再談数学归納法

在“谈談数学归納法”(本通报1963年第二期28-34頁)一文里,作者曾提到数学归納法可以用一些更簡单的原則来代替,但未詳細介紹內容。本文便想在这方面作一些簡要的介紹。在文末还对前一文中沒有注意到的事項作一些补充。什么是“更簡单”的原則呢?这是很难說的,因为簡单与否必須相对于整个公理系統而言。对这个公理系統說来某原則是簡单的,对另一公理系統說来它却不是簡单的了。在本文中我們不想詳細討論各公理系統(除略为介紹递归算术以外),因此我們最好不說“用更簡单的原則来代替”,而說“可用別的原則来代替”。这里我們只介紹四个原則。这四个原則都有它的直觉根据,都已被数学家所經常使用,它們是:(1)最小数     

論数学归納(續)

§3.任意归納模型中的加法和乘法正如我們前面所指出,由定理1推出在每个Peano模型中存在唯一的加法运算[即对于所有x,y ∈N滿足条件(5.1)和(5.2)的二元运算f]。事实上我們更有定理2.在每个归納模型中有唯一的加法运算。这个定理的証明不能在定理1的基础上作出,因为正象我們在§2中指出的,后者并不对于一切归納模型为真。我們采用如下的引理来代替它: 引理。若为任意归納模型,則对于每个x∈N在N上存在着唯一的一元运算hx,使得条件(3.1)和(3.2)对于所有y∈N为真。 証.首先我們指出,对于任何x∈N最多只能存在一个运算hx滿足条件(3.1)和(3.2)。事实上,我們假定h_x和h′_x为滿足这些条件的两个运算且設G为N的这样的子集使得y∈G当且仅当hxy=h′_(xy)。显然,O∈G,因为h_xO=x=h′_xO。此外,集合G对于S为     

改进单元复习課一例——“冪与根”一章的总結

单元总結复习的目的与作用,主要不外两方面:其一,进一步将所学的理論知識系統化并能理解和运用;其二,通过作业的实践,加强記忆,提高运算的熟练程度。为此,教师应着重做好下述工作:(1)揭发教材实貭及其间的內在联系;(2)突出重点和难点,系統归納;(3)纠正缺点,弥补不足;(4)返复巩固,鍛炼技巧。如果达到上述要求,教师     

論数学归納

引言依照近代邏輯严格性的准則,每一个純粹数学分支都需要利用下述两种方法之一来奠定基础:或者它的全部基本概念应該借某些先行数学分支的概念之助来加以定义,在这一情形,它的定理可以由这些先行数学分支的定理連同这些定义推演出;或者它的基本概念被当作未定义的,它的定理則由含有这些未定义术語的公理集合推演出。自然数0,1,2,3,…属于我們幼年时期研习的数学对象的范围;我們对于这些数及其性貭的知識一般地讲是带有直观的特征的。然而如果我們期望对这些数建立精确的数学理論,我們不可能依靠非形式化的直观作为理論的基础,而必須用上述两种方法之一为此理論奠基。事实上两种方法都是可行的。正如德国数学家Frege所指出,从純邏輯和集合     

复数，四元数，八元数

人类由于实际需要,在很长的历史过程中,逐漸形成了数目的概念;人类的历史初期,就有了关于自然数以及簡单正分数的知識。公元前五世紀,希腊学者已认出某些无理数;我国古代数学家在“九章算术”一书中已能較多地应用分数,并且有某些正負数的知識。由于九章算术成书年代尚无定論,不过总是公元一世紀以前的事。复数則出现在十六世紀。經过长期实践以及理論上的研究,才达到我們現在这样完整的数的系統:自然     

关于九年一貫制数学教学改革方案中的两个问题

我們制訂的九年一貫制数学教学改革方案初稿,在中国数学会第二次代表大会上提出以后,引起了广泛的討論。关于数学教学体系问题,不少同志对“以函数为綱”,“数形結合”这两个原則展开了討論。我們愿意进一步阐明对这两个原則的看法,提出商榷,参加讨论。一、关于“以函数为網”新体系以函数为綱,把旧的算术、代数、几何、三角、解析几何的材料結合在一个系統之中。从小学算术开始就培养学生的函数及运动变化的观点。过去初中代数部分,現在也用函数的观点加以研究。原高中代数中的初等函数、三角和解析几何的一些知識按数形結合的原則合为一門初等函数課。在初等函数中系     

关于数理邏輯的一些研究

<正> 在本文中我們对算法論及递归函数論中若干項目作了一些研究,共分五节.第一节是算法簡化,我們指出的正規算法不够簡单原始,建議用“首尾算法”来代替它,后者是使用不可兼的首尾規則表且采用自然結束的約定的. 第二节引入一种換中演算,它是結合演算的推广,我們指出关于結合演算所得的結論几乎全可以推广到換中演算来,并对一些未曾解决的問題給以解决.     

最佳控制的数学問題(Ⅱ)

本文第一部分已經引用动态規划方法討論离散和連續最佳控制的数学問題。这一部分的目的在于,闡明解决連續最佳控制数学問題的另一重要方法,即包特約金等人建立的最佳过渡过程理論,現时称为“最大原則”。这个原則給出广泛的一类最佳控制应該滿足的必要条件,此条件是以若干微分方程和一函数取极值的形式表示的。已經証明,对于綫性系统它是这类最佳控制的充分条件。最大原則在討論离散的最佳控制方面,至今只获得初步結果,在此不作說明。 (五)一类最佳控制問題的变換 我們考虑一个二阶系統,其运动方程是其中x_0,x_1是系統的状态参量;(?)_0≡dx_0/dt,(?)_1≡dx_1/dt(不同于以前的定义x_1≡dx/dt);v是控制参量,其限制条件是φ(v)≤0。系統的控制准則是     

緩变系数法

<正> 在振动論、自动学、微波电子学等技术科学分支中,經常出現常系数和变系数一阶线性常微分方程組.例如,在波导理論中,电磁場边值問題常常归結为这种形式的微分方程粗的求解.在本文中,作者提出一种系統化的数学方法,用来求解具有緩变系数的上述微分方程組.为簡明起見,我們将称这种方法为“緩变系数法”.     

双曲函数

(一) 引言我們回想一下通常的三角函数的定义,設在平面上的一个直角坐标系中給了一个圓(为了簡單起見我們把这个圓取作單位圓:x~2+y~2=1,圖1),M(x,y)是圓上的一定点,設α=E_1OM,則我們定义:     

線代数学的基本概念

对於所謂“初等”数学来說,还保存着来自希腊科学的,一方面是代数方法而另一方面又是直观的几何概念的这种彼此分裂的特征。誠然,在解几何問題时常常要用到某些代数方法,但是在初等数学中,沒有把几何問題归結为代数問題的一般方法,同样也沒有对代数公式和代数关系式作几何解釋的一般方法。这样的一般方法中最簡單的是在空間中引入坐标系。这就使我們有可能在空間中的每一个点与三个实数x,y,z的数組之間建立起对应,与量x,y,z有关的每一个方程可以解釋为空間中的某一个面等等。这样一来,坐标法首先使我們能按照完全确定的法則,系統地利用代数以解决几何問題,分类和討論各种不同的几何形象(曲線,曲面等),其次使我們有可能按照非常一般的法則,对各种不同的代数关系式作几何解釋,例如,任何一个線性方程     

談談“哥德巴赫”問題

§1.前言在这簡短文里,我們向讀者介绍一个著名的数論問題,郎所謂“哥德巴赫”問題,为了避免引用較高深的数学工具,我們除了談談这一問題的发展历史及其成果外,只是十分簡单地談一下各种处理方法。其实本文所写的东西在有关的数論书籍中都有記載,作者只是加以整理与归納,以便于讀者更容易地了解这一問題。至于欲詳細了解这方面工作的讀者,請参看华罗庚     

2005年全国各地高考数学试题分类汇编 考点1 集合的概念与运算

考点1集合的概念与运算1.(北京卷,1)设全集U=R,集合M={x x>1},P={x x2>1},则下列关系中正确的是().(A)M=P(B)P M(C)M P(D)CUM∩P=2.(江苏卷,1)设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=().(A){1,2,3}(B){1,2,4}(C){2,3,4}(D){1,2,3,4}3.(湖北卷,1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b a∈P,b∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是().(A)9(B)8(C)7(D)64.(江西卷,1)设集合I={x x<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(CIB)=().(A)P{1}(B){1,2}(C){2}(D){0,1,2}5.(广东卷,1)若集合M={x‖x≤2},N=…     

应用矩陣运算推导球面三角基本公式

在常見的讲述球面三角学的书籍里,一般都用投影法或平面三角方法导出余弦定理、正弦定理等球面三角基本公式。华罗庚先生在他所著“高等数学引論”第一卷第一分册中,則应用了矢量分析方法。这里,給出另一种較为簡洁的方法,即应用矩陣运算来推导球面三角基本公式。在未导出这些公式之前,先簡单介紹一下“旋轉矩陣”的概念和基水性貭。考虑空間直角坐标系的旋轉变換。設原坐标系(O;x,y,z)繞x軸沿正方向(逆时針)旋轉角α后变換为新坐标系(ο;ξ,η,ζ)(如图1),則由解析几何学便知,新旧坐标系之間有如下关系:     

变换,标准型与計算方法

我們从一个簡单的例子开始:計算一元一次方程3(x 2)-4=5的根。我們通常都是这样作:經过一系列变換(脫括号、合併同类項、移項等)得出与原方程等价的方程x=1,而这个方程的解則是一望而知了。这个簡单的求解方法提供了解决計算問題的一个一般想法:給出一个計算問題后,我們先弄清,     

数学归納法簡介

这篇文章为数力系一二年級同学而写,可作为学习高等代数課的参考材料,还可作为初中数学教师参考。第一部分証明了关于自然数集的三个等价命題。因之导出結論:如果其中一个被取为自然数的基本性质之一,那么其他两个就成立了,这个断語奠定了数学归納法的基础。第二部分通过典型的例題,以注解的形式叙述了数学归納法的主要意义及其应用。甲。关于自然数集,下述諸命題是同值的。命題I(数学归納法),对于每一个自然数n,有一个命題P(n)与之对应,如果证得: 1° P(1)成立, 2°若P(k)成立,則P(k 1)成立。那么,命题P(n)对于任何自然数n都成立。命題II(数学归納法的第二形式),对于每一个自然数n,有一命題P(n)与之对应,如果証得: 1° P(1)成立,     

用积分来定义和研究自然对数

在初等数学中往往把对数和冪指数紧密地結合起来进行研究,由指数函数导出对数的定义和对数函数的一系列性貭,并和指数函数加以对照。这样,在学生充分地理解了指数函数性貭的同时容易接受“对数”这个新的概念和它的一系列性貭。至于自然对数(以e为底的对数)則作为一般对数的特例而提出。实际上,只有在高等数学中,自然对数才显出它的特殊地位。它把一个极为重要的极限和一个特殊的积分联系起来了。最后这个表达式启发我們用来作为自然对数的定义。本文的目的就是要用积     

2000年全国普通高等学校招生统一考试(两省一市卷)数学试题(理工农医类)及解答

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)设集合 A和 B都是坐标平面上的点集{ ( x,y) |x∈ R,y∈ R} ,映射 f :A→ B把集合 A中的元素 ( x,y)映射成集合 B中的元素 ( x y,x - y) ,则在映射 f下 ,象 ( 2     

論构造性数学

1.近年来,数学中的构造方向获得了重大的进展,它的实貭是局限于不引起实无穷性抽象的潛在能行性的抽象的范围內,而仅仅限于研究构造性对象。同时,由于对具有給定性貭的对象的存在,只是在指出了构造这种对象的潛在能行性的方法之后才被认可,因此,否弃了所謂純粹存在性的定理。我們不去給构造性对象的概念下定义,而只給予解释,构造性对象是指某些图形,它是由另一些基本的图形——基本的构造性对象——按一定方式来組成的。用儿童积木“建筑师”构筑起来的建筑物,以及由继电器所組成的继电器接触线路,就是这种例子。在构造性数学理論中,为了避免作出构造性对象的一般定义,我們局限于研究某些标准型式的构造性对象,无論是构成我們結构的零件——基本的构造性对象,还是基本的构造性对象的結合方法,都应当标准化。最簡单的一种构造性对象,就是在一个确定的字母表中,由它的字母所构成的字。在給定字母表中的字,就是其中字母的一个序列。例如,     

高中课标数学1使用过程中学生典型的困惑

本文是笔者在使用人教版高中课标数学1A版所进行的教学实践中学生典型的困惑纪要.1针对“把集合的元素一一列举出来”,某学生提出,是否每个元素都要写出?2针对“所有奇数的集合E={x∈Z|x=2k 1,k∈Z}”,某生提出,集合Z比集合E“大”,为什么Z在E内,集合E反而比集合Z“小”?集合的“范围”是否随着“分隔符”后面的条件越来越多而变得越来越小?3针对“{x|x是两条边相等的三角形}”,某生提出,x是实数,怎么又是三角形?4针对“把不含任何元素的集合叫做空集”,某生提出,空集里没有元素,既然没有元素,为什么还要定义为集合?5针对“空集是任何…