判别式法求最值辨析

判别式法是中学数学求函数最值的常用方法之一。本文对这一方法的有关理论,应用范围及注意事项作一探讨。例1 求二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的最值。解原函数式变形为ax~2 bx c-y=0∵ x∈R,∴Δ=b~2=4a(c-y)≥0,即 4ay≥4ac-b~2。当a>0时,有y≥(4ac-b~2)/(4a),此时函数有最小值(4ac-b~2)/(4a)。当a<0时,有y≤(4ac-b~2)/(4a)。此时函数有最大值(4ac-b~2)/(4a)。由本例可以看出,欲用判别式法求函数最值,应首先将原函数式变形为一个一元二次方程。这个方程中系数或常数项含有因变     

用“判别式法”求值域有误区

在学习二次函数的过程中,经常会碰到求函数值域的问题．当给出的函数解析式可化为一个一元二次方程时,我们就可以借助“判别式”来求函数的值域．但在某些特殊情况时,同学们往往由于考虑欠周密而出错．下面简要分析几点．     

用判别式法求值域的注意事项

在求函数y=(x~2 3x 2)/(-2x~2 x 3)的值域时,同学们大都将函数转化为关于x的二次方程,用判别式法求函数的值域．解答如下:     

关于用“判别式法”求二次曲线切线的可靠性问题

(一) 众所周知,中学数学里,在没有介绍极限方法之前,对于“求经过T(x_0,y_0)点的二次曲线F(x,y)=0的切线”一类问题,一般采用下面的步骤: 1.设所求切线的斜率为K,则切线方程为 y-y_0=K(x-x_0) 2.将上述直线方程代入已知二次曲线方程F(x,y)=0中,可得含参数K(待定)的关于x的二次方程     

用判别式求最值

大家都知道,可以用一元二次方程根的判别式来判别方程根的状况,判别二次函数图像与x轴交点情况.除此之外,用判别式求二次函数的最大(小)值也是很方便的.下面举例说明如何应用判别式求二次函数的最大(小)值.     

用判别式法证明不等式

二次函数 f(x)=ax2 bx c.当a>0时,若判别式△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0恒成立.据此可证如下一类不等式. 例1 已知a、b∈R,求证: 证明令 其判别式     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

用判别式法求一类分式函数的值域应该注意的问题

对形如,一少了牛黔绍(。。,。)的分式函数 “义.月卜口X卞‘般用判别式法求其值域.具体作法是,由~少, 。 .l a义1 b劣 e(1) 去分母得 夕(a、: b二 c)=d、2 e二 f(2)再整理为关于,的方程: (ay一d)二, (by一e)二 气ey一f)=o(3) ,.’x〔R, :.刁=(b夕一。),一4(。y一d)(。少一f)>。(4)又整理为关于夕的不等式: (乙,一4ae)少: 2(Zaf Zed一6e)少 eZ一4df 》〕·(5) 最后解此关于夕的不等式就得到y的取值范围. 然而,不等式(5)的解集是否恰为函数式(l)的值域还需考虑. 若记(z)、(2)、(s)、(4)、(5)这五个式子中的y的取值范围分别是集Yl、Y:、犷:…     

纠正一种用判别式求参数值的错误认识

“已知函数ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6的最小值为 1 ,求实数ｋ的值”这是高中数学教学中常见的问题 .李素兰在 [1 ]中用判别式作出了它的详细解答 :由ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6 可得(ｙ - 2 )ｘ2 (4ｙ ｋ)ｘ 6ｙ- 1 0 =0 .由题意△ =(4ｙ ｋ) 2 - 4(ｙ- 2 ) (6ｙ- 1 0 )≥ 0 .即 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2 ≤ 0 .因为　ｙ最小值 =1 ,所以　 1是方程 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2= 0的根 ,代入得ｋ2 8ｋ =0 .所以　ｋ=0或ｋ =- 8.[1 ]并认为 ,这是一种正确的解法 ,拙以为不妥 .纵观解题全过程 ,并不是每一推导过程都是可逆的 (例如…     

用判别式解题谨防“三忽视”

1忽视分类讨论例lm为何值时，（m－1）xZ一地；；－1）x－1＜06成立？错解即时,原不等式恒成立,剖析不题打本指明卜；－1）x‘－3（；，；一回）l’一回为二双函数，因此。一1可为0，故四分类讨论．正解若，n—1—06d，属不署式但成正；琶m—1士06立，依副所述知，当三＜n。＜互的，原不等式压成立2忽视有解的前提条件例26程x‘＋（。n—2）x一（。n—3）＝0的两根为l’l，12，末x卜xg的极小盾错解困韦达定理自剖析上述解答忽视了方程有解的动提条件，即面一（m－2）’＋4（。n—3）＞0。；n＜－2人都”。ZZh而7）；＝1的，原方程无买根正…     

用均值不等式求极值中的待定系数法

均值不等式常用于求极值问题 ,一般通过观察、适当配值即可达到目的 ,但有些问题只靠观察拼凑无法实现合理配值 ,这时 ,可采用待定系数法 ,根据题目要求和不等式取等号的条件 ,列出关于待定系数的方程或方程组 ,若方程或方程组有解 ,则求极值问题就迎刃而解了 .下面通过几道极值问题的求解过程 ,来说明这一方法的应用 .1　求积的最大值例 1　有一边长为ａ和ｂ (ａ≥ｂ)的长方形的纸板 ,在四角各裁去一个大小相同的正方形 ,把四边折起做成一个无盖的盒子 ,要使纸盒的容积最大 ,问裁去的正方形的边长应为多少 ?解　设裁去的正方形的边长为ｘ ,…     

简述用初等方法求极值的局限性

在学习导数和微分以前,用初等方法求极值最常见的有观察法、配方法、判别式法、不等式法等。下面首先通过教材(以下均指高中课本)中的几个例题及习题进行分析,说明用初等方法求极值的局限性.进而揭示函数的极值与最值的     

用三角代换求代数函数的极值

有些代数函数直接使用配方法、判别式法、不等式法甚至求导法较难求出极值。对于这样的代数函数可以分析一下变量的约束条件,进行相应的三角代换,转化为求三角函数式的极值,反而简便。下面分类举例说明: 一当|x|≤1时,可设x=sinθ(或cosθ); 当|x|≤a时,可设x=asinθ(或acosθ); 当|(x+k)/p|≤1时,可设x=psinθ-k(或pcosθ-k)进行代换:     

用降幂不等式求多元函数的极值

在数学最优化问题中,拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数极值的方法.这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束.这种方法引入了一种新的标量未知数,即拉格朗日乘数.但是不同于拉格朗日乘数法可应用于所有情况,此初等方法仅在某些特殊条件下使用.     

用“柱壳法”求旋转体体积

对旋转体的体积，通常是取一个扁圆柱体的体积为体积微元，对于有些旋转体用这种方法计算有时比较困难，而采用“柱壳法”却较方便。定理设平面图形（如图1）绕y轴旋转所成旋转体的体积为证明在[a，b]上取小区间[x，x＋dx]以f（x）为高，dx为宽的矩形绕y轴旋转所得的圆柱形薄壳（也称柱壳）的体积的近似值2一八X）dX即为体积微元dV：推论平面图形0＜a＜x＜b，人（x）＜y＜人（x）绕y轴旋转所成旋转体的体积V为例1求y二sinx（0＜x＜。）与x轴所围图形绕y轴旋转所得立体的体积。解选X为积分变量，XE［o，d。在k，d上取小区间》，X十dX〕，…     

等值线方法求极值

在几何轨迹中,圆(到定点的距离为定值的点集)、弓形弧(对定弦的张角为定值的点集)、已知直线的平行线(与已知直线的距离为定值的点集)、椭圆(到两个定点距离之和为定值的点集)和双曲线(到两个定点距离之差的绝对值     

用“控制动点法”求最值

在动态问题中,有一种题型是求多动点最值问题.解决这类问题有效的方法是:让每一个动点分别"表演",把其余动点控制起来,让它处于暂进静止状态,"以静察动"、"寻找战机"、"俟机突围".例1如图1,直角梯形纸片ABCD中,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,动点E、F分别在线段AB、AD上运动,将△AEF沿EF翻折,点A落在直角梯形ABCD内部P点,则PD的最小值为.     

用平均值不等式求极值时正数的匹配

用不等式,x+y≥2(xy)~(1╱2)(x,y都为正数)求极值是《不等式》的教学重点之一。由此不等式得出定理:设x、y是正数,如果和x+y(积xy)是定值,那么当x=y时,积xy(和x+y)有最大(小)值。即若两个正数之和为常量,则当两数相等时,其积有最大值;若两个正数之和为常显,則当两数相等时,其和有最小值。这个定理     

用“参数法”求轨迹方程的基本原理

<正>方程,是含有未知数的等式.笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题,也就是从实际问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程,然后通过解方程来使问题获解.本文将从以下角度来对方程思想进行理解和应用:一般来说,一个方程(等式)可以消一个元,若共有n个未知数且有n个方程,则可确定这n个未知数的值;若共有n个未知数,但只有n-1个方程,则可以得到无数组解,并且可以通过合适的消元最终得到其中某2个未知数的等量关系.