Construction d'une paramétrixe pour des opérateurs différentiels hypoelliptiques marimaux sur un espace homogéne d'un groupe de Lie nilpotent gradué de rang 2

Soient G une alébre de Lie nilpotente stratifée de rang 2, une sous-algébre de G, _0, la représentation de G dans l'espace L ²( \ G) indiute par le caractére trivial C, P un opérateur homogène appartenant à l'algébre universelle enveloppante (complexifiée) U(G) tel que l'opérateur _0, (P) soit hypoelliptique maximal. Cet opérateur peut s'exprimer par une intégrale dépendant de la restriction du symbole p de P au sousensemble = G · décrit par les orbites des éléments de dans la représentation contragrédiente de G dans G ^*.Une algèbre de symboles définis sur est construite et permet de déterminer une paramétrixe de _0, (P); des résultats de réguralité de cet opérateur dans des espaces de Sobolev adaptés sont ensuite obtenus.     

A systematic formula for the asymptotic expansion of singular integrals

Asymptotic theories like the lifting-line, the slender body or the slender ship lead to lineintegrals with singular kernels. Sometimes these integrals are improper, that is to say that they are defined only by their Finite Part. To find asymptotic expansions of these integrals, the Matched Asymptotic Expansion Method is widely used along with other more specific methods depending on the kernel type. The first method is laborious and not systematic, and the other methods are sometimes too much specific to treat general cases. Moreover, all of them are not well adapted to deal with Finite Part integrals.Here, a new method is proposed to avoid the previous difficulties. This method is systematic for homogeneous kernels and gives approximations up to any order, as long as the derivative of the weight function exists at this given order. Moreover the occurrence of logarithmic terms in the expansion is explained and easily predictable. An elliptic integral and the classical lifting-line theory are treated to illustrate the ease of this method.

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Résumé Les théories asymptotiques telles que la ligne portante, le corps élancé ou le navire de grand allongement conduisent à des intégrales curvilignes à noyaux singuliers. Parfois, ces intégrales sont impropres c'est à dire qu'elles sont définies en Parties Finies. Différentes méthodes ont été mises au point pour trouver les développements asymptotiques de ces intégrales. Généralement elles dépendent fortement de la nature du noyau, et c'est finalement la méthode des développements raccordés qui est utilisées quand le noyau est trop compliqué. Cependant, cette méthode est laborieuse et comme les précèdentes non adaptée aux intégrales défines par leur Partie Finie.Une nouvelle méthode est proposée pour surmonter ces difficultés. Cette méthode est systématique pour les noyaux homogènes et donne les approximations à tout ordre pourvu que les dérivées de la fonction poids existent jusqu'à cet ordre. De plus la présence de termes logarithmiques dans le développement est expliquée et aisément prédictible.Une intégrale elliptique, ainsi que la fameuse théorie de la ligne portante sont traités pour illustrer les possibilités de la méthode.

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Nomenclature D domain of integration - f(x) weight function - FP Finite Part - h(x) weight function - I ,I _o bounded intervals - j, J integers - K(x, ) singular kernel - L, L integers - M integer defining the approximation order - P _k (x) Legendre polynomial - R set of real numbers - R(ß) equals 1 if is an integer and 0 if not - R _{f, J} ,R _{K, L} remainders of Taylor developments - S () equals either 1 or the sign function:sgn() - t, u, v, x variable of integration - , real numbers - homogeneity order of the kernel - F () Euler's integral (gamma function) - small parameter - [.] integer part of     

Isoperimetric monotonicity and isoperimetric inequalities of Payne-Rayner type for the first eigenfunction of the Helmholtz problem

Summary We use the auxiliary boundary value problemV+V+1=0 to get isoperimetric integral inequalities for the first eigenfunction of the Helmholtz problem.

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Résumé A l'aide du problème aux limitesV+V+1=0, on établit des inégalités isopérimétriques intégrales pour la première fonction propre du problème de Helmholtz.

     

Opérateurs différentiels associés à certaines représentations unitaires d'un groupe de Lie résoluble exponentiel

Soient G = exp g un groupe de Lie résoluble exponentiel et H = exp h un sous-groupe connexe de G. Soient un caractère unitaire de H et = Ind_H ^G. Soit D(G/H) l'algèbre des opérateurs différentiels G-invariants sur G/H. Une question posée par Duflo et Corwin-Greenleaf consiste à voir si la finitude des multiplicités de est équivalente à la commutativité de D (G/H). Nous répondons positivement à cette question quand H est normal dans G. Lorsque H n'est pas normal, nous préparons le terrain pour d'espaces homogènes nilpotents et nous répondons à la question dans différents cas. Nous étudions finalement l'algèbre D (G) ^H , des opérateurs différentiels qui laissent l'espace des vecteurs C de invariant et qui commuttent avec l'action de H sur cet espace.     

Relèvement selon une isogénie de systèmes ℓ-adiques de représentations galoisiennes associés aux motifs

Résumé Soit :G _E H(Q ) un système de représentations galoisiennes -adiques associées à un motif sur un corps de nombresE et à valeurs dans un groupe algébriqueH. SoitHH une isogénie centrale telle que la structure de Hodge complexe se relève àH. Nous prouvons, au moins dans certains cas, que, après restriction à une extension finieE deE, le système de représentations galoisiennes se relève àH.

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Let :G _E H(Q ) be a system of -adic Galois representations associated to a motive over a number fieldE with values in the algebraic groupH. LetHH be a central isogeny such that the complex Hodge structure lifts toH. The main result is that, under some convenient hypothesis, and after restriction to a finite extension, the system of Galois representations lifts toH.

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Oblatum 1-VIII-1993 @ 10-X-1994     

Some overdetermined boundary value problems for harmonic functions

Summary In this paper we study various overdetermined problems involving harmonic functions. In particular, we show that if the second eigenfunctionu ₂ of the Stekloff eigenvalue problem in a bounded simply connected plane domain has a constant value of u ₂ on , then is a disk

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Résumé Cet article est consacré à l'étude de certains problèmes surdéterminés pour des fonctions harmoniques. En particulier, nous montrons que si le gradient de la seconde fonction propre du problème de Stekloff défini dans un domaine borné, simplement connexe du plan, a son module constant sur la frontière , alors est nécessairement un disque.

     

A relation between spline approximation and the problem of the approximation of one class by another

An investigation of the approximation in L_q(–, ) of differentiable functions whose k-th derivatives belong to L_p(–, ), by splines S_m (x) with nonfixed nodes, under the extra assumption that the norms in L_s(–, ) of theirl-th derivatives have a common bound. A relation is established with the problem of approximating functions of one class by functions of another class.Translated from Matematicheskie Zametki, Vol. 9, No. 5, pp. 501–510, May, 1971.     

Rationalité des séries de poincaré et des fonctions zêta motiviques

Soient k un corps de caractéristique 0 et X une k[[t]]-variété (éventuellement singulière) plate, purement de dimension relative d. Nous prouvons la rationalité des séries de Poincaré motiviques et de fonctions Zêta dIgusa motiviques, associées à X, à laide de lintégration motivique, du théorème de désingularisation plongée dHironaka, de la théorie des modèles de Néron faibles pour les schémas formels et dun théorème délimination des quantificateurs en théorie des modèles.Revised version: 17 March 2004     

Dualität bei konvexen Optimierungs-(Programmierungs-)Aufgaben

Summary For a linear-programming-problem Max {px | Ax b, x 0} the so called dual problem is defined as Min {b y | y A p, y 0}. The two problems are linked by the following: Existence Theorem: If both problems have feasible solutions, then both have optimal solutions; and the Duality Theorem: If one of the problems has an optimal solution, then both have optimal solutions with equal optimal values.In this paper we show that all the different generalisations of these theorems to convex, nonlinear programming problems are special cases of two general theorems, which use the means of the theory of conjugate functions as set forth byFenchel.For easy understanding we develop the necessary properties of conjugate functions and give proofs of these two general theorems, of which the duality theorem has not been proved before. In the second part we specialise these theorems to some non-linear programming problems and obtain all the different duality theorems ofDennis, Dorn, Hanson, Huard, Wolfe as special cases of these general theorems.

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Résumé On dit que les problèmes de programmation linéaire Max {px | Ax b, x 0} et Min {by | y A p, y 0} sont duals. Les deux problèmes sont liés par les théorèmes suivants: Théorème d'existence: «Si les deux problèmes ont des solutions possibles, alors ils ont tout deux des solutions optimales.» Théorème de dualité: «Si un problème a une solution optimale, alors les deux ont des solutions optimales de mêmes valeurs.» Dans ce travail nous montrons que toutes les differentes généralisations de ces théorèmes aux problèmes de programmations convexes non linéaires sont des cas particuliers de deux théorèmes généraux qui utilisent les méthodes de la theorie des fonctions conjuguées comme les poseFenchel.Pour une compréhension plus facile nous développons les propriétés nécessaires des fonctions conjuguées et nous donnons des preuves de ces deux théorèmes généraux dont le théorème de dualité n'a pas été démontré précédemment. Dans la deuxième partie nous particularisons ces théorèmes à quelques problèmes de programmation non linéaire et nous obtenons tous les différents théorèmes de dualité deDennis, Dorn, Hanson, Huard, Wolfe, en tant que cas particulier de ces deux théorèmes généraux.

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Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danke ich für finanzielle Unterstützung während der Abfassung dieser Arbeit.

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Vorgel. v.:W. Krelle     

On the sums of a family of Kapteyn series

The series ₁ n ^r–1 J _n (n)J _n (n) (r 0, 0 < 1) arise in studying the emission and absorption of radiation by a charged particle on a Kepler orbit. For the first few even,r, the sums are obtained in closed form, and for oddr they are given in terms of a certain definite integral. The integral is expressed as a power series in for ||<1, and, near =1, an asymptotic expansion in powers of (1–²)^1/2 may be obtained.

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Résumé La série ₁ n ^r–1 J _n (n)J _n (n) (r 0, 0 < 1) se trouve par l'émission et l'absorption du rayonnement d'une particule chargée sur l'orbite Keplerien. Pour les plus petites valuers paires der, les sommes s'obtienment en forme compacte, et pour les valuers impaires, elles se déterminent d'après une intégrale definie. Pour ||<1, cette intégrale se développe dans une série de puissances de , et dans le voisinage de =1, on obtient une série asymptotique et puissances de (1–²)^1/2.

     

ALTERNATION THEORY IN APPROXIMATION BY POLYNOMIALS HAVING BOUNDED COEFFICIENTS

ＡＬＴＥＲＮＡＴＩＯＮＴＨＥＯＲＹＩＮＡＰＰＲＯＸＩＭＡＴＩＯＮＢＹＰＯＬＹＮＯＭＩＡＬＳＨＡＶＩＮＧＢＯＵＮＤＥＤＣＯＥＦＦＩＣＩＥＮＴＳＸＵＳＨＵＳＨＥＮＧ（许树声）（ＪｉａｎｇｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ,Ｗｕｘｉ２１４０６３,Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓ...     

Cocycles d'Euler et de Maslov

Conclusion Nous espérons avoir convaincu le lecteur qu'il peut être utile de considérer la classe de Maslov comme une classe bornée. Dans [Gh], nous avons montré que la classe d'Euler bornée pour un groupe d'homéomorphismes directs du cercle rend compte de la dynamique topologique de ce groupe. Existe-t-il un résultat analogue pour Sp(2n,)? En d'autres termes, soit un groupe discret et ₁, ₂ deux représentations de dans Sp(2n,). On suppose que les cocycles ₁ ^* et ₂ ^* définissent la même classe bornée. Que peut-on en conclure sur ₁ et ₂?Par ailleurs, l'article [At l] traite aussi d'invariants sur SL(2,) différents de ceux que nous avons considérés, comme par exemple les fonctionsL de Shimizu. Est-il possible de les faire rentrer naturellement dans notre cadre?

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Caractérisation de la correspondance de Langlands locale par les facteursε de paires

Résumé SoitF un corps local non archimédien à corps résiduel fini. La conjecture de Langlands locale (prouvée par Laumon, Rapoport et Stuhler quandF est de caractéristique non nulle) associe à une classe d'isomorphisme de représentations irréductibles du groupe de Weil deF une classe d'isomorphisme () de représentations admissibles irréductibles supercuspidales d'un groupe linéaire surF, le groupe GL _n (F) si est de dimensionn. Nous prouvons dans cet appendice qu'il existe au plus une telle correspondance qui préserve les facteurs de paires et coïncide, en dimension 1, avec l'application donnée par la théorie du corps de classes.

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Summary LetF be a non-archimedean local field with finite residue field. The local Langlands conjecture (proved by Laumon, Rapoport and Stuhler when the characteristic ofF is positive) associates to an isomorphism class of irreducible representations of the Weil group ofF an isomorphism class () of admissible irreducible supercuspidal representations of some linear group overF, viz. GL _n (F) if dim ()=n. In this appendix we prove that there is at most one such correspondence which extends local class field theory in dimension 1, and preserves -factors for pairs.

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Oblatum 10 XII 1991

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Un complément à l'article -elliptic sheaves and the Langlands correspondence par G. Laumon, M. Rapoport et U. Stuhler.     

Subordination des résolvantes

Résumé Soit (V ₎₀ une résolvante définie sur un espace mesurable telle que le noyau initial est borné; on trouve une condition nécéssaire et suffisante pour qu'un noyau borné U possède une résolvante (U ₎₀ telle que U V pour tout 0. On donne plusieurs applications de ce résultat.     

Opérateurs de mise en mémoire et traduction de Gödel

Résumé En-calcul, la stratégie de réduction à gauche (appel par nom) a, comme on sait, de bonnes propriétés mathématiques; en particulier, elle termine toujours si on l'applique à un terme normalisable. Mais, avec cette stratégie, l'argument d'une fonction est recalculé à chaque utilisation.Pour éviter ce défaut, on définit la notion «d'opérateur de mise en mémoire» (pour un type de données). SiT est un opérateur de mise en mémoire, pour les entiers par exemple, on remplace l'évaluation, par réduction gauche, de (où est un entier et un -terme quelconque) par celle deT; et celle-ci revient à ramener d'abord à une forme réduite ₀, puis à appliquer à ₀. On a donc ainsi simulé «l'appel par valeur» dans la stratégie de réduction à gauche.Le théorème principal (Corollaire du Théorème 4.1) montre que, dans un 1-calcul typé du second ordre, en utilisant la traduction de Gödel de la logique classique en logique intuitionniste, on peut trouver un type (spécification) très simple pour les opérateurs de mise en mémoire. Il donne donc aussi un moyen d'obtenir ces opérateurs, à savoir de démontrer ce type dans le calcul des prédicats intuitionniste du second ordre.

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In-calculus, the strategy of leftmost reduction (call-by-name) is known to have good mathematical properties; in particular, it always terminates when applied to a normalizable term. On the other hand, with this strategy, the argument of a function is re-evaluated at each time it is used.To avoid this drawback, we define the notion of storage operator, for each data type. IfT is a storage operator for integers, for example, let us replace the evaluation, by leftmost reduction, of (where is an integer, and any-term) by the evaluation oft. Then, this computation is the same as the following: first compute up to some reduced form ₀, and then apply to ₀. So, we have simulated call-by-value evaluation within the strategy of leftmost reduction.The main theorem of the paper (Corollary of Theorem 4.1) shows that, in a second order-calculus, using Gödel's translation of classical intuitionistic logic, we can find a very simple type (or specification) for storage operators. Thus, it gives a way to get such operators, which is to prove this type in second order intuitionistic predicate calculus.

     

Transformations projectives des variétés munies d'une connexion métrique

Résumé Ce travail est consacré à l'étude du groupe P₀(M, ) des transformations projectives d'une variété munie d'une connexion métrique , et du sous-groupe P ₀ ^r (M, ) (resp. P₀(M, )) constitué par celles de ces transformations qui conservent le tenseur de torsion (resp. le co-vecteur trace de torsion). Dans le cas compact on détermine des conditions pour que ces groupes coïncident avec le groupe des transformations affines ou le groupe des isométries. Ces conditions portent sur la courbure de Ricci de la connexion ou de la connexion symétrique associée, ou plus généralement sur la signature d'une forme quadratique dépendant de la courbure scalaire et du tenseur de torsion. On étudie, plus particulièrement, le cas où M est de dimension n, compacte, simplement connexe, munie d'une connexion métrique complète telle que la partie symétrique de la courbure de Ricci de la connexion symétrique associée soit du type d'Einstein: R_(ij)=Cg_ij, où C est une constante positive. Si M admet un champ de vecteurs projectifs propres pour la connexion métrique, laissant le co-vecteur de torsion invariant, alors M est homéomorphe à une n-sphère. On aborde enfin le cas où C est une constante non positive.

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Summary This paper is devoted to the study of the group P₀(M, ) of projective transformations of a manifold endowed with a metric connection and of the subgroup P ₀ ^r (M, ) (resp. P₀(M, )) made of the transformations conserving the torsion tensor (resp. the covector trace of torsion). In the compact case we determine the conditions so that these groups coincide with the group of affine transformations or with the isometry group. More particularly if M is simply connected endowed with a complete metric connection such that the symmetric part of the Ricci curvature of the associated symmetric connection is of Einstein type R_(ij)=Cg_ij, when C is a positive constant and if M admits a projective group leaving invariant the trace of torsion, then M is homeomorphic with a sphere. We examine the case when C is nonpositive constant.

     

Remarks on some classes of Fourier coefficients

In this paper equivalent classes of the classes M' and S' _{p r}, p >1, 0,r {0,1,2,...,[]} defined by Sheng [5] are obtained. Then it is shown that the classes of Fourier coefficients S _p, S' _p(case r==0) and S _p(), p>1, defined by . V. Stanojevi, V. B. Stanojevi Sheng and the author of the present note are identical. As a corollary of this result, the L ¹-estimate for cosine series, obtained in [10], is refined.     

Sur un théorème de Choquet

Résumé Le but de ce travail est de caractériser les éspaces topologiques qui possèdent la propriété suivant: pour toute famille(f _t ) _{t I} de fonctions numériques définies dansX il existe une partie dénombrableI ₀ de l'ensemble d'indicesI telle que les fonctions inf _tI f _i et inf _tI0 f _i ont la meme régularisation inférieurement semi-continue.On démontre que l'espace topologiqueX possède cette propriété si et seulement si pour tout sous-ensembleA deX il existe une sous-ensemble dénombrableA ₀,A ₀ A tel queA ₀.On généralise un résultat topologique de G. Choquet.

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Inegalites de Sobolev pour les sous Laplaciens de certains groupes unimodulaires

Résumé On prouve des inégalités de type Sobolev pour les opérateurs (L-) oùL est un sous-Laplacien sur un groupe de Lie non moyenmable et le bout de son spectre.

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We prove Sobolev inequalities for (L-) whereL is a sub-Laplacian on a non-amenable group and is the bottom of its spectrum.

     

Groups acting simply transitively on the vertices of a building of typeà 2, II: The casesq=2 andq=3

If (P, L) is a projective plane and is a triangle presentation compatible with a point-line correspondence :P L, then gives rise to a group and a thick building of typeà ₂ on the vertices of which acts simply transitively. We find all triangle presentations (up to natural equivalence) compatible with some point-line correspondence :P L, when (P, L) is the projective plane of orderq=2 orq=3. For some, but not all, of these , is isomorphic to the building associated withG=PGL(3,K) whereK is a local field with discrete valuation and residual field of orderq. We identify the for which this is the case, and in these cases, find embeddings of intoG. We also describe the arithmetic nature of these groups.