圆锥曲线弦的中点问题

圆锥曲线弦的中点问题江福贵张艳芬（吉林舒兰市一中１３２６００）（上海松江县教师进修学校２０１６００）求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题，屡见不鲜，是一类重要问题．对于有心曲线弦的中点问题，我们可以用切线的斜率和中点与中心连线的斜率的积为常数（±ｂ２ａ２...     

一题多解 妙探『中点弦』问题

一、“中点弦”问题 “中点弦”问题是指圆锥曲线上两点的中点(已知或待求)一类问题的统称,在平面解析几何中与“中点弦”有关的类型是典型且重要的.     

圆锥曲线中的切点弦及其方程

设点P是圆锥曲线C外一点,过点P作圆锥曲线C的两切线,切点为A,B,我们将圆锥曲线C的弦AB称为与点P对应的圆锥曲线C的切点弦．在近年来的高考和竞赛中,有关切点弦的试题频频出现,而对于求切点弦所在直线的方程,我们若处理不当,往往会引发繁琐的运算．为此本文将介绍求圆锥曲线的切点弦所在直线的方程的一种简便方法,并结合例题说明切点弦方程的应用,供读者参考．     

“中点弦”问题的一种简捷解法

所谓“中点弦”问题是关于圆锥曲线上两点的中点（已知或等求）一类问题的统称,在解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型的问题．解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量比较大,本人试图通过一些实例,介绍一种简捷的解法,供读者参考．     

用活定比分点,优化解题过程

众所周知,定比分点是解析几何中最基本的概念之一．由于定比的概念中涉及三个点：有向线段Ｐ１Ｐ２的起点Ｐ１,终点Ｐ２以及分点Ｐ,因此,在处理解析几何中三（多）点共线问题时,灵活应用或恰当引入定比,运用定比分点坐标公式进行转化,往往有助于迅速沟通知、求关系而收到以简驭繁之功效．一、以分点为分点,转移分点坐标在解析几何中,处理与圆锥曲线弦分点有关问题通常是将弦所在直线的参数方程代入圆锥曲线方程中,运用参数的几何意义求解．当弦的分点非中点时,这种方法并不简便．能否直接应用定比及定比分点坐标公式,将分点坐标…     

点差法及其应用

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时，常设出弦端点坐标，并代入圆锥曲线方程得两式，将两式相减．这种解题方法，不妨叫设点求差法，简称点差法，其解题的主要步骤有：     

圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法

圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法赵怀营（河北省东光县一中０６１６００）求圆锥曲线焦点弦的长度，经常用两点间距离公式或极坐标系中极径来计算．本文介绍用焦半径求焦点弦长度的方法．一、设抛物线方程为过焦点Ｆ的弦交抛物线于Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两...     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

圆锥曲线上两点关于直线对称问题巧解

在平面解析几何中,直线与圆锥曲线相交弦的中点问题是平面解析几何中的重点问题、综合性问题,有一定的难度.尤其是圆锥曲线上两点关于某直线对称问题,在求某一变数的取值范围时,常见解法多数繁杂,解题过程冗长.本文给出下面四个定理,挖掘出了弦的中点的有关规律性问题.运用这四     

圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法

圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法赵怀营（河北省东光县一中０６１６００）求圆锥曲线焦点弦的长度，通常用两点间距离公式，或极坐标系中极径来计算，本文介绍用焦半径求焦点弦长度的方法，望批评指正．一、设抛物线方程为ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），过焦点Ｆ的弦交抛物线...     

圆锥曲线的中点弦的性质及其应用

在平面解析几何中常需要求圆锥曲线的过定点的动弦的中点轨迹。例如,给定双曲线x~2-y~2/2=1,过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。为了求出P点的轨迹方程,已有各种各样方法:有用直线的点斜式方程的;有用直线的点斜式参数方程的;有用直线的两点式参数方程的;     

“圆锥曲线中点弦”存在性的探究

“圆锥曲线中点弦”存在性的探究吴新华（广东省中山市中山纪念中学）为了行文方便，本文把“被定点平分的圆锥曲线的弦”简称“圆锥曲线中点弦”．一、问题提出文［１］在文［２］的基础上对双曲线的中点弦的存在性作了全方位的探究．相应得出如下的结论：设双曲线的标准...     

一道2023年高考题引发的思考与探究

<正>1试题呈现题目(2023年全国乙卷(理))设A,B为双曲线■上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是()．(A)(1,1)(B)(-1,2)(C)(1,3)(D)(-1,-4)试题评析圆锥曲线的中点弦问题主要考查直线的方程、直线的斜率公式、圆锥曲线的方程、中点坐标公式等相关知识,其不仅承载了整体代换、转化化归、方程思想,更是数形结合的典范．长期以来,此类问题受到命题者的青睐．     

巧用“点差法”解决中点弦问题

<正>我们将与圆锥曲线弦的中点有关的问题,称为圆锥曲线的中点弦问题.圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题、解答题中都是命题热点.它的一般方法是:联立直线与圆锥曲线的方程,借助一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式以及参数法求解.这种方法的计算量较大,思维能力要求高.因而在高考复习中成为了高中教师与学生都头疼的问题.     

用点参数法解圆锥曲线弦的中点问题

圆锥曲线弦的中点问题是解析几何中的基本题型，也是会考和高考命题的热点．本刊文［fi与文［2」，探讨了解以上圆锥曲线问题的代点法．笔者结合自己多年的教学实践，探讨了解此类问题的点参数法，可以大大地减少计算且，饲结推理过程．1关于点乡过法的基本思想设直线l与圆锥曲线C相交于PI、P。两点，P；PZ弦的中点为P（x，y）．可没PI的坐标为（x＋tCOS。，y＋tslna），P。的坐标为（x-tcosa，x一tslna），其中a是直线PIPZ的倾斜角（0＜。＜。），t是PI、PZ点到中点P的有向线段的数量，但这里的t＃0．，＃PI、PZ在圆锥曲线C上…     

圆锥曲线的弦的一个性质及应用

圆锥曲线的弦的一个性质及应用苏州吴县中学王继源直线与圆锥曲线的位置关系中，涉及弦的问题特别多，其中尤以弦的中点问题更是五彩缤纷，如何处理这些问题，当然方法较多．本文介绍利用弦的一个性质来处理这些问题，更可使人感受到数学的清新与简洁之美．一、圆锥曲线的...     

圆锥曲线弦的中点问题的一种简捷解法

求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题,是解析几何教学中的一类重要问题;常规解法计算量较大,如何简化其解法一直为人们所关注;文［１］、［２］、［３］等都作过很好的研究;本文介绍一种利用两曲线公共弦方程求解的简捷方法;如图,设Ｐ（ｍ,ｎ）是圆锥曲线ｃ的一条弦ＡＢ的中点,ｃ′是ｃ关于点Ｐ对称的曲线;容易证明,ｃ′的方程为ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０;（见注１）而弦ＡＢ就是曲线ｃ与ｃ′的公共弦;且公共弦ＡＢ所在的直线方程为ｆ（ｘ,ｙ）－ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０（见注２）,从而使问题得到解决;这一方法既适…     

代点相减法的浓缩

文［２］在文［１］的基础上对解析几何中的代点相减法做了进一步研究,并给出了代点相减法解题的一般模式（四步）,读后受益匪浅．本文给出有心圆锥曲线中点弦的一个结论（不妨称之为中点弦定理）,并列举数例说明其应用．１中点弦定理及其证明有心圆锥曲线的中点弦定理...     

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题陈具才（甘肃渭源一中７４８２００）二次曲线人。，９）＝０的中点弦问题，常见题型有：求弦适合某种条件时中点坐标或轨迹；求中点适合某种条件时弦所在直线方程或弦长；对称问题；有关中点弦的极值问题．人们一般是用韦达定理结合...     

动弦中点轨迹方程求法归类剖析

在圆锥曲线中，求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程是解析几何中比较棘手的问题，解题的方法较多，但运算过程往往比较繁琐复杂，学生往往难以人手，本文采用引进参数的办法对此类问题归类分析，以便学生从中掌握其解题的基本思想和解题规律。