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四面体的内心和旁心的坐标公式 总被引：2，自引：1，他引：1
笔者在文 [1]中给出了三角形特殊点的一般坐标公式 ,本文将给出四面体的内心和旁心的坐标公式 .四面体的内切球心是和各面的距离相等的一点 ,它是各二面角的平分面 (共 6个 )的交点 .引理 四面体的二面角的平分面与对棱的交点把对棱分成两段的比等于该二面角的两面面积的比 .证明 如图 1,四面体 ABCD中 ,二面角B— AD— C的平分面ADP1交对棱 BC于 P1,我们将证明 BP1P1C=S3S2 . 1图 1其中 S2 、S3是顶点 B、C的对面的面积 .类似地 ,顶点 A、D的对面的面积用 S1、S4 表示 .令 P1到面 S3、S2 的高为 h3、h2 .∵ BP1P1C=VB… 相似文献
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文 [1]介绍了三角形中一些重要定理在四面体中的类比 .读后深受启发 ,但文 [1]还缺一些三角形性质的类比 ,作为该文的补充 ,笔者也介绍 3条类比性质 .1 中位线定理三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .定理 1′ 在四面体S ABC中 ,D ,E ,F分别是SA ,SB ,SC的中点 ,则平面DEF∥平面ABC ,并且△DEF的周长等于△ABC周长的一半 ,△DEF的面积等于△ABC面积的四分之一 .2 射影定理直角三角形一直角边的平方 ,等于它在斜边上的射影与斜边的乘积 .定理 2′ 如图 1,在四面体S ABC中 ,SA ,SB ,SC两两垂直 ,S在平面… 相似文献
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文[1]将一些特殊平面图形或空间几何体的定值性质的一系列研究([2]?[4])结论推广到三角形、四边形、正多边形、四面体的“重心圆(或重心球)”,即命题1[1]以三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)的重心为圆(球)心的任意圆周(球面)上的点到三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)各顶点的距离的平方和为定值. 相似文献
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文[1]与文[2]分别给出了已知四面体六条棱的长求四面体体积的两个计算公式，读后获益匪浅，只是觉得其形式不易记忆，文[2]的公式虽然较文[1]的简单，由于其几何特征不明显也觉得难以记住．本文推出一个新的六棱求积公式与读者共享，并给出已知六棱长求四面体对棱距离的一个公式． 相似文献
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文 [1],[2 ]讨论了四面体的对棱构成的三角形 ,文 [3]继续讨论了四面体的二面角所构成的三角形 .之所以做这些工作 ,除了能利用等价变换迅速将三角形的不等式推广到四面体[1,2 ,3] 外 ,还可用来进行四面体间的体积比较[4 ] .本文继续探讨四面体的对棱所构成的三角形 .以下 ,在四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 中 ,Ａｉ 的对面为Ｓｉ(1≤ｉ≤ 4 ) ,Ｓｉ,Ｓｊ 的夹角为θｉｊ(1≤ｉ<ｊ≤ 4 ) ,三组对棱Ａ1Ａ2 ,Ａ3Ａ4 ;Ａ1Ａ3,Ａ2 Ａ4 ;Ａ1Ａ4 ,Ａ2 Ａ3分别记为ａ ,ａ′ ;ｂ ,ｂ′ ;ｃ,ｃ′ .这三组对棱中点间的距离分别为ｍ1,ｍ2 ,ｍ3.外接球半径为Ｒ ,… 相似文献
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设△ A1A2 A3 的三边长分别为 a1,a2 ,a3 ,边 A1A2 上的中线长为 m3 ,则m23 =12 ( a21 a22 ) - 14 a23 . ( 1 )这就是著名的 Apollonius定理 ,由余弦定理 ,易将 ( 1 )变换成m23 =14 ( a21 a22 2 a1a2 cos A3 ) ( 2 )本文将给出关于 ( 2 )的一个十分有趣的空间形式 .定理 在四面体 A1A2 A3 A4 中 ,设 A5是棱 A1A2 的中点 ,S△ A2 A3A4=S1,S△ A1A3A4=S2 ,S△ A3A4A5=M3 4,二面角 A1A3 A4 A2 =3 4,则M23 4=14 ( S21 S22 2 S1S2 cos3 4) ( 3)先介绍两个基本公式 ,其证明参见文 [1] [2 ] .引理 1 [1] 设四面体的底… 相似文献
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也谈三角形五“心”向量形式的充要条件 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1 三角形 图 2 三角形 证 如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线… 相似文献
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三条棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的几何体 ,它具有自己的一些独特性质 .本文介绍该特殊几何体中棱长与高的关系 ;侧面面积与底面面积的关系 ;侧面面积、底面面积以及侧面与底面的夹角之间的关系 ;棱与底面所成三个夹角之间的关系 ;给出该特殊几何体的外接球、内切球的半径公式 .四面体P ABC的三条棱PA ,PB ,PC两两互相垂直 .记PA =a ,PB =b ,PC =c.顶点P到平面ABC的距离为h .△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC的面积分别为S1,S2 ,S3和S ,该特殊几何体具有如下性质 .性质 1 h- 2 =a- 2 +b- 2 +c- 2 .图 1 性质 1图证 如图 … 相似文献
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直角三角形类比直角四面体 总被引：1，自引：0，他引：1
如果三角形有一个内角为直角 ,则称这个三角形为直角三角形 ;类似地 ,四面体若有一个顶点处的三个平面角都是直角 ,则称这个四面体为直角四面体 .直角三角形与直角四面体有许多性质非常相近或相似 ,本文将给以简要归纳及论证 ,以期读者从中体验平面图形与空间图形的内在联系与和谐与统一的数学美 .类比 1 在直角△ABC中 ,∠C =90°,D为C在斜边AB上的射影 ,则BC2 =BD·AB .类似地 ,在直角四面体A1 A2 A3A4中 ,点A1为直角顶点 ,记Ai 所对的面的面积为Si(i=1 ,2 ,3,4) ,O为点A1 在底面上的射影 ,则S42 =S△A2 OA3 ·S1 .证 如图… 相似文献
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本文将在文献 [1 ]、[2 ]的基础上给出三角形界心的一个新性质 .定理 如图 1 ,设△ ABC的周界中线为AD、BE、CF,界心为 J,X是 AD上的一点且XA =JD,Y是 BE上一点且 YB =JE,Z是CF上任意一点且 ZC=JF,则△ XYZ的外接圆为△ ABC的内切圆 .证明 令 M为 BC的中点 ,I为△ ABC的内心 ,连 MI,XI,延长XI交 BC于 N,由文献[1 ]知 AD∥ IM,由文献 [2 ]知 AJ=2 IM,由XA =JD知 XD =AJ,故 IM∥=12 XD,图 1即有 NMND=NINX=IMXD=12 ,而有 M为 DN的中点 ,NX =2 NI.由于 M既是 BC的中点 ,又是 DN的中点 ,而有 CN =B… 相似文献
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同一顶点上的三条棱两两互相垂直的四面体称为直角四面体.本刊文[1]～文[3]相继给出了此类四面体的若干性质,本文再给出直角四面体的几个特征.性质1设P是直角四面体P-ABC的直角顶点,A,B,C所对面的面积分别为S1,S2,S3,P到所对面的距离为h,四面体的外接球半径和内切球半径分别为R,r,则 相似文献
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1 引言
在文[1]和[2]中,我们已将三角形"等距共轭点"的概念及有关性质推广至四面体中.本文将进一步研究"等角共轭点"的概念及性质在四面体中的推广.
过△ABC的顶点A作两条直线,关于∠A的平分线对称,与BC所在直线分别交于A1、A2,则线段AA1与AA2称为从△ABC的顶点A引出的一对"等角线". 相似文献
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四面体对棱中点的连线段,称为四面体的中位线.本文给出了四面体中位线的一个有趣性质,并介绍了它的两个应用.定理在四面体ABCD中,对棱AB,CD和BC,AD的中点分别为E,F,G,H.则EF2-GH2=12(AD2+BC2-AB2-CD2)①证明如图1,取AC,BD的中点分别为M,连接得平行四边形 相似文献
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我们知道平面内最简单的多边形是三角形,空间最简单的多面体为四面体.许多与三角形有关的概念和性质,在四面体中也有类似的结论.如果我们将平面几何中的关于三角形的某些结论和公式作相应的修改,我们就可以得到许多优美的关于空间四面体的结论和性质.1三角形内角平分线与四面体 相似文献
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本刊１９９８年第８期《三角形特殊点的一般坐标公式》一文,介绍了三角形一些特殊点：内心、外心、重心、垂心、旁心和界心的一般坐标公式及求法．本文将给出一个点的坐标公式,用此坐标公式给出三角形特殊点坐标公式的统一求法．图１定理如图１所示,在平面直角坐标系下... 相似文献