微分形式Pdx+Qdy+Rdz的积分因子

<正> 关于P(x,y)dx+Q(x,y)dy的积分因子问题,在一般微分方程的专著中多有论述,但微分形式P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz的积因分子问题,则比较复杂,论述甚少。本文就这一问题作出初步探索。     

一类曲线积分的计算方法

对坐标的空间曲线积分的计算通常采用参数法或利用 Stokes公式 ,但对某些特定的空间曲线积分也可以将其转化为平面曲线的积分 ,因而也就简化了计算步骤。考虑如下曲线积分I =∫c P( x,y,z) dx +Q( x,y,z) dy +R( x,y,z) dz ( 1 )其中 c:F( x,y,z) =0z =φ( x,y) ,而 P,Q,R,F,φ对其各变元均具有一阶连续的偏导数。利用曲线积分的定义可以得到　　　　 I =∫c′{ P[x,y,φ( x,y) ]+R[x,y,φ( x,y) ]φ′x( x,y) } dx +{ Q[x,y,φ( x,y) ]+R[x,y,φ( x,y) ]φ′y( x,y) ]} dy ( 2 )其中 c′为 c在 xoy平面上的投影曲线 ,c′的方向与 c的…     

高斯公式应用小议

在利用高斯公式计算曲面积分时 ,许多学生往往忽视了对定理条件的考察。比如 :同济四版《高等数学》下册总习题十的第 3 ( 4)题就是一例。例 1 :计算 ∑xdydz +ydzdx +zdxdy( x2 +y2 +z2 ) 3 ,其中 ∑:1 -z5=( x -2 ) 21 6+( y -1 ) 29( z≥ 0 )上侧。多数学生在利用高斯公式求解时 ,做法如下 :解 :令 P =x( x2 +y2 +z2 ) 3 ,Q =y( x2 +y2 +z2 ) 3 ,R =zx2 +y2 +z2 ) 3 ,补 ∑1:z =0 ( x -2 ) 21 6+( y -1 ) 29≤ 1 下侧。于是由高斯公式得 : ∑+ ∑ 1Pdydz +Qdzdx +Rdxdy = Ω P x+ Q y+ R z dv Ω0 dv =0 ,其中Ω为由 ∑ +∑1所围区…     

恰当近似全微分问题

<正> 在数学分析中我们已经知道,假如 P(x,y),Q(x,y)是平面区域 G 上的连续函数,那么 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是恰当全微分(即某一个二元函数的全微分)的充要条件是曲线积分integral from C P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路线 C 无关(C 是区域 G 上的可求长曲线).如果 P(x,y),Q(x,y)并非连续,这时问题就变得复杂一些,因为托尔斯托夫证明了:即使在勒贝格意义下的第二型曲线积分     

两类一阶线性偏微分方程的解

利用二元复合函数求导的链式法则,推导一阶线性齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(y)f1y=0的解,由此得出一阶线性非齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(x)f1y=R(x)f和P(x) f1zx+Q(y)f1y=R(x)f的通解.     

Bernoulli方程解法的启迪

众所周知 ,Bernoulli方程dydx=P( x) y +Q( x) yn( n≠ 0 ,1 ) ( 1 )是可用初等积分法求解的一类非线性方程 ,其解法是用函数变换 z=y1- n,则方程 ( 1 )就化为关于未知函数 z的一阶性方程dzdx=( 1 -n) P( x) z +( 1 -n) Q( x)上述解法启迪我们提出一般的问题 :非线性微分方程dydx=P( x) f ( y) +Q( x) g( y) ( 2 )经函数变换化的一阶线性微分方程的充要条件是什么 ?又方程 ( 2 )经函数变换化为 Bernoulli方程的充要条件是什么 ?其中 P( x) ,Q( x)和 f( y) ,g( y)都分别是 x和 y的连续函数 ,且它们都不为零。定理 1　方程 ( 2 )经未知函…     

一类Riccati型方程的通积分

给出 Riccati型方程 :f′(y) dydx=p(x) f 2 (y) +Q(x) f (y) +R(x) e∫Q( x) dx在条件 p(x) e∫Q( x) dx=21 ∫R(x) dx′下的通积分 ,由此 ,得到若干类 Riccati方程的通积分     

从u(x,y)+iu(x,y)到f(z)的一种转化法

<正> 在复变量函数的运算中,常常会遇到需要把以二元函数u(x,y)、v(x,y)为实部与虚都构成的复变量函数f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)化成以复数z=x+iy为变量的函数f(z),一般常用的方法是:     

流体的体胀速度、散度及高斯公式的物理意义

在高斯公式 Ω　 ( P x+ Q y+ R z) dv = ∑Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ( 1 )中 ,∑ 是空间区域Ω的边界面 ,P,Q,R是在Ω上有定义且具有连续偏导数的函数 ,公式右端的曲面积分沿闭曲面 ∑ 之外侧进行。在该公式中 ,若视v ={ dxdt,dydt,dzdt} ={ P,Q,R}为一稳定流动的不可压缩流体 (假定密度为 1 )的速度场 ,这里 ,“稳定流动”是指流体的流速与时间t无关 ,“不可压缩”是指流体的密度为常数。在一般教材中 ,都已对公式右端的曲面积分作出了物理解释 ,即“单位时间内经闭曲面 ∑ 流出的流体的质量”,或流量 ,但却未能对整个公式的物理意义作…     

应用高斯公式应注意的一个问题

在利用高斯公式计算第二类曲面积分时 ,若曲面为非封闭曲面 ,此时添加辅助曲面时 ,要特别注意 ,要保证在封闭曲面及内部满足高斯公式的条件 ,稍有不慎就会得出错误的结果 .如下面这个例子 :例　算曲面积分 I = Σxdydz ydzdx zdxdy(x2 y2 z2 ) 3/2 ,其中Σ为曲面 1 -z5 =(x -2 ) 21 6 (y -1 ) 29(z≥ 0 )的上侧 .解　令 P =x(x2 y2 z2 ) 3/2 ,Q =y(x2 y2 z2 ) 3/2 ,R =z(x2 y2 z2 ) 3/2设Σ1是 xoy平面上由 (x -2 ) 21 6 (y -1 ) 29≤ 1所围部分的下侧 ,Ω是Σ与Σ1所围闭域 .∵ P x =-2 x2 y2 z2(x2 y2 z2…     

Darboux integrability and algebraic limit cycles for a class of polynomial differential systems

This paper deals with the existence of Darboux first integrals for the planar polynomial differential systems x=x-y+P n+1(x,y)+xF2n(x,y),y=x+y+Q n+1(x,y)+yF2n(x,y),where P i(x,y),Q i(x,y)and F i(x,y)are homogeneous polynomials of degree i.Within this class,we identify some new Darboux integrable systems having either a focus or a center at the origin.For such Darboux integrable systems having degrees 5and 9 we give the explicit expressions of their algebraic limit cycles.For the systems having degrees 3,5,7 and 9and restricted to a certain subclass we present necessary and sufficient conditions for being Darboux integrable.     

可积的Riccati微分方程的不变量变换讨论

对于可积的Riccati微分方程:L[y]=-y′+p(x)yn+Q(x)y+R(x)(p(x)R(x)≠0,n≠0,1)(0)L[y]=-y′+p(x)y2+Q(x)y+R(x)(p(x)R(x)≠0)(1)利用其不变量变换,给出方程(0)和(1)的可积充分条件,并对方程(1)的特解形式L[y0]=0,讨论其不变量变换的等效性;同时,对方程(1)的非特解形式L[y0]≠0,讨论其可积性.     

Uniformly Packed Codes and More Distance Regular Graphs from Crooked Functions

Let V and W be n-dimensional vector spaces over GF(2). A function Q : V W is called crooked (a notion introduced by Bending and Fon-Der-Flaass) if it satisfies the following three properties:

Uniform meyer solution to the three dimensional cauchy problem for laplace equation

We consider the three dimensional Cauchy problem for the Laplace equation uxx(x,y,z)+ uyy(x,y,z)+ uzz(x,y,z) = 0, x ∈ R,y ∈ R,0 z ≤ 1, u(x,y,0) = g(x,y), x ∈ R,y ∈ R, uz(x,y,0) = 0, x ∈ R,y ∈ R, where the data is given at z = 0 and a solution is sought in the region x,y ∈ R,0 z 1. The problem is ill-posed, the solution (if it exists) doesn't depend continuously on the initial data. Using Galerkin method and Meyer wavelets, we get the uniform stable wavelet approximate solution. Furthermore, we shall give a recipe for choosing the coarse level resolution.     

在共振点附近的一类二阶泛函微分方程的解析解

在复域C内研究一类包含未知函数迭代的二阶微分方程x″(z)=G(z,x(z),x~2(z),…,x~m(z))解析解的存在性.通过Schr(?)der变换,即x(z)=y(αy~(-1)(z)),把这类方程转化为一种不含未知函数迭代的泛函微分方程α~2y″(αz)y″(z)-αy′(αz)y″(z)= (y′(z))~3G(y(z),y(αz),…,y(α~mz)),并给出它的局部可逆解析解.本文不仅讨论了双曲型情形0<|α|<1和共振的情形(α是一个单位根),而且还在Brjuno条件下讨论了共振点附近的情形(即单位根附近).     

The third mixed problem for the Sonin equation in a half space

We consider follwing mixed boundary-value problem:

On The Generalized Cocycle Equation of Ebanks and Ng

I show that in order to solve the functional equation $$F_{1}(x+y,z)+F_{2}(y+z,x)F_{3}(z+x,\ y)+F_{4}(x,y)+F_{5}(y,z)+F_{6}(z,x)=0$$ for six unknown functions (x,y,z are elements of an abelian monoid, and the codomain of each F _j is the same divisible abelian group) it is necessary and sufficient to solve each of the following equations in a single unknown function $$\matrix{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad G(x+y,\ z)- G(x,z)- G(y,z)=G(y+z,x)- G(y,x)- G(z,x)\cr \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad H(x+y,\ z)- H(x,z)- H(y,x)+H(y+z,\ x)- H(y,x)- H(z,x)\cr +H(z+x,\ y)- H(z,y)- H(x,y)=0.}$$      

二阶中立型微分方程非振动解的存在性

考虑了一类变系数的具有强迫项的二阶中立型微分方程(x(t)+R(t)x(h(t)))″+P(t)x(g_1(t))-Q(t)x(g_2(t))=f(t)非振动解的存在性问题.通过Banach压缩映像原理,分别得到了方程存在满足■|x(t)|>0的非振动解x(t)的充分条件与必要条件,推广了一阶变系数方程的相应结果.     

Left conjugacy closed loops of nilpotency class two

Every LCC loop Q with Inn Q abelian is nilpotent class two. A loop Q of nilpotency class two is LCC ? L(x, y) = L(y, x) for all x, y ∈ Q ? ?/Z(Mlt Q) is abelian ? [x, y, z] = [x,z,y] for all x, y, z ∈ Q ? [x, y, z] = [xy, z][x, z]^?1 for all x, y, z ∈ Q. All nilpotent LCC loops of order p² are described, and some of their multiplication groups are computed.     

ON DIFFERENCE EQUATIONS RELATING TO GAMMA FUNCTION

We consider the existence, the growth, poles, zeros, fixed points and the Borel exceptional value of solutions for the following difference equations relating to Gamma function y(z + 1) -y(z) = R(z) and y(z + 1) = P (z)y(z).