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“线性规划问题”的最优整数解是《简单的线性规划》一节中的一个难点 .现以教科书 (试验本 )第二册 (上 )第 6 5页习题 7.4的第四题为例说明如何用调整优值法来求“线性规划问题”的最优整数解 .(题目略 )本题的线性约束条件为1 8x + 1 5 y≤ 1 80 ,1 0 0 0x + 6 0 0 y≤ 80 0 0 ,x∈N ,y∈N , 6x + 5 y≤ 6 0 ,5x + 3y≤ 40 ,x∈N ,y∈N .线性目标函数为z =2 0 0x + 1 5 0 y ,其中x、y分别表示大、小房间的间数 .作出可行域如图 1 .图 1为求z的最大值 ,先将目标函数化为y =-43x + z1 5 0 ,易知当该直线l在y轴… 相似文献
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在涉及点或曲线关于直线对称的问题 ,一般运用中垂线的性质列出方程联立求解 .不过 ,此法一般运算量大 ,出错率高 .如果利用下述对称点坐标公式 ,则可简化求解过程 ,迅速得出结论 .设曲线c:F(x ,y) =0关于直线l:Ax By C =0 (AB≠ 0 )的对称曲线为c′ ,点A(x ,y)∈c关于l的对称点为A′(x′,y′)∈c′,则y - y′x -x′·(- AB) =- 1 ,又 A(x x′)2 B(y y′)2 C =0 ,解得 x′ =x Aty′=y Bt (其中t =- 2 (Ax By C)A2 B2 ) (1 )于是 ,曲线c :F(x ,y) =0关于直线l:Ax B… 相似文献
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点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点P(x0 ,y0 )及直线l:Ax+By+C =0 (A2 +B2 ≠ 0 ) .设点P1 (x1 ,y1 )是直线l上任意一点 ,则Ax1 +By1 +C =0 . ①|PP1 |=(x0 -x1 ) 2 +(y0 -y1 ) 2 .②点P ,P1 两点间的距离|PP1 |的最小值 ,就是点P到直线l的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :A2 +B2 · (x0 -x1 ) 2 +(y0 -y1 ) 2≥|A(x0 -x1 ) +B(y0 -y1 ) |=|Ax0 +By0 +C- (Ax1 +By1 +C) | ,由①、②得 :A2 +B2 ·|PP1 |≥|… 相似文献
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先看一个例题 :两轴和坐标轴重合 ,一个顶点和一个焦点分别是直线x + 3y - 6 =0与坐标轴的交点 ,求此椭圆的方程 .错解 :直线x + 3y - 6 =0与两坐标轴的交点分别为A(6 ,0 ) ,B(0 ,2 ) .若焦点在x轴上 ,则椭圆半焦距c =6 ,短半轴长b =2 ,于是a2 =b2 +c2 =4 0 .故其方程为x24 0 + y24 =1. (1)若焦点在 y轴上 ,则将 (1)中x ,y互换 ,得椭圆方程y24 0 + x24 =1(2 )错解分析 当焦点在x轴上时 ,推出的方程(1)是正确的 .但焦点在 y轴上时 ,得出的方程 (2 )就非所求了 .为什么呢 ?在方程 (2 )中 ,a =2 10 ,b =2 ,则c =6 .这… 相似文献
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问题 已知以点C(2,0)为圆心的圆C与两射线y=±x(x≥0)相切,动直线l与圆C相切且与射线y=±x(x≥0)分别交于A,B两点,求AB的中点的轨迹方程.分析:1)首先细审题意,分清已知条件与求解目标,明确问题结构.已知几何条件有三点:①圆心为C(2,0)的圆与两射线y=±x(x≥0)相切;②直线l与圆C相切;③l与两射线y=±x(x≥0)分别交于A,B两点.所求是适合上述三个几何条件的线段AB中点的轨迹2)充分运用综合分析法.首先从求解目标出发逆推:①动点M的确定依赖于线段AB两端点A与B的位置.若考虑到AB与圆C相切,则可知若A,B两… 相似文献
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关于直线 y =±x b (b≠ 0 )对称的问题 ,常规思路是直接用“垂线法”求解 ,虽思路自然 ,但运算烦琐 .若通过平移变换 ,转化为关于直线 y′=±x′对称的问题 ,则将减少运算量 ,轻松获解 .例 1 求点A(5 ,3 )关于直线l:y =x 1的对称点B的坐标 .解 作平移变换 y′=y ,x′=x 1 .在新坐标系下 ,点A的坐标为 (6,3 ) ,它关于 y′=x′的对称点为 (3 ,6) .∴在原坐标系下 ,所求对称点B的坐标为 (2 ,6) .例 2 已知l1和l2 的夹角的平分线为2x 2 y 1 =0 ,如果l1的方程为 3x - 4 y -1 2 =0 ,求l2 的方程 .解 ∵ 2x… 相似文献
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文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :F(x ,y) =Ax2 +2Bxy+Cy2 +2Dx+2Ey+F , φ(x,y) =Ax2 +2Bxy+Cy2 ,f1 (x,y)=Ax+By +D , f2 (x ,y) =Bx+Cy +E ,I2 =A BB C ,I3=A B DB C ED E F.定理 过P(x0 ,y0 )的直线交二次曲线F(x ,y) =0于P1 、P2 两点 ,点P分P1 P2 的比为λ ,则P(x0 ,y0 )满足 F(x0 ,y0 ) I2 F(x0 ,y0 ) -… 相似文献
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求点P(x0 ,y0 )到直线l:Ax +By +C =0的距离 ,一个很自然的思路是 :由点P向直线l引垂线 ,求出垂足Q的坐标 ,再用两点间的距离公式求出|PQ| .这个方法 ,正如课本所说 ,运算很繁 .仔细分析上述方法 ,繁就繁在求垂足Q的坐标 .我们能否批判性地沿用以上思路 ,回避求垂足Q的坐标 ,让问题得以更方便地解决 ?我经过一番探究 ,得到了肯定的回答 .设垂足Q的坐标为 (x′ ,y′) ,∵PQ⊥l,∴y0 - y′x0 -x′=BA(当A≠ 0时 ) ,可设x0 -x′ =At,y0 -y′ =Bt.∵Ax′+By′ +C =0 , ∴A(x0 -At) +B(y0-Bt… 相似文献
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本文介绍待定常数配方法求一般二次曲线标准方程 .只须方程组和点到直线的距离等基础知识 ,不仅方法简明 ,理论上也易为中学生接受 ,是中学解析几何教学改革的一个可行方案 .设一般二次曲线方程为 φ(x ,y) =Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =0 (1 )当B =0时 φ(x ,y)可配方 ,故本文专论B≠ 0 ,并设A≥ 0 ,记△ =B2 - 4AC .1 二次函数的配方定理 1 当Δ =0时 ,可恒等变形 ,使φ(x ,y) =(Ax Cy h1) 2 q(- Cx Ay h2 ) r (2 )证 因Δ =0 ,B≠ 0 ,A≥ 0 ,必有A >0 ,C >0 .展开 (2 )式右边与 (1… 相似文献
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选择题 :共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 点P分有向线段AB所成的比是 23,则点B分有向线段PA所成的比是 ( )(A) 35. (B) 32 (C) - 32 . (D) - 35.2 过点A(x0 ,y0 ) (x0 ≠ 0 ,y0 ≠ 0 )且在x轴和 y轴上截距相等的直线有 ( )(A) 4条 . (B) 3条 .(C) 2条 . (D) 1条 .3 设A ,B ,C为同一直线上的点 ,则不论其位置如何 ,下列等式恒成立的是 ( )(A) |AB| |BC|=|AC|.(B)AB BC =CA .(C)AB BC =AC .(D)BC C… 相似文献
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有关集合问题 ,题目灵活多变 ,稍不注意就会造成解题失误 .总结以往同学们在解题中出现的问题 ,分类整理如下 ,以期引起重视 . 1 错误理解集合元素的构成对于一个给定的集合 ,其元素的构成是有明确意义的 ,稍有模糊或疏忽 ,均可造成错解 .例 1 设A ={ (x ,y) | 4x y =6 } ,B ={ (x ,y) | 3x 2y =7} ,求A∩B .错解 1 解方程组 4x y =6 ,3x 2 y =7,得 x =1,y =2 .所以A∩B ={ 1,2 } .错解 2 同上 .解方程组得解为 x =1,y =2 .所以A∩B ={x =1,y =2 } .辨析 A∩B的元素应是实数对 (两直线的… 相似文献
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A组一、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果a ,b,c为任意实数 ,那么下列函数中 ,是二次函数的是 ( ) .A .y=ax2 +bx +cB .y=(a+ 1 )x2 +bx +cC .y =(a2 + 1 )x2 +bx +cD .以上都是2 .如果反比例函数 y =kx 的图象经过点 ( - 2 ,-1 ) ,那么k的值为 ( ) .A .12 B . - 12 C .2 D . - 23 .下列抛物线中 ,不与x轴相交的是 ( ) .A .y=2x2 +x - 1 B .y =2x2 -x - 1C .y =- 2x2 -x + 1D .y =- 2x2 +x - 14 .抛物线 y=2 (x - 1 ) (x + 3 )的对称轴是 ( ) .A .… 相似文献
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若知圆的一直径的两端点A (x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,则圆的方程为 (x -x1) (x -x2 ) + (y - y1) (y -y2 ) =0 .特别地 ,若A ,B为一直线和一圆锥曲线的两交点 ,则可妙求圆的方程 ,下面给出一个定理 .定理 设直线 f(x ,y) =0和二次曲线 g(x ,y)=0交于A ,B两点 ,联立两方程 ,分别消去 y和x得u(x) =0及v(y) =0 (其中u(x)和v(y)的二次项系数相等 ) ,则以AB为直径的圆的方程为u(x)+v(y) =0 .证明 设A(x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,显然x1,x2 是方程u(x) =0的两个根 ;y1,y2 是方程v(y) =0的两个根 ,… 相似文献
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如果称椭圆x2a2 + y2b2 =1与双曲线 x2a2 -y2b2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理 等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明 如图 ,设梯形ABCD的两腰与两条对角线分别相交于点E、F ,以EF中点为原点 ,EF所在直线为x轴建立直角坐标系 ,则A与B、C与D均关于x轴对称设经过点A ,E ,B ,F的椭圆方程为x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 ) ,A (x1 ,y1 ) ,B(x1 ,-y1 ) ,由F(a ,0 ) ,E(-a ,0 )得直线BD、… 相似文献
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文 [2 ]推广了文 [1]的命题 ,本文进一步推广文[2 ]的命题 .定理 1 常态二次曲线Φ :Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =0上有一定点P(x0 ,y0 )和异于点P的两动点Q ,R ,则kPQ·kPR=λ(≠ AC)为定值的充要条件是动直线QR恒过定点M (x0 Φ1λC -A,y0- Φ2λC -A) ;kPQ·kPR =λ =AC 的充要条件是kQR =- λΦ2Φ1(其中Φ1=2Ax0 By0 D ,Φ2 =Bx0 2Cy0 E) .证 作平移 :x′ =x -x0 ,y′ =y - y0 ,代入Φ(x ,y) =0得Ax′2 Bx′y′ Cy′2 Φ1x′ Φ2 y′ =0 (1)设Q… 相似文献
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首先我们先看下面一道习题及同学们给出的三种解法 .题目 设集合A ={ (x ,y) | y =x2 } ,B ={ (x ,y) |x2 + (y -m) 2 =1} ,若A∩B≠ ,试求m的取值范围 .[错解 1] (判别式法 )由 y =x2 ,x2 + (y -m) 2 =1,消去x得 y2 + (1- 2m) y +m2 - 1=0 (1)∵A∩B≠ ,∴方程 (1)有解 ,∴Δ≥ 0 ,解得m≤ 54.[错解 2 ] (韦达定理法 )由上得方程 (1) ,又由已知得 y =x2 ≥ 0 ,故方程 (1)有零根或正根 .当 y =0时 ,m =± 1;当y >0时 ,由韦达定理得Δ≥ 0 ,- 1- 2m2 >0 ,m2 - 1>0 ,解得 1<m≤ 54,综合得 1≤m… 相似文献
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由于向量既具有形象、直观的特点 ,又具有代数计算的严密、简捷的优势 ,因此在数学、物理学中有着广泛的应用 ,本文就其应用的常见几种类型举例如下 .1 讨论平面图形的性质利用向量方法讨论平面几何问题 ,使几何问题代数化 ,从而降低某些问题的求解难度 .图 1 例 1图例 1 证明三角形的三条高交于一点 .证 如图 1,设H为△ABC中由A ,B两点所作的高线的交点 ,HA =x ,HB =y ,HC =z ,则AB =y -x ,BC =z- y ,CA =x -z ,由HA⊥BC ,HB⊥AC可得x·(z - y) =0 ,y·(x -z) =0 ,两式相加可得 :z·(x - … 相似文献
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用导数解初等数学题 总被引:7,自引:1,他引:6
对于某些较难的数学题 ,若想到运用导数解决 ,则能居高临下 ,往往能揭示题目之内核 ,且使得解题更容易操作 ,从而获得淡化复杂技巧的功效 .本文拟以数学竞赛题为主 ,就七个方面总结如下 .图 11 求切线的斜率例 1 (《中等数学》)IMO训练题 (6) .二(4) )如图 1 ,已知椭圆x22 y2 =1 ,DA⊥AB ,CB⊥AB且DA =3 2 ,CB= 2 ,动点P在AB上移动 ,则△PCD的面积的最小值为 .解 易求直线CD :x y- 2 2 =0 .设切点P0 (x0 ,y0 ) ,显见过P0 点与CD平行的切线EF和CD的距离为最小 .在x轴上方 ,椭圆方程为y= 1 - x2… 相似文献
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对于一些涉及三角形的解析几何题 ,灵活地引用三角形面积公式 ,可以优化解题过程 ,请看下面的例图 1子 .例 1 在△ABC中 ,∠A= 6 0° ,S△ABC=8,试求BC边的中点M的轨迹方程 .解 以A为原点 ,直线AC为x轴 ,建立如图 1所示的直角坐标系 ,设M (x,y)(x>0 ,y >0 ) ,则 AC =2 (x - 33y) , AB =2·2 33y ,∵ S△ABC=12 ·AC·AB·sin∠BAC =8,∴ 12 ·2 (x - 33y)·2·2 33y·sin6 0°=8.故点M的轨迹方程是xy - 33y2 =4 (x≥4 42 73,轨迹是双曲线在第一象限内的一支 ) .图 2例 2 如… 相似文献
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题 1 1 已知复数 -4 ,4,z0 分别对应复平面内的点A ,B ,C ,z0 不在实轴上 ,|z0 |=8.1 )求△ABC的外接圆圆心M的轨迹C ;2 )若N是圆 (x -4 ) 2 ( y -b) 2 =4上的动点 ,求 |MN|min=f(b)的最大值 ;3 )若二次方程 2x2 ( 2m 4 )x m2 4=0有实根 ,且抛物线 ( y-n) 2 =92 (x m)与轨迹C有两个不同的交点 ,求实数n的取值范围 .解 1 )设z0 =x0 y0 i (x0 ,y0 ∈R) ,则AC的中点坐标为 ( x0 -42 ,y02 ) ,∴AC边的中垂线方程为y-y02 =-x0 4y0(x -x0 -42 ) ( 1 )又AB边的中垂线方程为x =0 … 相似文献