面向几何直观的代数推理——以初中学段函数作图内容为例

函数问题源于生活而高于生活.初中数学学习过程中，依据函数解析式作函数图象于学生而言比较吃力.从知识逻辑顺序的角度，根据函数解析式对函数图象所处象限、变化趋势、对称性及函数图象与坐标轴的交点等方面进行简单的代数推理，猜出函数图象，提前获得函数图象几何上的直观，帮助学生更高效作出函数图象，积累函数作图经验.本研究中例说对正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数解析式进行代数推理的过程及其优越性，在一定程度上契合知识学习的顺序，供教师教学参考.     

正弦型函数解析式的确定

由正弦型函数的解析式 ,作出函数的图象是现行高中代数课本的重要知识点 .反之 ,由正弦型函数的图象 ,求出正弦型函数的解析式 ,能强化训练学生的逆向思维能力 ,加深理解正弦型函数的有关概念 ,巩固掌握正弦型函数的性质 .因此 ,许多课外辅导读物上都列有这类题型对学生进行逆向训练 .如在全国范围内影响较大的 ,《数学通报》编辑部组织专家编写的《数学高考研究与复习》(97年理科版 )Ｐ2 8例 6,Ｐ31 5(1 3) ,Ｐ352 (6)等就是这类题型 .在全国高考试题中 ,已知正弦型函数的图象求解析式也成为保命题热点 .如 1 990年全国高考理科试题 (5) :…     

巧用平面几何知识来解反比例函数的综合问题

通过研究2022年的中考题,引导学生如何利用平面几何图形性质求反比例函数图象上的点,用待定系数法求函数的解析式,让学生综合运用所学知识解决问题,提高学生推理证明、数学运算的能力,整体提升学生的数学核心素养.     

谈加强图象教学的点滴体会

几何图象直观生动,容易被学生接受,它可以起到形数结合,沟通不同部分知识的作用。对于如何加强图象教学,笔者通过教学实践,在此谈一点体会,我认为教学中应由浅入深,逐步培养学生利用图象来研究和解决有关数学问题的兴趣和能力。利用图象的问题在教学中应由浅入深逐步进行,先是描点作图,然后让学生从图象上观察其特征:图象的范围如何?上升还是下降?有无对称轴、对称中心?经过什么特殊点?图象与坐标轴相交、相切、相离,还是以坐标轴为渐近线?等等。只有善于观察图象的特征,才有条件用图象法处理数学问题。例如要比较0.5~(1/2),0.5~(3/4)     

例析中考函数图象信息题

函数图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的有价值的信息.近几年来,图象信息题是中考经常出现的热点题型,它紧贴生活实际,有很强的时代气息,其目的主要是考察学生的搜索信息、整理信息和应用信息的能力;考查学生的识图能力和数据处理能力,考查学生的数形结合思想、分析推理、用数学解决实际问题等综合能力.本文略举近年来部分省市有关中考题,以供读者参考.一、确定函数解析式图1例1(99广东)如图3是花园中学上体育课一学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数图象.则铅球推出的水平距离是米;这段图象的函数解析式是.简解:观察…     

妙用数学诗

提起“诗” ,人们易联想到那是文学上的事 .其实 ,在数学中的某些地方也可以适当地编用“数学诗” ,如能妙用 ,则效果颇佳 .例如 ,幂函数的图象和形状变化复杂 ,只要指数稍有不同 ,图象的位置和形状就可能发生很大的变化 .因此 ,学生在学习这部分内容时 ,时常感到困难 ,特别是时间一长 ,有些学生又不知如何画出某一给定的幂函数的图象了 .针对这种情况 ,我们在教学幂函数的图象时 ,可以引导学生通过比较、分析、归纳 ,并配以相应的几句“数学诗” ,则能收到良好的教学效果 .　　　幂函数图象是曲线 ,指正一一和原点 .象在一三母子奇 ,对称原…     

函数作图时常见错误浅析

据函数解析式来作该函数的图象时,必须确保所作图象的完备性和纯碎性,即应满足:(1)凡是适合解析式的点均在所作出的图象上;(2)凡图象上任意点的坐标均适合该解析式。当所给解析式较为复杂而求其图象时,往往先化简,后再作图。但常因化简过程不是同解变形或因作图时忽视变量范围,而引起图象范围及属性的变化,使原题图象的完备性及纯碎性被破坏。笔者在给一些学生辅导这一内容时,发现以上问题带有     

浅谈数学教学中心理学图形的若干应用价值

众所周知,数学思维的特点是它的抽象性,抽象的概念通常是以图象的形式储存和呈现的,因此数学思维活动在大多数场合都以图象的组合和变换的方式来实现.对图象的恰当应用必然有助于数学创造性思维的发展.而心理学上的一些经典图象常具有强烈地说明及暗喻作用.笔者经过研究与教学尝试发现:在高中数学教学中如果能够巧妙地利用这些心理学图象去引导学生,从而激发和提高他们的数学思维能力,将能够有效地提高课堂教学的效率.下文将就此进行阐述,并求教于大家.     

函数作图时一个应予重视的问题

据函数解析式来作出该函数的图象时,必须确保所作图象的完备性和纯粹性,即应满足:(1)凡是适合解析式的点均在所作出的图象上:(2)凡图象曲线上任意点的坐标(x,y)均适合该解析式。     

“由数及形”代数推理和几何直观的融合——以“反比例函数的图象与性质”为例

在“反比例函数图象与性质”的探究过程中,把“解析式特征”与“图形特征”紧密结合.通过先“想一想”再“画一画”的教学环节,紧紧抓住反比例函数解析式“定积”特征,“由数及形”推理得到反比例函数的图象“特征”,观察图象“特征”归纳得到反比例函数的性质.尝试在教学过程中通过不断设问、追问,引导学生不断反思、深入思考,在学生独立思考、自主探究和合作交流中培养学生推理能力和几何直观等核心素养.     

例谈探究题的变式

中考试卷中有很多试题非常典型,教师只要对试题恰当变式,引导学生对这些试题进行合理探究,就可以做一题,懂一类,会一片.从而脱离题海,轻松学习,使学生由学数学向研究数学转变,现举一例.题目(2010年湖北省荆门市中考试题第24题) 已知:如图1,一次函数y=1/2 x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=1/2 x2+bx+c的图象与一次函数y=1/2 x+1的图象交于B,C两点,与x轴交于D,E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.     

例说研究性问题的提出

高中数学“研究性学习”可辐射到数学的各分支 ,对数学的每一个问题都可以进行研究探讨 ,数学学科的“研究性学习”可以说无处不有 .本文就教师如何挖掘教材内容 ,分析、处理和深化教材内容 ,将教材中的内容赋予新的含意 ,编制一些适合学生能力特点的问题让学生去研究探索作探讨 .案例 1　北京师范大学出版的《全日制普通高中教科书 (试验必修 )》第一册 (上 )关于互为反函数的图象之间的关系这一节谈到了这一事实 :在坐标平面上画第一、三象限的角平分线 ,并沿着这条直线把已经画好的互为反函数的图象对折 ,你会发现 ,互为反函数的两个函数…     

2013年高考图象试题归类解析

函数作为高中数学的一个重要组成部分,贯穿整个高中阶段的教学,在高考数学中有着举足轻重的地位与作用．函数是定义域与对应法则（解析式）构成的一个有机整体,常以解析式、图象、列表三种不同形式来呈现命题．其中,图象法直观形象,是一种重要的表示形式．下面笔者以2013年高考相关试题为载体,从识图、释图、用图三个方面分别进行归类分析,旨在探索高考中图象试题的题型规律及相应解题策略,以飨读者．     

三角函数“逆向型“问题

若给出三角函数的解析式,我们可以很快地得出它的图象和性质.然而,如果将问题逆过来,即已知三角函数的图象和性质,要求函数解析式及其中某参数的值或范围时,往往就需要动一番脑筋了.这种“逆向型“三角问题可用来考查学生思维的敏捷性和灵活性,成为近年来各种考试中的热点题型.本文准备通过实例对三角函数图象和性质的逆用的八种题型进行归类分析,希望能对大家复习三角函数有所帮助.……     

三角函数“逆向型“问题

若给出三角函数的解析式,我们可以很快地得出它的图象和性质.然而,如果将问题逆过来,即已知三角函数的图象和性质,要求函数解析式及其中某参数的值或范围时,往往就需要动一番脑筋了.这种“逆向型“三角问题可用来考查学生思维的敏捷性和灵活性,成为近年来各种考试中的热点题型.本文准备通过实例对三角函数图象和性质的逆用的八种题型进行归类分析,希望能对大家复习三角函数有所帮助.……     

抽象函数问题的求解策略

1 抽象函数问题 　　抽象函数专指没有给出具体的函数解析式或图象,只给出函数所满足的部分性质、运算法则或特殊条件的一类函数.由于此类函数问题既能考查学生对函数概念、性质的全面掌握情况,又能考查学生的代数推理、论证能力,还能考查学生对数学符号语言的阅读理解和综合运用能力以及对"一般"与"特殊"的辩证关系的认识能力,对发展学生思维能力,进行数学思维方法的渗透有较好的作用,因此而成为高考的一大命题热点,在近几年的高考中频频出现.……     

高一数学課外小組活动的一个材料——双曲綫y=k/x(x≠0)的一个性貭

高中代数第一分册第21页上,在谈到等轴双曲线y=k/x的图象的性质时有这样一段话:如果对于同一坐标轴,再作y=12/x的图象和y=3/x的图象,我们很容易看出,这些图象和y=6/x的图象都有上面所说的特点,但是它们和原点的距离却不一样。这里,涉及到曲线和定点的距离的问题,更一般地说,是两个点集间的距离的问题。这本是高等数学研究的问題,但也可沿用与配方法求二次函数极值相类似的方法,使学生来解决此间题。因此笔者建议读者在辅导高一课外数学小组活动时,在二次函数y=ax~2+bx+c的图象研究完了之后,回过头来给学生们解决此问题。一则能深入理解配方法的实质,二则可以使学生再次领会点到定直线的距离,两平行线之距离,以及两圆相外离时,如何规定距离等等,使几何上诸概念融汇贯通。     

基于核心素养的数学可视化教学——以“指数函数的图象与性质”为例

基于核心素养的数学可视化教学,要关注学生高阶思维的发展,从图示的可视化向思维可视化转变,体现知识生成过程的合理性和学生思维发展过程的合理性以及可视化教学环节的必要性.本文就“指数函数的图象与性质”一课,探讨基于核心素养的数学可视化教学,从数学可视化的视角建构指数函数的图象与性质.     

高考函数图象选择题的解法

有关函数图象的选择题在高考中经常出现 ,这些选择题可分为两种类型 :1.已知函数的图象 ,求与函数解析式有关的问题 ;2 .已知函数的解析式 ,判断函数的图象 .其解法应注意两点 :1)抓住特殊值或特殊点 (包括函数图象所经过的特殊点、对称中心、圆心等 ) ;2 )弄清函数的性质 ,包括函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性 (反映在图象上 ,奇函数的图象关于原点对称 ,偶函数的图象关于y轴对称 ) .下面举例说明 .1　已知函数的图象 ,求与函数解析式有关的问题1)利用特殊值判断 .图 1　例 1图例 1　 ( 1992年全国高考题 )图 1中的曲线是幂函…     

三角与振动

数学与物理的联系极为广泛和密切,本文想仅說明高中三角与高中物理中的振动特別是簡諧振动的联系。在§1中引用周期运动来說明周期函数,并在这里孕育了参数方程的概念。在§2中說明簡諧振动的数学定义与物理定义的一致性。使中学生能清晰地理解簡諧振动这一较难領会的物理內容,从而可以用数学方法去研究簡諧振动。§3提出求正弦函数极值与求簡諧振动的振幅的一致性,以及求正弦函数的周期与求簡諧振动的周期的一致性。在§4一开始就提出簡諧振动的几种数學型,使学生扩大对簡諧振动的认識,并又一次說明数学工具在物理学中的作用。在这里,就必然联系到数学中誘导公式、加法定理、和差化积与函数图象的加法,使得学生能利用这些数学知識去对振动的合成作解析研究。在§5中通过研究任意两个不同周期的正弦函数的合成,发現它們的和不再