk) and Riemann Zeta function

J.Tennenbaum discussed the function sum from n=1 to ∞() 1/n~2 e~(-2/n) in 1977.Zhang Nanyue discussed the function sum from n=1 to 1 () 1/n~2e~(-z~2/n~2) in 1983.Now we discuss the functions sum from n=1 to ∞ () 1/n~(k 1).e~(z~(2k)/n~(2k))(kpositive odd)in this paper which finds representations of two integrales about Riemann Zeta function     

随机图中[k,k+1]-因子的存在性

设G=G(n,p)是一个随机图,其顶点数为n,任两个顶点之间有边相关联的概率为p=p(n),k是一个正整数满足knp-2(nplogn)~(1/2).图G的—个支撑子图F称作是图G的—个[k,k+1卜因子,如果对任一个x∈V(G),都有k≤dF(x)≤k+1.我们证明任意满足p≥n~(-2/3)的随机图G(n,p)几乎一定包含[k,k+1]-因子.     

关于n~(1/k)的不等式猜想的再研讨

文[1]给出了一个关于kn的不等式猜想,文[2]指出该猜想的右侧不等式,即对于正整数n,k>1,不等式kn2时成立.本文研究了该猜想的左侧不等式,对于正整数n,k>1,不等式kn (k-2)k 1kn-k(n-1) (k-2)k 1kn-1相似文献   

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

《数学通报》1985年第3期的《正实阵n个不等式》一文中用数学归纳法证明: A、B为n阶正定阵,λ,μ>0,则λ|A|~(1/n) u|B|~(1/n)≤|λA μ|~(1/n)等号当且仅当A=kB(k>0)时成立。 本文给出一个用数学分析,高等代数知识     

一类多边形面积的极值问题

当一个多边形的周长一定且有一边长固定时,其面积的最大值在何时取到? 对于三角形,利用海伦公式,易得定理1 设△ABC中,BC=m(定长)且AB AC=n(定长),(n>m)则当且仅当AB=AC=n/2时,△ABC的面积最大,且最大值为S_(max)=(m/4)(n~2-m~2)~(1/2)证明S=(m n/2(m n/2-m)(m n/2-AC)(m n/2-AB)~)(1/2)≤(1/2)(n~2-m~2)~(1/2)·((m n)-(AB AC))/2=(m/4)(n~2-m~2)~(1/2)显然其中等式成立的充要条件是AB=AC=n/2 对于四边形,也有类似的结果; 定理2 设四边形ABCD中,AB=a(定长),并且有BC CD DA=3r(定长)(3r>a),则当且仅当     

一道习题的推广

《中学数学》1983年第4期问题征解中有这样一题,求证 1+2+3+…+1983|1~5+2~5+3~5+…+1983~5。事实上,我们有一般的结论:1°。1+2+3+…+n|1~5+2~5+3~5+…+n~5,甚至更一般的结论:2°。1+2+3+…+n|1~(2k+1)+2~(2k+1)+3~(2k+1)+…+n~(2k+1)。这里n、k为任意自然数,为了证明这一结论,我们要用到整数的两个性质。性质1。两个连续整数必互质。性质2。如果(p,q)=1,p|m,q|m则pq|m、((p,q)表示p与q的最大公约数)。此二性质都很容易用反证法证明,这里从略。我们来证明上述结论2°。证∵ 1+2+…+n=(1/2)n(n+1),记 S_(2k+1)(n)=1~(2k+1)+2~(2k+1)+…+n~(2k+1),     

数列{(1+1/n)~n}单调性的证明

本文打算给出数列{(1+1/n)~n}单调性的两个证明,这两种证法都可为中学生掌握。证一:(利用算术——几何平均不等式) 对于(n+1)个正数1,1+1/n,……,1+1/n,易知不全相等,由重要的不等式(a_1+a_2+…+a_n)/n≥(a_1a_2……a_n)~(1/n)(当且仅且a_1=a_2=……=a_n时取等号)可得=n+2/n+1=1+1/n+1 两边(n+1)次方,得     

不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)及其应用

设△ABC的三边为a、b、c,f=1/2(a b c),面积为s,外接圆、内切圆的半径分别为R、r。上述这些元素间存在着许多基本不等式,各不等式间有什么内在联系?能否用一个基本等式推导出其它不等式?这就是本文讨论的问题。一、不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)的证明及推论在△ABC中,求证tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~1/2(当且仅当A=B=C时等号成立)。证明 ∵     

公式(a+b/2)~2≤a~2+b~2/2的一个证法及其应用

公式〔蝉、“簇丝兰早兰兰(:)弓}自统编数学课 一’一’、2/一2’一’、·~?一”~,一本第三册尸66.5(3),一般是利用基本不等式a“+吞,》Za西(a、乙〔尺,当且仅当。=乙时取“=,,号)证明的。在此我们为了推广这一不等式而采用另一种证法。 证明:令f(x)=(x一a忿)+(x一的“(a拍〔R),则f(x)对任何实数x恒有厂(x)》0。故方程(x一a)“+(x一b)“二0当a沪b时只能有虚恨当‘=b时则二根相等。因而其判别式△(0. 方程的判别式 △=4(a+b)2一4 02·(aZ一卜西“)(0。即(e+舌)“(2(a:+乙“).(色华、么、21《趁土兰 2(当且仅当a=b时取“=”号)。公式(幻可以…     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

关于“n=k+1命题也真”的证明

数学归纳法是以归纳公理——“如果某个命题A(n):(1)当n=1时(真),(2)从假设n~(-k)此命题为真,得出n取下一个值即n=k+1     

《“1984”趣题》的习题解答

1 证明∵(1·2·3…1984)~(1/1984)<1/1984 sum from k=1 to 1984 k=1/1984·(1984(1+1984))/2=1985/2, 上式两边1984次方,得 1984!<1985~(1984)·2~(-1984) 2 解∵ 1985能被5整除。又 1984~(1984)=(1985-1)~(1984)=1985~(1984)-C_(1984)~1·1985~(1983)+C_(1984)~2·1985~(198)~2+…-C_(1984)~(1983)·1985+1 ∴ 1984~(1984)除以5所得的余数是1。 3 证明由题设,得 l~2=a~2+b~2+c~2 且l>a l>b,l>c。∴l~(1984)=l~2、l~(1982)=(a~2+b~2+c~2)l~(1982)=a~2l~(1982)+b~2·l~(1982)+c~(2·1982)≥a~2·a~(1982)+b~2b~(1982)+c~2·c~(1982)=a~(1984)+b~(1984)+c~(1984) 4.证(k≥1)