线性变换和线性方程组

线性代数是研究线性空间内线性变换的。线性方程组是线性变换的实例。用线性变换的概念去理解线性方程组的解的有关定理,一方面可以加深对线性变换的认识,另一方面也使线性方程组的解的表达更为简洁。我们在使用上海交大第二版线性代数进行教学时,仅对向量空间和线性变换添加少许内容,就用线性变换的有关理论去阐明线性方程组解的结构。这对初学者进一步理解线性变换,熟悉线性方程组解的有关理论是有好处的。本文主要叙述这些概念和有关定理,不妥之处,请批评指正。     

k元线性变换的矩阵表示

本文在线性空间中一元线性变换的基础上，给出了ｋ元线性变换、重矩阵的定义，并且给出了ｋ元线性变换在一个基上的矩阵表示，是一元线性变换的推广．     

正交变换的推广

正交变换是欧氏空间线性变换中的一类重要的变换，有很多良好的性质，如：正交变换保持向量的夹角不变，但逆不真，本解决了怎样的线性变换保持向量平角不变，这对线性变换的研究是一个有益的补充。     

k元线性变换的矩阵表示

本在线性空同中一元线性变按的基础上，给出了量元线性变换、重矩阵的定义，并且给出了k元线性变换在一个基上的矩阵表示，是一元线性变换的推广。     

平面上线性变换的层次

线性变换在线性代数教学中占有重要的地位.借助齐次坐标描述平面上线性变换的矩阵结构和几何特性,分析平面线性变换包含的层次关系.加深学生对线性变换直观理解.     

与线性变换的完全环同构的环理论(Ⅴ)

<正> 一个环 R 称为本原环,若 R 同构于线性变换稠密环.如果 R 含有非零基座,那末 R 可与除环 F 上的一个对偶空间(A,A′)联系起来,并有熟知的同构定理.F 上向量空间 A的一个线性变换σ称为在 A′上有一个伴随σ′,若σ′是 A′上的一个线性变换并且(aσ,a′)=(a,a′σ′),其中 a∈A,a′∈A′.在有限拓扑意义下,具有伴随的线性变换一定是连续的.我们始终记(?)_(A′)(A)为 A 的所有连续线性变换的环,(?)_A′(A)为秩有限的所有连续线性变换的环.     

Abel群的一些分解定理的推广(Ⅲ)

从主理想整环上有界模分解的Prüfer-Baer定理出发,研究(无限维)向量空间的代数的线性变换的几个基本问题,得到了如下结果:设V是域F上的(无限维)向量空间,A是V上的一个代数的线性变换,则有(1)若任何与A可交换的线性变换均与线性变换B可交换,则B=f(A),其中f是F上的多项式.进而线性变换B也是代数的.(2) V中存在一组基,使A在这组基下的矩阵是有理标准型(经典标准型)矩阵.当F是代数闭域时,经典标准型矩阵即为若当标准型矩阵.(3)当F是代数闭域时,A存在相应的Jordan-Chevalley分解.进一步,该结论在完全域上仍成立.这些研究推广了有限维向量空间上线性变换的相关结果.     

与线性变换的完全环同构的环理论(Ⅲ)

<正> 本文继上文[1,2]的理论,对线性变换完全环的结构作进一步研究.在§1中我们讨论一般无限矩阵的几何意义.在§2中我们用有限维向量空间的线性变换完全环来构作无限维向量空间的线性变换完全环.我们的思想方法是:设是向量空间,     

核空间与像空间构成直和的条件

根据线性变换与矩阵之间的联系,利用Jordan标准型给出线性变换的核空间与像空间构成直和的条件,即线性变换的特征值不含零,或以零为特征值的Jordan块均为一阶.     

集合上的混合变换群

本文对非空集合Ｍ的变换特别是非双射变换作成的群的情况进行了研究和讨论，并推广了近世代数中的一个定理。最后又讨论了线性空间的可逆线性变换和非可逆线性变换群。     

正交变换可以对角化的一个充要条件

在[1]中,我们认识了欧氏空间的两类重要的线性变换,一类是正交变换,一类是对称变换。本文指出欧氏空间同时具备这两种性质的线性变换为欧氏空间的对合变换。即给出     

C~n中的Schwarz导数

本文给出Ｃｎ中星形域的Ｓｃｈｗａｒｚ导数的定义，并证明Ｓｃｈｗａｒｚ导数为０的充要条件为映射是分式线性变换，及Ｓｃｈｗａｒｚ导数与分式线性变换复合的不变性质．     

内积关系与线性变换再探讨

关于欧氏空间V的变换σ满足适当条件时,成为V的线性变换的问题,陈成存[1]和王新哲[2]已做过一些讨论．本文之目的在于建立两个能够包含文[1]与文[2]所有已知结果的统一结论,从而使得对此问题的把握达到一个新的层次．定理1设σ、r、p为欧氏空间V的三个变换,如果对任意a,qeV都有。（a）,。（用）一则p都是V的线性变换．证明"．"Va,肌V,Va,hER都有．"．a为V的线性变换．下证产为V的线性变换．由条件可得：Va,qeV都有．"．Va,p,y6V,Va,b6R都有．"．尸为V的线性变换．完全类似可证：。也是V的线性变换．定义1设a为n（＞0…     

矩阵代数上的几种线性变换及其相互关系

本文给出了数域F上n阶矩阵空间上的几种特殊线性变换的定义,研究了这几种线性变换的关系,从而使得文献[2],[3]的结果成为本文的推论,进一步得到这些线性变换的不动点子空间基与维数.     

关于已知核求相应的线性变换问题

众多的教科书及教学参考书中大都不同程度地涉及到了求线性变换的核的问题,但对由核求其相应的线性变换几乎无人间津。本文给出了由核求相应的线性变换的一般方法,谨供同行们参考。     

基于线性变换的灰色Verhulst模型及应用

基于对灰色Verhulst模型的建模机理和数据特性进行了分析,表明可以通过适当的线性变换能够使变换后数据更适合灰色Verhulst模型的特征.根据两个应用实例说明利用适当的线性变换后建立的灰色Verhulst模型的精度有明显的降低.实例也说明了利用原始数据的线性变换建立Verhulst模型的可行性.     

线性变换的值域与核的维数关系定理的证法探析

本文首先证明了有限维线性空间上的线性变换是单射当且仅当它是满射这一结论,其次分析了通常高等代数教材中关于线性变换的值域与核的维数关系定理的两种证明方法,并给出了该定理的一种新的证明方法.     

一类线性变换的特征值、特征向量和对角化问题

一类线性变换的特征值、特征向量和对角化问题麦苗（北京信息工程学院）一、引言文［１］的作者之一Ｃ．Ｒ．Ｊｏｈｎｓｏｎ考虑了２×２矩阵到自身的一个线性变换：Ｌ＝Ａ×Ｂ，其中Ａ，Ｂ为２×２矩阵，指出，在Ａ与Ｂ均有不同特征值的假设下，线性变换Ｌ的特征值是Ａ的...     

L(V)是无限维中心代数的初等证明

研究域F上无限维线性空间V的任一子空间W的线性变换在V上的扩张,用初等方法可证明V的线性变换代数L(V)是无限维的中心代数.在一定意义上推广了域F上的n级矩阵代数是中心代数这一结果.     

本原环的无限Galois理论

本文首先建立了线性变换环,连续交换环及有非零基座的本原环与单纯Artin环的无限Galois理论是Galois等价的。然后建立了有非零基座的本原环的无限Galois理论。显然,线性变换完全环和连续变换环的无限 Galois理论是其特例。